06_2009 - 6 () 1. . 2. Bernoulli 3. Euler ( ) 4, (, ) 1 2 3

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谭泽光 1 第 6 讲 常微分方程 ( ) 考纲要求 z 考试内容 1. 常微分方程的基本概念. 2. 变量可分离的方程 零齐微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求 解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 3. 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微 分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶 常系数非齐次线性微分方程 欧拉(Euler)方程 ( 数三:差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶 常系数线性差分方程 ) 4, 微分方程简单应用 ( 数三:微分方程 , 差分方程的简单应用 ) z 考试要求 1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法. 3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解 某些微分方程 4.会用降阶法解下列方程: () n y fx = (, ) y fxy ′′ = , y fyy = 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理. 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的 常系数齐次线性微分方程。 7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们 的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8.会解欧拉方程. 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题. ( 数三:会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。 )
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谭泽光 2 (二) 前言: 内容抓三基;概念明五面;做题按三步。 (三) 内容提要: 一个概念,三类方程,两方面的应用。 1. 基本知识 常微分方程及其阶,分类 常微分方程的解、通解和特解 常微分方程的解初值问题,解的存在性和唯一性 2. 一阶方程求解 () :( ) ( ) , , 0 yf x g y y y ff a x b x y+pxy y+pxy qx ′ = ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ = = 分离变量型 可分离变量型方程 可化成分离变量型: 齐次: 一阶线性方程: 非齐次: 3.可降阶的高阶方程 = = = ) , ( ) , ( ) ( ) ( y y f y y x f y x f y n 4.线性微分方程 ( 1 ) 11 ) 0 0 nn x m ya x y a x y a x f x y a y a Pxe α ++ + + = + + = " " 5.常微分方程的应用: 6.一、二阶常系数差分方程
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谭泽光 3 (四) 典型例题 (1)一阶可解类型、高阶可降价类型: 1 , 判断下列一阶方程的类型 : 1) 22 xy x ey y + ′ = . ( 可分离型方程) 解: dx xe dy ye x y 2 2 = , ( ) ( ) 2 x y e d e d q = , C e e x y = + 2 2 2) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 = + + dy y x dx x y , ( 可分离型 , 明显积分因子 ) 1 :原式 () 0 1 1 2 2 = + + y dy y x dx x , 0 1 1 2 2 2 2 2 2 = + + y dy y x dx x ( ) ( ) 0 ln ln 2 2 2 2 = + + y y d x x d , ( ) ( ) C y y x x = + + 2 2 2 2 ln ln .
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This note was uploaded on 12/06/2011 for the course MATH Scatter taught by Professor Cheng during the Summer '10 term at Xiamen University.

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