2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分辅导第 13 章 多元微分的应用 : 极值与条件极值问题 二重积分 多元微分的应用 : 极值与条件极值问题 13.1 二元函数的二阶泰勒公式 () + Δ Δ + = y x y x y x f y x f y x f , ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 , , , , 2 1 y x o y x y y x f y x y x f y x y x f x y x f y x Δ + Δ + Δ Δ Δ Δ + 13.2 多元函数的极值 定义13.1 值与极值点: 设函数 , 若存在点 R R D f n : D x 0 r 某个邻域 U , 都有 U x r ) ( ) ( 0 x f x f r r 则称 ) ( 0 x f r ) ( x f r 的一个极小值 (minimum),并称 0 x r f 的一 个极小值点. 类似地: 都有 U x r ) ( ) ( 0 x f x f r r 则称 ) ( 0 x f r 的一个极大值 (maximum),并称 的一个极大值点. ) ( x f r 0 x r ) ( x f r 定理13.1 极值点的必要条件:设函数 在点 R R D f n : D x 0 r 达到极值,若 f 该点可微,则有, ( ) n i x f i , , 1 , 0 0 L r = = , 或者 0 ) ( 0 1 0 0 = = T n x x f x x f x gradf r L r r . 定理13.2 极值点的充分条件:设 点某邻域 R R f n : n R M 0 ( ) 0 M U 内二阶偏导数连 续,且 是驻点,即 0 M 0 ) ( 0 = M gradf ,则 (1) 正定时, ) ( 0 M H f 0 M ) ( x f r 的极小值点;( ,且 0 2 > B AC 0 > A (2) 负定时, ) ( 0 M H f 0 M ) ( x f r 的极大值点;( ,且 0 2 > B AC 0 < A 刘坤林 水木艾迪考研培训网 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 (3) 不定时( )( ), 不是 ) ( 0 M H f 0 2 < B AC 0 2 = B AC 0 M ) ( x f r 的极值点. (4) ,方法失效。 0 2 = B AC 其中 ) ( 0 M H f ) ( x f r 处的海森矩阵, 0 M () = = C B B A y y x f y x y x f y x y x f x y x f M H f 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 , , , , ) ( 例13.1 求函数 fxy x y x y (,) =+ 22 4 4 2 2 2 的所有局部极值. 【解】求偏导数得 y y y f x x x f 4 4 , 4 8 3 3 = = ,解 = = = = 0 4 4 0 4 8 3 3 y y y f x x x f , 得到 9 个驻点: ), 1 , 2 1 ( ) , ( ), 1 , 2 1 ( ) , ( ), 0 , 2 1 ( ) , ( ), 1 , 0 ( ) , ( ), 1 , 0 ( ) , ( ), 0 , 0 ( ) , ( 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 = = = = = = y x y x y x y x y x y x ) 1 , 2 1 ( ) , ( ), 1 , 2 1 ( ) , ( ), 0 , 2 1 ( ) , ( 9 9 8 8 7 7 = = = y x y x y x 求二阶偏导数得 0 , 4 12 , 4 24 2 2 2 2 2 2 2 = = = y x f x y f x x f 在上述每个点计算 A B C ,, 得到下表: 64 64 32 64 64 32 32 32 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 4 8 8 4 8 8 4 8 8 8 8 8 8 4 4 4 ) 1 , 2 1 ( ) 1 , 2 1 ( ) 0 , 2 1 ( ) 1 , 2 1 ( ) 1 , 2 1 ( ) 0 , 2 1 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2 B C A C B A y x i i i i i i i i 由极值的充分条件可知,函数 f ) , )( , )( , ( ), , ( 9 9 8 8 6 6 5 5 y x y x y x y x 取局部极小值,其它点均为鞍点(非极值点).
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