2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分辅导第 2 章 函数的极限与连续函数 2.1 函数的极限概念 2.1.1 函数在无穷远处的极限 在掌握好数列极限的概念与方法的前提下,可以顺利地学好函数的极限,只需要注意在 函数极限问题里,自变量的趋向应包括以下 6 种情况: 0 x x + 0 x x x x +∞ x −∞ x x 掌握好函数极限的概念与方法,是进一步为学习函数连续性、导数等后续概念的重要基 础。 定义 2.1 设函数 在区间 ) ( x f y = ) , ( + a 内有定义, 0 > ε ,若存在某个常数 A ,使当 时恒有 0 > X X x > < A x f ) ( ,则称 ) ( x f y = 趋于正无穷大时的极限为 x A ,或收敛于 A 。记为 A x f x = +∞ ) ( lim 若在上述的常数 ,则 称 是当 趋于正无穷大时的无穷小量。若上述定义中 0 = A ) ( x f x A 不存在,则称 趋于正无穷大时的极限不存在,或发散。 ) ( x f x 注:上述定义的几何意义与数列极限香类似。 定义 2.2 设函数 ) ( x f y = 在区间 ) , ( + a 内有定义, 0 > G ,若存在某个 ,使当 时,恒有 0 > X X x > G x f > ) ( ,则称 是当 趋于正无穷大时的无穷大量。记为 ) ( x f x = +∞ ) ( lim x f x 当然,还有有如下的两种情况: +∞ = +∞ ) ( lim x f x )与 G x f > ) ( −∞ = +∞ ) ( lim x f x G x f < ) ( 类似上述两个定义,可给出 −∞ x 的极限与 为无穷大量的定义。读 者可练习给出下列 ) ( x f ) ( x f −∞ x 时的极限与无穷大量的定义描述: A x f x = −∞ ) ( lim = −∞ ) ( lim x f x +∞ = −∞ ) ( lim x f x −∞ = −∞ ) ( lim x f x 定义 2.3 设函数 ) ( x f y = 在区间 ) , ( + −∞ 内有定义,若存在某个常数 A ,使 0 > X X x > < A x f ) ( ) ( x f y = 趋于无穷大时的极限为 x A ,或收敛 A 。记为 A x f x = ) ( lim 若在上述的常数 ,则称 是当 趋于无穷大时的无穷小量。 若上述定义中 0 = A ) ( x f x 刘坤林 水木艾迪考研培训网 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 A 不存在,则称 趋于无穷大时的极限不存在,或发散。应特别注意,这里 双向方式趋于无穷大。 ) ( x f x x 类似前面的定义,还可以给出当 (双向)趋于无穷大时, 为无穷大量的三种描 述,即正无穷大量,负无穷大量和(双向)无穷大量。请读者完成这些练习。 x ) ( x f 2.1.2 函数在一点处的极限 定义 2.4 设函数 ) ( x f y = 的去心邻域 0 x } , { ) , ( * 0 0 0 0 > < < = δδ δ x x x x N 内有定义,若 0 > ε ,都存在某个常数 A 0 0 > < 0 ),使当 0 0 0 < < x x 时, 恒有 < A x f ) ( ,则称 趋于 时的极限为 ) ( x f y = x 0 x A ,或收敛于 A 。记为 A x f x x = ) ( lim 0 若在上述的常数 ,则 称 是当 趋于 时的无穷小量。 若上述定义中的 0 = A ) ( x f x 0 x A
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