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2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分第 6 讲 定积分的概念与计算 6.1 定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 * 概念:定积分作为和式的极限,积分中值定理,保序性与估值定理,定积分是一 个数。 * 方法:凑微分法,分部积分,回归法,变量替换,区间变换。 * 积分等式与不等式的证明。 6.1.1 定义 定义 6.1 设函数 在有界闭区间 上有定义, 且有界, 若: ) ( x f ] , [ b a (1) 任意分割区间 : 取点列 : 记 ] , [ b a n x x x , , , 1 0 L 1 = Δ i i i x x x , i i x Δ = max λ ; (2) 任取 ] , [ 1 i i i x x ξ ; (3)作和式 = Δ = n i i i n x f S 1 ) ( ξ (4) 若极限 存在, 且极限值与区间 分割的任意 性和 s x f S n i i i n = Δ = = 1 0 0 ) ( lim lim ξ λ λ ] , [ b a [ i i i x x , 1 ] ξ 取值的任意性无关, 则称函数 在区间 上可积, 该极限 称为函数 在区间 上的积分, 记作 ) ( x f ] , [ b a s x f S n i i i n = Δ = = 1 0 0 ) ( lim lim ξ λ λ ) ( x f ] , [ b a s S dx x f b a I n b a f = = = 0 lim ) ( ) , ( λ b a , 分别称为积分的下、上限, 称为被积函数, ) ( x f x 称为积分中间变量, 定积分 的值与积分中间变量的符号无关,即 = b a b a dt t f dx x f ) ( ) ( 6.1.2 函数的可积性条件 定理 6.1 函数在有界闭区间 可积的必要条件:,是函数 上有界。 ] , [ b a ) ( x f ] , [ b a 定理 6.2 函数在有界闭区间 可积的充分条件(满足下列条件之一即可) ] , [ b a (1) 在区间 上单调有界; ) ( x f ] , [ b a (2) 在区间 上有界,且只有有限个间断点; ) ( x f ] , [ b a (3) 在区间 上连续. ) ( x f ] , [ b a 刘坤林 谭泽光 1
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