clebrpp - 32. Clebsch-Gordan coefficients 1 32....

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 32. Clebsch-Gordan coefficients 1 32. CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAL HARMONICS, AND d FUNCTIONS Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for −8/15 read − 8/15. Notation: m1 m2 m2 J M J M ... ... 1/2× 1/2 1 0 +1 1 0 0 + 1/2 + 1/2 1 + 1/2 − 1/2 1/2 1/2 1 − 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2 − 1 Y10 = 3 cos θ 4π 3 sin θ eiφ 8π 2×1/2 − 1/2 − 1/2 1 1 Y1 = − 0 Y2 = 5/2 + 5/2 5/2 3/2 1 3/2 + 3/2 + 2 1/2 m1 + 2 − 1/2 1/5 4/5 5/2 3/2 + 1 + 1/2 4/5 − 1/5 + 1/2 + 1/2 + 1 − 1/2 0 + 1/2 . . . . . . Coefficients 1 × 1/2 + 3/2 3/2 1/2 3/2 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 + 1 − 1/2 0 + 1/2 1/3 2/3 3/2 1/2 2/3 − 1/3 − 1/2 − 1/2 0 − 1/2 − 1 + 1/2 2/3 1/3 3/2 1/3 − 2/3 − 3/2 5 3 1 cos2 θ − 4π 2 2 15 sin θ cos θ eiφ 8π 15 sin2 θ e2iφ 2π 2/5 3/5 5/2 3/2 3/5 − 2/5 − 1/2 − 1/2 0 − 1/2 − 1 + 1/2 3/5 2/5 5/2 3/2 2/5 − 3/5 − 3/2 − 3/2 Y21 = − Y22 1 = 4 3/2×1/2 2 2 +2 + 3/2 +1/2 1 + 1 1 +1 2 0 − 1 − 1/2 − 2 + 1/2 1 0 4/5 1/5 5/2 1/5 − 4/5 − 5/2 3 − 1 − 1/2 1 1 + 1/2 − 1/2 1/2 1/2 3/2×1 + 5/2 5/2 3/2 2 +3 3 2 5/2 − 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2 − 1 − 1 +2 +1 1 +2 +2 + 3/2 + 1 1 + 3/2 + 3/2 2 + 2 0 1/3 2/3 1 3 − 1/2 − 1/2 3/4 1/4 2 3/2 1/2 + 3/2 0 2/5 3/5 5/2 + 1 + 1 2/3 −1/3 +1 +1 +1 − 3/2 + 1/2 1/4 − 3/4 − 2 + 1/2 + 1 3/5 − 2/5 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 2 −1 1/15 1/3 3/5 − 3/2 − 1/2 1 2/5 1/2 + 3/2 − 1 1/10 2 1 3 + 1/2 0 3/5 1/15 − 1/3 5/2 3/2 1/2 1 × 1 + 2 2 1 + 1 + 0 8/15 − 1/6 − 3/10 0 2 0 0 0 1 6/15 1/2 1/10 − 1/2 + 1 3/10 − 8/15 1/6 − 1/2 − 1/2 − 1/2 +1 +1 1 +1 +1 + 1 − 1 1/5 1/2 3/10 + 1/2 − 1 3/10 8/15 1/6 0 + 1 0 1/2 1/2 2 1 2 1 0 − 2/5 0 0 3/5 3 − 1/2 0 3/5 − 1/15 − 1/3 5/2 3/2 0 + 1 1/2 − 1/2 0 0 0 − 1 + 1 1/5 − 1/2 3/10 −1 −1 −1 − 3/2 + 1 1/10 − 2/5 1/2 − 3/2 − 3/2 − 1/2 − 1 3/5 2/5 5/2 0 − 1 6/15 1/2 1/10 + 1 − 1 1/6 1/2 1/3 − 3/2 0 2/5 − 3/5 − 5/2 2 − 1 0 8/15 − 1/6 − 3/10 3 0 − 1/3 2 0 0 2/3 1 − 2 + 1 1/15 − 1/3 3/5 − 2 − 2 − 1 + 1 1/6 − 1/2 1/3 − 1 − 1 − 3/2 − 1 1 − 1 − 1 2/3 1/3 3 0 − 1 1/2 1/2 2 −m m Y m∗ j1 j2 m1 m2 |j1 j2 JM Y = (−1) − 2 0 1/3 − 2/3 − 3 − 1 0 1/2 − 1/2 − 2 4π −1 −1 1 = (−1)J−j1 −j2 j2 j1 m2 m1 |j2 j1 JM d m,0 = Y m e−imφ − 2 − 1 1 2×1 + 3/2 − 1/2 1/4 3/4 + 1/2 + 1/2 3/4 − 1/4 − 2 − 1/2 1 2 +1 3 θ 1 + cos θ 1/2 +3 3 d 1 = cos θ d 1/2,1/2 = cos d1 = 2 0,0 1,1 2 2 + 3/2 + 3/2 1 +2 +2 θ 1/2 2 ×3/2 + 7/2 7/2 5/2 3 2 1 + 3/2 + 1/2 1/2 1/2 1 = − sin θ √ d 1/2,−1/2 = − sin d 1,0 7/2 + 1/2 + 3/2 1/2 − 1/2 + 1 + 1 +1 2 2 + 2 + 3/2 1 + 5/2 + 5/2 + 3/2 − 1/2 1/5 1/2 3/10 1 − cos θ 5/2 3/2 + 2 + 1/2 3/7 4/7 7/2 1 0 3 2 1 + 1/2 + 1/2 3/5 0 − 2/5 d 