第7章特征值ä¸

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Unformatted text preview: 2008 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7 — 1 第 7 章 特征值与特征向量 7.1 特征值和特征向量的定义,性质与计算 设 A 是 阶方阵,若存在非零向量 n x 和常数 λ , 使得 x Ax λ = ,则称 λ 是 的特征值, A x 是 的属于 特征值 A λ 的特征向量. 例 1 已知 是矩阵 ( ) T k x , 1 , 1 − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 1 6 3 5 3 6 4 A 的特征向量,求 k . A E f A − = λ λ ) ( nn n n n n a a a a a a a a a − − − − − − − − − = λ λ λ " " " " " " " 2 1 2 22 21 1 12 11 . 称为矩阵 的特征多项式, A = − A E λ 叫特征方程. 例2 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 的非零特征值 是 . 矩阵 A 的特征向量有两个重要性质: (1)若 都是 的属于特征值 2 1 , X X A λ 的特征向量, 则 也是 的属于特征值 2 1 X X + A λ 的特征向量; 2008 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7 — 2 (2)若 X 是 的属于特征值 A λ 的特征向量, k 是非 零常数,则 kX 也是 的属于特征值 A λ 的特征向量. 如果将全体属于 λ 的特征向量再添一个零向量构 成一个集合,记作 λ V ,称为特征子空间.这个特征子 空间的一组基就是属于这个特征值的线性无关的特 征向量.特征子空间的维数就是属于这个特征值的线 性无关的特征向量的最多个数.矩阵的特征值与矩阵 的其他参数有两个很重要关系,他们是 (1) 矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹(矩阵 的主对角元之和)即 ∑ ∑ = = = = n i ii n i i a trA 1 1 λ ; (2) 矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列 式,即 A n i i det 1 = ∏ = λ . 一些有用的结论. (1) 若 λ 是 的特征值,则 A λ k 是 kA 的特征值,其 中 k 是常数. (2) 若 λ 是 的特征值,则 A 2 λ 是 的特征值. 2 A 2008 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量...
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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