2 - 2009 - 1. 1.1 1.2 1 X ~ N ( , 2 ) Y = aX + b ~ N (a +...

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2009 年基础班讲课提要 ------- 概率统计 2009 清华大学 - 1 - 版权所有 第五讲 多元正态分布的相关问题;极限定理 1. 多元(二元)正态分布 1.1 定义回顾 1.2 多维正态分布的相关问题 重要结论: 1 )设 ) , ( ~ 2 σ μ N X ,则 ) , ( ~ 2 2 a b a N b aX Y + + = b a , 为常数, 0 a ); 2 )设 n i N X i i i , , 2 , 1 ) , ( ~ 2 L = ,且 n X X , , 1 L 相互独立,若 n a a , , 1 L 是一组 不全为零的常数,则 ) , ( ~ 2 1 2 1 1 i n i i n i i i n i i i a a N X a = = = 3* T n X X X ) , , ( 1 L = 服从 n 元正态分布 ) , ( Σ N ,而 C 为任意 n m × 阵, D 为任意 1 × m 阵,则 D CX + 服从 m 元正态分布 ) , ( T C C D C N Σ + ;特别,当 T X X X ) , ( 2 1 = 服从二元正态分布 ) , , , , ( 2 2 2 1 2 1 ρ N 时,此时, X 的期望向量 ) , ( 2 1 = ,协方差矩阵为 = Σ 2 2 2 1 2 1 2 1 ρσ ,且有 i ) 2 , ( ~ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 a a a a a a N X a X a + + + + 2 1 , a a 不全为零; ii )当 2 1 = 时, 2 1 X X + 2 1 X X 相互独立。 4 )设 ) , ( ~ 2 N X ,则 = 为奇数 为偶数 k k k X E k k 0 ! )! 1 ( ] ) [( = Γ = + 为奇数 为偶数 k k k X E k k k k k k k k )! ( 2 ! )! 1 ( ) ( 2 ) | (| 2 1 1 2 1 1 2 2 π 1(03-4-2(6)) 设随机变量 X Y 都服从正态分布,且它们不相关,则 (A) X Y 一定独立 . (B) X Y )服从二维正态分布 . (C) X Y 未必独立 . (D) X + Y 服从一维正态分布 C 2 ( X , Y ) 服从二维正态分布 ) , , , , ( 2 1 2 1 1 1 N , 求相关系数 .
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2009 年基础班讲课提要 ------- 概率统计 2009 清华大学 - 2 - 版权所有 3 2 1 , X X iid , ~ ) , 0 ( 2 σ N , , , 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 X X Y X X Y = = Y 1 Y 2 同分 布吗 ? 独立吗 ? ) 4 5 , 0 ( ~ , 2 2 1 N Y Y 4 n X X X , , , 2 1 L iid , ~ ) , ( 2 μ N , = n k k X X E 1 |) | ( , 其中 = = n k k n X X 1 1 . 【利用性质 4 ,并注意到 π ) 1 ( 2 2 1 ), , 0 ( ~ n n n n k N X X 5 (00-1-2(5)) 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,则随机变量 ξ =+ XY η =− 不相 关的充分必要条件为 D A E X = E Y ; B) E X 2 - (E X ) 2 = E Y 2 - (E Y ) 2 ; C) E X 2 = E Y 2 D) E X 2 + (E X ) 2 = E Y 2 + (E Y ) 2 ; 6 (00-1-2(5)) X Y 的方差存在且大于 0 ,则随机变量 D( X + Y )=D( X )+D( Y ) X Y C A) 不相关的充分条件 , 但不是必要条件 ; B 独立的必要条件 , 但不是充分条件 ; C 不相关的充分必要条件 ; D 独立的充分必要条件 . 7 (07-1-10) 设随机变量 ) , ( Y X 服从二维正态分布,且 X Y 不相关, ) ( ), ( y f x f Y X 分别表示 X Y 的概率密度,则在 y Y = 的条件下, X 的条件概率 密度 ) ( y x f Y X A A ) ( x f X (B) ) ( y f Y (C) ) ( ) ( y f x f Y X (D) ) ( ) ( y f x f Y X 8 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从正态分布 ) , , , 0 , 0 ( 2 2 2 1 ρ N , 其中 2 2 2 1 , α sin cos Y X U + = , cos sin Y X V + = 证明 : 2 2 2 1 2 1 2 2 ρσ = tg , U V 相互独立 .
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