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hmw18_5_2006 - Mini-course Numerical Methods for SDEs, May...

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Unformatted text preview: Mini-course Numerical Methods for SDEs, May 2006. Course Instructors: Ernesto Mordecki and Raul Tempone. Homework exercises for the course. M etodo de aprobacion del Curso Se espera que un 25 por ciento de los ejercicios (a elegir por los estudiantes) sean entregados hasta el mi ercoles 17 de mayo. La entrega final es el 1 o de julio de 2006. 1 Ejercicios correspondientes al 26 y 28 de abril 1. Prove the following identities using limits of the Forward Euler method: Z T tdW ( t ) = T W ( T )- Z T W ( t ) dt (integration by parts) Z T W ( t ) dW ( t ) = W ( T ) 2 2- T 2 2. The Ornstein-Uhlenbeck process is defined by X ( t ) = x + e- at ( x- x ) + b Z t e- a ( t- s ) dW ( s ) . Compute the expected value and the variance of X ( t ), and the limits of these functions as t . Interpret the results. 3. [Trayectorias del Proceso de Wiener] El siguiente ejercicio muestra que las trayectorias de un proceso de Wiener presentan un comportamiento diferente al de las funciones diferencia- bles: su variaci on en un intervalo [0 , T ] no existe, es infinita; y su variaci on cuadr atica en un intervalo [0 , T ] es igual a T . Consideremos para cada N la partici on di adica { t N = 0 , t N 1 = 1 / 2 N , . . . , t N 2 N = 1 } . Demostrar que se verifica: V N = 2 N X k =1 W t N k- W t N k- 1 ( N ) c.s. Sugerencias: (i) Demostrar que V N ( ) V N +1 ( ) y concluir que existe el l mite (casi seguro) de { V N } . (ii) Estudiar el l mite en probabilidad de V N y utilizar la unicidad del l mite en probabilidad. Demostrar que se verifica: Q N = 2 N X k =1 ( W t N k- W t N k- 1 ) 2 T ( N ) 1 en media cuadr atica, es decir demostrar que E ( Q N- T ) 2 ( N ) (1) Sugerencia: considerar las variables Y k = ( W t N k- W t N k- 1 ) 2- ( t N k- t N k- 1 ), observar que Q N- T es la suma de las Y k , y calcular el segundo momento en (1)....
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MAD 5932 taught by Professor Gallivan during the Fall '06 term at FSU.

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