2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分第 1 章 预备知识 函数概念 数列极限 1.1 预备知识 1.1.1 实数集的性质 实数连续性的描述: 实数比较公理与确界公理 实数比较公理: R x ,在 0 , 0 , 0 < = > x x x 又且仅有一款成立。 确界公理:任何有界实数集合,必有最小上界和最小下界;但不一定有最大数或最小数。 1.1.2 绝对值 x y = 是一种函数表达形式,对任意实数 x > = < = = 0 0 0 0 x x x x x x y ,或记为 < = = 0 0 x x x x x y 对任意实数 有: x 0 a a x a a x ,并且,若 0 = a 则必有 。而 0 = x a x a x a x 1.1.3 基本不等式 (1)绝对值不等式: R y x , x x x x x x 2 0 , + 2 2 2 ) ( y x y x + + y x y x + + 2 2 (2)三角不等式: ,有 R y x , y x y x + + y x y x (3)平均值不等式: ,有 R y x , xy y x + ) ( 2 1 2 2 ,则有 0 0 y x , xy y x + ) ( 2 1 例如 ,可证明: R y x , ) ( 2 2 2 2 2 y x y x y x + + + ) ( 2 2 2 2 2 2 y x xy y x y x + + + = + ) ( 2 2 2 2 2 y x y x y x + + + (4)对任意实数 ) , [ 2 0 π x x x x tan sin (5) 其他不等式: 1) 1 1 1 > > > a b a b b a ; 2) ( ) n a n a a n , 1 1 1 + > + 为正整 刘坤林 水木艾迪考研培训网 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 数;3)对 m n > 0 > k k n k m n m + + < 对以上不等式在应用中都应广义化,例如 R y x , ,有 ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( y x y x y x y x + + + 因为 均为实数,由不等式(4)即有本题不等式。 ) - cos( ) sin( y x y x + 又如 可证明: R y x , ) ( 2 2 2 2 2 y x y x y x + + + 因为 ) ( 2 2 2 2 2 2 y x xy y x y x + + + = + ,所以得到 ) ( 2 2 2 2 2 y x y x y x + + + 1.1.4 邻域与区间 定义 1. 1 邻域 数轴上的点 0 x δ 邻域是指点集 } 0 , { ) , ( 0 0 > < = δδ δ x x x x N 邻域内的点是由不等式 δ + < < δ 0 0 x x x 界定的,包括 点。 0 x 去心邻域 数轴上的点 δ 去心邻域是指点集 0 x } , { ) , (0 0 0 0 > δ δ < < = δ x x x x N 去心邻域与邻域的区别仅在于不包括 点。 0 x 区间:开区间 {} R x b x a x b a < < = , ) , ( 。闭区间 { } R x b x a x b a = , ] , [ 无穷区间常见形式有 R x a x x a > = +∞ , ) , ( { } R x a x x a = +∞ , ) , [ R x x = +∞ −∞ ) , ( ,与 { } R x b x x b < = −∞ , ) , ( { } R x b x x a = +∞ , ] , ( , 1.2 函数 函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础。函数关系表达了变量之间某种特 定的依赖关系,有时可以看作变量之间的对应关系。 定义 1.2 对实数集 中的任意 ,按某一确定的规则,若有唯一确定的实数值 X x y 与之对 应,则称 y 的函数,记为 x ) ( x f y = 这里,重要的是函数关系 ,而记号 (自变量)与 ) ( f x y (因变量)是人为取定的。实 数集
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