hmw18_5_2006

hmw18_5_2006 - Mini-course Numerical Methods for SDEs May...

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Unformatted text preview: Mini-course Numerical Methods for SDEs, May 2006. Course Instructors: Ernesto Mordecki and Ra´ul Tempone. Homework exercises for the course. M´ etodo de aprobaci´on del Curso Se espera que un 25 por ciento de los ejercicios (a elegir por los estudiantes) sean entregados hasta el mi´ ercoles 17 de mayo. La entrega final es el 1 o de julio de 2006. 1 Ejercicios correspondientes al 26 y 28 de abril 1. Prove the following identities using limits of the Forward Euler method: Z T tdW ( t ) = T W ( T )- Z T W ( t ) dt (integration by parts) Z T W ( t ) dW ( t ) = W ( T ) 2 2- T 2 2. The Ornstein-Uhlenbeck process is defined by X ( t ) = x ∞ + e- at ( x- x ∞ ) + b Z t e- a ( t- s ) dW ( s ) . Compute the expected value and the variance of X ( t ), and the limits of these functions as t → ∞ . Interpret the results. 3. [Trayectorias del Proceso de Wiener] El siguiente ejercicio muestra que las trayectorias de un proceso de Wiener presentan un comportamiento diferente al de las funciones diferencia- bles: su variaci´ on en un intervalo [0 , T ] no existe, es infinita; y su variaci´ on cuadr´ atica en un intervalo [0 , T ] es igual a T . Consideremos para cada N la partici´ on di´ adica { t N = 0 , t N 1 = 1 / 2 N , . . . , t N 2 N = 1 } . Demostrar que se verifica: V N = 2 N X k =1 W t N k- W t N k- 1 → ∞ ( N → ∞ ) c.s. Sugerencias: (i) Demostrar que V N ( ω ) ≤ V N +1 ( ω ) y concluir que existe el l´ ımite (casi seguro) de { V N } . (ii) Estudiar el l´ ımite en probabilidad de V N y utilizar la unicidad del l´ ımite en probabilidad. Demostrar que se verifica: Q N = 2 N X k =1 ( W t N k- W t N k- 1 ) 2 → T ( N → ∞ ) 1 en media cuadr´ atica, es decir demostrar que E ( Q N- T ) 2 → ( N → ∞ ) (1) Sugerencia: considerar las variables Y k = ( W t N k- W t N k- 1 ) 2- ( t N k- t N k- 1 ), observar que Q N- T es la suma de las Y k , y calcular el segundo momento en (1)....
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