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谭泽光 1 第 7 讲 多元函数微分学 ( ) 考纲要求 z 考试内容 1. 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续 的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 2. 多元函数偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 3. 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 z 考试要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念,有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在 的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数 (二) 内容提要: 多元函数微积分的八大概念 z 八大概念、一个公式、两方面应用 多元函数 多元极限 线
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谭泽光 2 1. 多元函数概念: z 区域的概念,定义域的表示, z 多元函数 : n f RR Ω⊂ 1 ( ) ( ,,. .., ) n uf x f x x = = 向量函数 : nm F G z 函数的表示: 显式: (, ) ; (, ,) z f xy u f xyz == 隐式: (, ) 0 () f xy y yx = ⇒= ; (, ,) 0 f xyz z zxy = 参数式 (,) xx u v yy u v zz x y zz u v = =⇒ = = 2 .多元函数的极限及连续:与一元函数的不同之处 3 .多元函数的可微性 4 .偏导与微分的计算 : 复合函数导数公式,隐函数求导 . (三) 典型例题 (1) 极限与连续性等概念问题 例1 若 sin ,0 xy x fxy x yx = = , 求 (,) ( 0 , 0 ) lim ( , ) . 【解】 xy u = , a y u u x xy a y u a y x = = lim sin lim sin lim 0 0 . 严格一点:新定义: ( ) sin ( ), 0 0 , 0 y x y x y y = 例2 , 求 2 2 0 0 ) ( lim y x x x y y x + 【解 1 】设 θ ρ sin , cos , 2 2 = = + = y x y x 2 22 00 0 |s i n c o s c o s | lim lim x y x θθ →→ = + 0 lim | sin cos cos | 0 ρθθ =− =
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谭泽光 3 【解 2 2 22 2 () 0 x xy yx x x y + ≤≤ ++ 2 x xy + 2( ) 2 x y + ≤= + + 【解 3 02 x x x + . 注: 12 + + 例3 求 2 2 2 lim x y x y x xy + +∞ +∞ 【解】 2 1 2 2 + y x xy , 0 lim 2 2 2 = + +∞ +∞ x y x y x xy 例4, 求 y x x a y x x + + 2 1 1 lim 【解】 e x x y x x x a y x y x x a y x = + = + + + 1 1 lim 1 1 lim 2 . 例5, 2 2 2 0 0 lim y x y x y x + ( . A ) 0 . A 2 1 . B 1 . C 不存在 . D 【解】 : 2 0 2 00 x xx y x 例6, 极限不存在的例题 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim y x xy y x + 【解】(沿不同的路径,极限不同) 例7, = = 2 2 , 0 ) , ( x y if x y f y x f i 1, ,研究 ) , ( lim 0 0 y x f y x 的存在性.
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This note was uploaded on 12/06/2011 for the course MATH Scatter taught by Professor Cheng during the Summer '10 term at Xiamen University.

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