第8章二次型

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2008 春季班 线性代数 8 二次型 8 1 第8章 二次型 8.1 二次型与二次型的矩阵 n 个变量的二次齐次多项式 ∑∑ == = n i n j j i ij n x x a x x x f 11 2 1 ) , , , ( " 称为 n 元二次型. 二次型有3种表达形式: (1) 完全展开式 ) , , , ( 2 1 n x x x f " = n n x x a x x a x a 1 1 2 1 12 2 1 11 + + + " n n x x a x a x x a 2 2 2 2 22 1 2 21 + + + + " " " + 2 2 2 1 1 n nn n n n n x a x x a x x a " + + + (2) 和式 = n i n j j i ij n x x a x x x f 2 1 ) , , , ( " ji ij a a = (3) 矩阵表达式 T n x x x x ) , , , ( 2 1 " = ( ) ij a A = ji ij a a =
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2008 春季班 线性代数 8 二次型 8 2 ) , , , ( 2 1 n x x x f " ) , , , ( 2 1 n x x x " nn n n n n a a a a a a a a a " " " " " " " 2 1 2 22 21 1 12 11 n x x x # 2 1 AX X T 二次型的矩阵表达式 ) , , , ( 2 1 n x x x f " AX X T 的矩阵 叫二次型的矩阵. A 它是一个对称矩阵.其中 ji ij a a = ,即满足 A A T = 二次型矩阵 的秩称为二次型的秩. A 例 1 二次型 2 1 3 2 3 2 2 2 1 3 2 1 ) ( ) ( ) ( ) , , ( x x x x x x x x x f + + + + = 的秩为 8.2 矩阵的合同 B A , 是两个 n 阶矩阵,若存在可逆方阵 ,使 ,则称 合同. P B AP P T = B A 合同有以下三个性质: (1) 自反性:任意方阵 和自身合同; A (2) 对称性:若方阵 合同,则 也合同; B A A B (3) 传递性:若方阵 合同,方阵 B A C 合同, B C 合同. A
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2008 春季班 线性代数 8 二次型 8 3 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵 来说, 如果存在可逆矩阵 和可逆矩阵 Q ,使得 A B P PAQ B = 等价.而矩阵的相似是对方阵说的,两个同 阶的矩阵 ,如果存在可逆矩阵 ,则 相似.矩阵的合同也是对方 阵说的,两个同阶的矩阵 ,如果存在可逆矩阵 A B A B P AP P B 1 = A B A B P AP P B T = 合同.由此可见,相 似的矩阵一定等价,合同的矩阵也一定等价.等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩,因此,相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩.显然,等价的矩阵不 一定相似,等价的矩阵也不一定合同. A B 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似.一个是可逆矩阵的逆,另一个是可逆矩阵的转 置.这是两个不同的概念,千万不要混淆.相似的矩 阵不一定合同,合同的矩阵也不一定相似.只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时,则有 AP P B 1 = AP P T = 这时, 既相似又合同.实对称矩阵就有这个性
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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