2009考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分第 5 讲 微分学基本定理及应用 2 不定积分与原函数 4.5 泰勒公式与洛必达法则 4.5.1 引言 对函数的许多性态研究,最终也将由泰勒公式(Taylor 公式)给出理论依据。例 如局部极值问题,以及用于求极限的洛必达法则,都是以泰勒公式为理论依据而得 到某些有效的方法。 处的可导性与可微性概念,在 附近的 可以表示为 ) ( x f y = 0 x 0 x ) ( x f ) ( ) )( ( ) ( ) ( 0 0 0 0 x x x x x f x f x f + + = α 其中 ) ( 0 x x 时的高阶无穷小量。 0 x x 计算 的近似值可取 ) ( x f ) )( ( ) ( ) ( 0 0 0 x x x f x f x f + 若舍去的误差 ) ( 0 x x 不能满足精度要求,则可设想是否在 0 x x 之间存在 ξ 使得 其中 为常数,事实上 2 0 0 0 0 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( x x f a x x x f x f x f + + = a 2 1 = a 。这正是泰勒公式的基本思想。也是微分中值定理的进一步推广。 4.5.2 n 阶泰勒公式 定理 4.10 泰勒公式 设函数 在区间 内具有 ) ( x f ) , ( b a 1 + n 阶导数, 2 0 0 0 0 0 ) ( ! 2 ) ( ) )( ( ) ( ) ( x x x f x x x f x f x f + + = ) ( ) ( ! ) ( 0 0 ) ( x R x x n x f n n n + + + L 其中 1 0 ) 1 ( ) ( )! 1 ( ) ( ) ( + + + = n n n x x n f x R 是介于 0 x x 之间的某个数。 ) ( x R n 称为 阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。 n 时的泰勒公式叫做麦克劳林公式,即 0 0 = x 刘坤林 谭泽光 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 2 ! 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( x f x f f x f + + = 1 )! 1 ( ) ( ) 1 ( ! ) 0 ( ) ( + + + + + + n x n n f n x n n f ξ L 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时, 只要求函数 在区间 内具 阶导数)为: ) ( x f ) , ( b a n 2 0 0 0 0 0 ) ( ! 2 ) ( ) )( ( ) ( ) ( x x x f x x x f x f x f + + = n n n x x o x x n x f ) ( ) ( ! ) ( 0 0 0 ) ( + + + L 注(1) 对本课程而言,具有拉格朗日形式余项的泰勒公式常用来证明不等式或分析 一些理论问题。 (2) 具有皮亚诺形式余项的泰勒公式常用来求极限,或考查(局部)极值问题。 (3) 具有拉格朗日余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广,而 拉格朗日微分中值定理实质是 0 阶泰勒公式。 (4) 对给定的函数进行泰勒展开时,一般有两种方法,即用泰勒公式定义,求 各阶导数的方法,称之为直接法;而利用初等函数泰勒公式的结论为依据,再利用 函数的代数运算与复合运算进行泰勒展开的方法,统称为间接方法。在题目中,如 果没有特别指明用直接方法,则可利用间接方法。 例 4.30 处展开为一阶泰勒公式(具有拉格朗日余项和皮亚 诺余项)。 2 ) ( x x f = 1 0 = x 【解】 2 ) ( , 2 ) 1 ( , 1 ) 1 ( = = = x f f f 处的展开式为(具有拉格朗日余项): 1 0 = x 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 + + = x x x 具有皮亚诺余项形式的展开式为(一阶) )) 1 (( ) 1 ( 2 1 2 + + = x o x x 例 4.31 x x x f = sin ) ( 0 0 = x 处的三阶泰勒公式(具有皮亚诺余项)。 【解】只须利用 的展开式进行运算即有 x sin 刘坤林 谭泽光 2
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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