08_2009 - 8 () : 1

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谭泽光 1 第 8 讲 多元函数的几何应用与极值问题 (一) 考纲要求 : 考试内容 z 向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量 的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐 标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 z 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与 平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件 点到 平面和点到直线的距离 z 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的 方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一 般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 z 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 z 二元函数的二阶泰勒公式 z 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简 单应用 考试要求 1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。 2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两 个向量垂直、平行的条件。 3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐 标表达式进行向量运算的方法。 4.掌握平面方程和直线方程及其求法。 5.会求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角,并会利 用平面、直线的相互絭(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 6.会求点到直线以及点到平面的距离。 7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。 8.了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转 曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上
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谭泽光 2 的投影,并会求其方程。 10.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会 求它们的方程。 11.了解二元函数的二阶泰勒公式。 12.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的 必要条件,了解二元 4 数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小 值,并会解决一些简单的应用问题。 (二) 内容提要: 一.多元函数微分的几何应用 1.空间曲面的切平面、曲线切线: z 表示:显式: (, ) zf x y = ;隐式: (, ,) 0 Fxyz = ; 参数式: (,) x xuv yy u v zz u v = = = z 切平面: S : () y x f z , = ,过 ( ) 0 0 0 , y x P 法向量: = 1 , , , , 0 0 0 0 y y x f x y x f n G ; 00 ,, 1 fxy n xy ∂∂ ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ G .
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This note was uploaded on 12/06/2011 for the course MATH Scatter taught by Professor Cheng during the Summer '10 term at Xiamen University.

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