2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分第 3 章 导数概念、性质与计算 3.1 导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容,对它的背景与概念,应从极限的角度去认 识,并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。 由导数概念本身,可以得到一系列重要性质,而这些性质是研究函数性态的重要依据与工 具。在计算方面,应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公 式,导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函 数的求导公式及要点。 3.1.1 导数定义及其变形形式 定义 3.1 设函数 ) ( x f y = 在点 的某邻域内有定义, 0 x 0 x x x = Δ ) ( ) ( 0 0 x f x x f y Δ + = Δ ) ( ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x f x y x x = Δ Δ + = Δ Δ Δ Δ 0 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( x x x f x f x f x = Δ 导数 的几何意义:切线斜率。 ) ( 0 x f 等价性描述: ) ( ) ( 0 x A x x f Δ + = Δ Δ α , 。其中 ) ( 0 x f A = ) ( x Δ 时的无穷小量。 进一步可改写为 0 Δ x x x x x f x f Δ Δ + Δ = Δ ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x x x f x f x f Δ + Δ + = β 其中 x x x Δ Δ = Δ ) ( ) ( 时的高阶无穷小量。 0 Δ x 导数定义的描述,还可以扩展理解为 ) ( ) ( )) ( ( lim ) ( 0 0 0 0 x x f x x f x f x Δ Δ + = Δ 定义 3.2 如果 x x f x x f x y x x Δ Δ + = Δ Δ Δ Δ ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 存在,则称此极值为 处的左导数,记为 ;如果 ) ( x f 0 x ) ( 0 x f x x f x x f x y x x Δ Δ + = Δ Δ + + Δ Δ ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 刘坤林 水木艾迪考研培训网 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 存在,则称此极值为 处的右导数,记为 ) ( x f 0 x ) ( 0 x f + 显然由极限存在的充要条件, 处可导的充分必要条件是 处的左、右 导数都存在,且相等 ) ( x f 0 x ) ( x f 0 x = ) ( b f ) ( a f + 在闭区间 上可导,是指 内每一点都可导,并且 ) ( x f ] , [ b a ) ( x f ) , ( b a ) ( a f + ) ( b f 存在。 例 3.1 = + + )] 1 1 ln( sin ) 3 1 ln( [sin lim x x x x 【解】令 x t 1 = ,则 原极限= t t t t ) 1 ln( sin ) 3 1 ln( sin lim 0 + + 2 | ] ) 1 ln( sin ) 3 1 ln( sin 3 [ 0 = + + = = t t t 例 3.2(1) k a f = ) ( 存在,则 = +∞ ) ( ) 1 ( lim a f h a f h h )。 (A) 。 (B) k (C) (D)不存在。 k 0 【解】 +∞ ) ( ) 1 ( lim a f h a f h h h a f h a f h 1 ) ( ) 1 ( lim = +∞ t a f t a f t ) ( ) ( lim 0 + = . ) ( ) ( k a f a f = = = 上述第最后用到了导数存在的充要条件:左右导数存在且相等,因此应选(A)。 例 3.2(2)( 2007- 数一、二、三、四共用)设函数 ) ( x f 0 = x 处连续, 下列命题错误的是( )。 A )若 x x f x ) ( lim 0 存在,则 0 ) 0 ( = f B )若 x x f x f x ) ( ) ( lim 0 + 存在,则 0 ) 0 ( = f C )若 x x f x ) (
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