09_2009 - 9 () : 1 2 1. 2 3 4 () : 1 , f : D R R , I = lim...

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谭泽光 1 第 9 讲 二重积分,三重积分 (一) 考纲要求 : z 考试内容 1.二重积分的概念及性质 二重积分的计算和应用 2.三重积分的概念及性质 三重积分的计算和应用 z 考试要求 1. 理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积 分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 3.理解三重积分的概念,了解重积分的性质。 4.会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 (二) 内容提要: 二重积分部分 1 概念: z 定义与符号:积分和式的极限, R R D f 2 : , = Δ = n i i i P f I 1 0 ) ( lim σ λ = ( ) ∫∫ D d y x f , z 性质:被积函数有界性;可积性;对区域的可加性; 运算的单调性;估值与中值定理等。 (1) 计 算: z 在直角坐标系下的计算 () ∫∫ D d y x f , = x y x y b a dy y x f dx 2 1 , = ( ) y x y x d c dx y x f dy 2 1 , dd x d y = z 坐标平移 uxa vyb =− d dx dy dudv == ∫∫ D d y x f , = , uv D f u a v b dudv =+ + ∫∫
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谭泽光 2 z 在极坐标系下的计算 () ∫∫ D d y x f σ , = ϕ ρ β α 2 1 sin , cos d f d dd d ρϕρ = (2) 方法、技巧: z 化简:利用域和函数的对称性或几何、对区域可加性化简 z 坐标系的选择; z 积分次序的确定; (三) 典型例题 : 二重积分典型例题 例1 (117) 设 ) , ( y x f 为连续函数, 1 : ), , ( ) , ( 2 2 + = y x D y x f y x f 则下列结论正确的是______. (A) (, ) 0 D fxyd = ∫∫ (B) 22 1 0 2 D xy y f xyd +≤ = (C) 1 0 2 D x = (D) 1 0, 0 4 D ≥≥ = . 【解】答案为(C). 依题意, ) , ( y x f 关于 x 为偶函数,区域 D 关于 y 轴对称, 由二重积分对称性可知选项(C)正确,下面举例说明其选项不对. (A)取 1 ) , ( = y x f ,则 0 D σπ = . (B)取 y y x f = ) , ( ,则 0 D = ( 因为 D 关于 x 轴对称, y y x f = ) , ( 关于 y 为奇函数,而 2 11 1 2 10 1 1 0 4 2( , ) 2 ( 1 ) 3 x f x y d dx ydy x dx −− = =− = .
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谭泽光 3 (D) y y x f = ) , ( ,则 (, ) 0 DD fxyd y d σσ = = ∫∫ 2 22 11 1 2 00 0 0, 0 0 4 4( , ) 4 4 2 ( 1 ) 3 x xy f x y d yd dx ydy x dx +≤ ≥≥ = == = 【注】本题考察二重积分的对称性,结论如下: (1) 设区域 D 关于 x 轴对称, D 中位于 x 轴上、下方的部分分别记为 12 , ,则当 ) , ( y x f 关于 y 为奇函数时 0 D σ = ) , ( y x f 关于 y 为偶函数时 2 2 (, ) . DDD f x y df x y x y d (2) 设区域 D 关于 y 轴对称, D 中位于 y 轴左、右方的部份分别记为 , lr ,则当 ) , ( y x f 关于 x 为奇函数时 0 D = ) , ( y x f 关于 x 为偶函数时 2 2 rl D f x y x y x y d . 例2 设积分区域 2 2 2 : r y x D + , 则 ( ) = + + ∫∫ D dxdy y x 1 sin 3 ( ) 答案: 2 r π 积分区域的对称性与被积函数的奇偶性)。 例3, ) ( t f 为连续函数, D 是由 1 , 1 , 3 = = = x y x y 围成的区域, 则 = + ∫∫ D dxdy y x f xy ) ( 2 2 0 .
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