10_2009 - 10 () : 1 , Green. 2 . 3 Gauss,Stoke 4 . 1 2 3 4...

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谭泽光 1 第 10 讲 曲线积分与曲面积分 (一) 考纲要求 : z 考试内容 1. 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系, 格林(Green)公式. 2. 平面曲线积分与路径无关的条件 已知全微分求原函数. 3. 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stoke)公式 4. 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用. z 考试要求 1.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积 分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法。 3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微 分的原函数。 4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算 两类曲面积分的方法,5. 用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、 曲线积分。 6.了解散度与旋度的概念,并会计算。 (二) 内容提要: 1.第一、第二类曲线的定义、背景与性质。 z 第一类曲线积分:设弧段 p AB (记作 L )是 3 R 中的一条逐段光滑 的曲线, 函数 ) , , ( z y x f 定义在 L 上. 把 L 任意地分成 n 个子弧段, q 1 i i PP , , , , 2 , 1 n i " = B P A P n = = , 0 , 每一段子弧段的弧长分别 i l Δ , 在每一子弧段上分别任取一点 ) , , ( i i i i Q ς η ξ , 作 Riemann 和 = Δ n i i i i i l f 1 ) , , ( ,记 {} n l l l Δ Δ Δ = , , , max 2 1 " λ . 如果当 0 时, 上述 Riemann 和的极限存在, 且该极限值与子弧段的分法和点的
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谭泽光 2 取法无关, 则称该极限为函数 ) , , ( z y x f 在曲线 p AB ( L )上的第一 类曲线积分, 记作 m 0 1 (, ,) l im ( , , ) n iii i AB L i f xyzd l l f l λ ξης = == Δ ∫∫ ) , , ( z y x f 为被积函数, p AB ( L )为积分路径, dl 为弧微分, 0 > dl . z 第二类曲线积分:向量函数 (, ,) ( (, ,) , (, ,) ) Fxyz Xxyz Yxyz Zxyz = G 定义在空间区域 3 R Ω 中的一条逐段光滑的有向弧段 p AB (记作 L ) 上. L 的方程为 () ( () , () ) rr t x ty tz t = = GG . 把有向弧段 AB A B 任意地分成 n 个子有向弧段, q 1 i i PP , , , , 2 , 1 n i " = B P A P n = = , 0 ,记 1 (,,) ii i iii lP P xyz Δ= =Δ Δ Δ G JJJJJK . 在每一段子有向 弧段上分别任取一点 ) , , ( i i i i Q ς η ξ (参数为 i t ), 作 Riemann 和 1 F( , , ) n i i l = ⋅Δ G G 再记 { } 12 max , , , n ll l Δ Δ G " . 如果当 0 时,上述 Riemann 和的极限存在, 且该极限值与子弧段 的分法和点的取法无关, 则称该极限为函数 F( , , ) G 在有向曲线 AB ( L )上从 A B 的第二类曲线积分, 记作 () F BB LA xyz d l Xxyzd x Yxyzd y Zxyzd z ⋅= + + G G [] 0 1 l i m n i i i X xY yZ z = + Δ + Δ 函数 F( , , ) G 为被积函数, 有向曲线 AB ( L )为有向积分路径, dl G 为有向弧微分: 在空间: dl dx dy dz = G ; 在平面上, (,) dl dx dy = G .
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谭泽光 3 2.两类曲线积分之间的关系 (( ,,) ,( ) L Xxyz Yxyz Zxyz d l + G = () 0 ( (,,) ,(,,) ) L Xxyz Yxyz Zxyz d l τ =⋅ G 3.第二类曲线的几种表达式 (,,) L Xxyzd x Yxyzd y Zxyzd z + ++ ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) L l + G 0 ) L d l G 4.第一类曲线积分的计算 设曲线 L 的参数方程为 [] β
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