2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分第 6 讲 定积分的概念与计算 6.1 定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 * 概念:定积分作为和式的极限,积分中值定理,保序性与估值定理,定积分是一 个数。 * 方法:凑微分法,分部积分,回归法,变量替换,区间变换。 * 积分等式与不等式的证明。 6.1.1 定义 定义 6.1 设函数 在有界闭区间 上有定义, 且有界, 若: ) ( x f ] , [ b a (1) 任意分割区间 : 取点列 : 记 ] , [ b a n x x x , , , 1 0 L 1 = Δ i i i x x x , i i x Δ = max λ ; (2) 任取 ] , [ 1 i i i x x ξ ; (3)作和式 = Δ = n i i i n x f S 1 ) ( (4) 若极限 存在, 且极限值与区间 分割的任意 性和 s x f S n i i i n = Δ = = 1 0 0 ) ( lim lim ] , [ b a [ i i i x x , 1 ] 取值的任意性无关, 则称函数 在区间 上可积, 该极限 称为函数 在区间 上的积分, 记作 ) ( x f ] , [ b a s x f S n i i i n = Δ = = 1 0 0 ) ( lim lim ) ( x f ] , [ b a s S dx x f b a I n b a f = = = 0 lim ) ( ) , ( b a , 分别称为积分的下、上限, 称为被积函数, ) ( x f x 称为积分中间变量, 定积分 的值与积分中间变量的符号无关,即 = b a b a dt t f dx x f ) ( ) ( 6.1.2 函数的可积性条件 定理 6.1 函数在有界闭区间 可积的必要条件:,是函数 上有界。 ] , [ b a ) ( x f ] , [ b a 定理 6.2 函数在有界闭区间 可积的充分条件(满足下列条件之一即可) ] , [ b a (1) 在区间 上单调有界; ) ( x f ] , [ b a (2) 在区间 上有界,且只有有限个间断点; ) ( x f ] , [ b a (3) 在区间 上连续. ) ( x f ] , [ b a 刘坤林 谭泽光 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限(见后述例题) 6.1.3 定积分的性质及常用结论 (1) = a b b a dx x f dx x f ) ( ) ( (2) 对积分区间的可加性: 对被积 函数满足线性性: + = b c c a b a dx x f dx x f dx x f R c ) ( ) ( ) ( , [] + = + b a b a b a dx x g B dx x f A dx x Bg x Af ) ( ) ( ) ( ) ( (3) 上可积, 则 ) ( x f ] , [ b a ) ( x f 上也可积, 且 ] , [ b a b a b a dx x f dx x f ) ( ) ( (4)保序性(保号性): 若可积函数 ] , [ , 0 ) ( b a x x f , 则 0 ) ( b a dx x f 若可积函数 满足 , 则 ) ( ), ( x g x f ) ( ) ( x g x f b a b a dx x g dx x f ) ( ) ( 特别,若非负连续函数 上不恒为零, 则 ) ( x f ] , [ b a 0 ) ( > b a dx x f 推论:估值定理: 若可积函数 上满足 ) ( x f ] , [ b a M x f m ) ( , 则 ) ( ) ( ) ( a b M dx x f a b m b a 进一步, 若函数 上非负可积, 则(称为比较性质) ) ( x g ] , [ b a b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m ) ( ) ( ) ( ) ( (4) 积分中值定理: 若函数 上连续, 上取定号且可积, ) ( x f ] , [ b a ) ( x g ] , [ b a ), , ( b a ξ 使 = b a b a dx x g f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( 特别, 时, 1 ) ( x g ], , [ b a 使 , 或 ) )( ( ) ( a b f dx x f b a = __________ ] , [ ) ( ) ( ) ( x f f a b dx x f b a b a = = (平均值) 事实上还可进一步证明 ), , ( 0 b a
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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