1,−1 = + 1 + 3/2 4/7 − 3/7 + 3/2 + 3/2 + 3/2 0 0 0 − 1/2 + 3/2 1/5 − 1/2 3/10 0 2 + 2 − 1/2 1/7 16/35 2/5 + 3/2 − 3/2 1/20 1/4 9/20 1/4 5/2 3/2 1/2 + 1 1/2 4/7 1/35 − 2/5 7/2 + 1/2 − 1/2 9/20 1/4 − 1/20 − 1/4 0 3/2 2/7 − 18/35 1/5 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 1 3 2 2 ×2 4 4 3 − 1/2 + 1/2 9/20 − 1/4 − 1/20 1/4 4 −1 − 3/2 + 3/2 1/20 − 1/4 9/20 − 1/4 − 1 − 1 + 2 − 3/2 1/35 6/35 2/5 2/5 +2 +2 1 +3 +3 0 − 3/10 + 1 − 1/2 12/35 5/14 + 1/2 − 3/2 1/5 1/2 3/10 3 2 + 2 + 1 1/2 1/2 4 0 1/2 18/35 − 3/35 − 1/5 5/2 3/2 1/2 1/5 7/2 0 − 2/5 − 1/2 − 1/2 3/5 2 3 + 1 + 2 1/2 − 1/2 + 2 +2 +2 − 1 3/2 4/35 − 27/70 2/5 − 1/10 − 1/2 − 1/2 − 1/2 − 1/2 − 3/2 + 1/2 1/5 − 1/2 3/10 − 2 − 2 + 2 0 3/14 1/2 2/7 + 1 − 3/2 4/35 27/70 2/5 1/10 − 1/2 − 3/2 1/2 1/2 3 4 0 − 3/7 3 2 1 + 1 1 4/7 0 − 1/2 18/35 3/35 − 1/5 − 1/5 − 3/2 − 1/2 1/2 − 1/2 − 3 +1 +1 +1 +1 0 2 3/14 − 1/2 2/7 − 1 1/2 12/35 − 5/14 5/2 3/2 0 3/10 7/2 − 3/2 − 3/2 1 − 2 3/2 1/35 − 6/35 2/5 − 2/5 − 3/2 − 3/2 − 3/2 + 2 − 1 1/14 3/10 3/7 1/5 + 1 0 3/7 1/5 − 1/14 − 3/10 0 − 3/2 2/7 18/35 1/5 0 1 3/7 − 1/5 − 1/14 3/10 1 0 4 3 2 − 1 − 1/2 4/7 − 1/35 − 2/5 7/2 5/2 0 0 0 − 1 2 1/14 − 3/10 3/7 − 1/5 0 0 − 2 1/2 1/7− 16/35 2/5 − 5/2 − 5/2 + 2 − 2 1/70 1/10 2/7 2/5 1/5 − 1 − 3/2 4/7 3/7 7/2 + 1 − 1 8/35 2/5 1/14 − 1/10 − 1/5 − 2 − 1/2 3/7 − 4/7 − 7/2 0 − 2/7 0 1/5 0 0 18/35 − 2 − 3/2 1 4 − 1 1 8/35 − 2/5 1/14 1/10 − 1/5 2 1 3 1 + cos θ θ − 2 2 1/70 − 1/10 2/7 − 2/5 1/5 −1 −1 −1 −1 3/2 d 3/2,3/2 = cos 3/7 1/5 + 1 − 2 1/14 3/10 2 2 2 1/5 − 1/14 − 3/10 0 − 1 3/7 √ 1 + cos θ θ 2 = 1 + cos θ 3/2 d 2,2 3 − 1 0 3/7 − 1/5 − 1/14 3/10 2 4 d 3/2,1/2 = − 3 sin 2 2 2 − 2 1 1/14 − 3/10 3/7 − 1/5 −2 −2 −2 j d m ,m = (−1)m−m j d m,m = j d −m,−m 3/2×3/2 1 + cos θ √ 1 − cos θ θ 0 − 2 3/14 1/2 2/7 d2 = − sin θ 3 cos 2,1 0 − 3/7 4 − 1 − 1 4/7 3 2 2 2 √ − 2 0 3/14 − 1/2 2/7 − 3 − 3 1 + cos θ θ 6 1 − cos θ 3/2 d2 = (2 cos θ − 1) 2 = 2θ 1,1 − 1 − 2 1/2 1/2 4 d 2,0 d 3/2,−3/2 = − sin sin 2 2 2 4 − 2 − 1 1/2 − 1/2 − 4 3 3 cos θ − 1 1 − cos θ θ 3/2 −2 −2 1 d2 = − sin θ cos θ d 1/2,1/2 = d2 =− cos sin θ 1,0 2,−1 2 2 2 2 3 cos θ + 1 1 − cos θ 2 1 − cos θ 3 1 θ 3/2 d2 d 1/2,−1/2 = − d2 sin (2 cos θ + 1) d2 = cos2 θ − 2,−2 = 1,−1 = 0,0 2 2 2 2 2 2 Figure 32.1: The sign convention is that of Wigner (Group Theory, Academic Press, New York, 1959), also used by Condon and Shortley (The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 1953), Rose (Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 1957), and Cohen (Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 1974). The coefficients here have been calculated using computer programs written independently by Cohen and at LBNL. d 3/2,−1/2 = 3/2 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online