2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 第 17 讲 数项级数 ( ) 级数的概念与性质 ( ) 正项级数的判敛问题 ( ) 任意项级数的判敛问题 ( ) 综合例题 级数内容提要 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,是数与函数的一种重要表示形式,也是研究函数 的一种重要方法。级数问题的基础是极限理论。数项级数、幂级数、傅里叶级数是我们研究的三 种基本级数。为了掌握好数项级数的有关内容,必须理解数项级数的有关概念,熟练掌握级数运 算的记号,掌握并运用收敛级数的基本性质及常见的判别法(比较、比值、根式、莱布尼兹、绝 对值),做到正确判断正项级数、交错级数及任意项级数的敛散性。 17 1 数项级数基本概念 17 1 1 定义与符号运算 定义 17.1 { 是一个数列,则称表达式 } n u L L + + + = = 3 2 1 1 u u u u n n 为一个数项级数,简称级数,其中 称为数项级数的通项(或一般项)。 n u = = n k k n u S 1 称为数项级数的前 项部分和。 n 级数的部分和记号 与级数一般项 的运算关系是 = = n k k n u S 1 n u 1 1 + + + = n n n u S S = n u 1 n n S S 定义 17.2 若级数 的部分和数列 = 1 n n u { } n S 有极限,则称级数 收敛, 极限值 = 1 n n u S S n n = lim 称为此级数的和;当 不存在时 , 则称级数 发散。 n n S lim = 1 n n u 根据级数收敛的定义,其和为 S S u u n n k n k n n n = = = = = 1 1 lim lim 例 17.1 几何级数(等比级数--尺度 1) + + + + + = = 1 1 2 1 n n n ax ax ax a ax L L ( a 0 , x R ) . 【解】 显然有, x x a S n n = 1 ) 1 ( , L , 2 , 1 = n . 刘坤林 谭泽光 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 || 时, = x < 1 n n S lim () x a x x a n n = 1 1 1 lim , 该级数收敛, 和为 x a 1 时, 不存在,该级数发散. x 1 n n S lim 例 17.2 级数 + + = 1 ) 2 )( 1 ( 1 n n n 收敛, 其和为 2 1 【解】首先 2 1 1 1 ) 2 )( 1 ( 1 + + = + + n n n n ,级数的部分和为 2 1 2 1 + = n S n ,于是 2 1 2 1 2 1 lim lim = + = n S n n n . 17.3 数项级数 = 1 2 2 1 arctan n n 的和为 4 π 分析:例 17.3 中利用拆项求数项级数部分和 , 进一步直接求出级数的和 , 这种方法也可以处理一 些比较复杂的级数问题。上述例题也可用这类方法。 【解】由三角函数的差角公式可得到 = = + + + = = m n m n m n n n n n S 1 1 2 ) 1 2 )( 1 2 ( 1 ) 1 2 ( ) 1 2 ( arctan 2 1 arctan 4 ) 1 2 arctan( 1 arctan ) 1 2 arctan( )] 1 2 arctan( ) 1 2 [arctan( 1 + = + = + = = m m n n m n 所以 4 lim = m m S ,故原级数的和为 4 。以上第三个等号用到差角公式。 17 2 2 收敛级数的性质 性质 1 :(级数收敛的必要条件)若级数 收敛,则 = 1
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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