2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分辅导第 15 章 第二类曲线积分 2 与第一类曲面积分 1. 平面曲线积分与路径无关的条件 D 刘坤林 谭泽光 1 定理 15.1 (Green 公式) 设 为平面上的有界连通闭区域,记 D 的有向边界,其正方向 的定义为:沿 的正方向走, 区域在其左边.若平面二元向量值函数 类函数(即 有一阶连续偏导数),则 D D D ) 1 ( C D )) , ( ), , ( ( ) , ( y x Y y x X y x = F ) , ( ), , ( y x Y y x X ∫∫ = + DD dxdy x X x Y Ydy Xdx 【证】 定理 15.2 在单连通域 中: D )) , ( ), , ( ( ) , ( y x Y y x X y x = F 有一阶连续偏导数,线积分与路 径无关(任意闭路积分为零) y X x Y = 【证】 定理 15.3 在单连通域 中: D )) , ( ), , ( ( ) , ( y x Y y x X y x = F 有一阶连续偏导数,则存在 的可微函数 满足 D y X x Y = ) , ( y x u Ydy Xdx Y x u + = ) , ( 【证】 定理 15.4 在复连通域 中: D )) , ( ), , ( ( ) , ( y x Y y x X y x = F 有一阶连续偏导数,且满足 y X x Y = ,则 (1)当 中有唯一奇 点时,则环绕 的任意闭路积分恒为一个常数。 0 P 0 P D (1)当 中有有限个奇点 点时,则在任意环绕 在内的闭路积分恒 为一个常数: n P P P , , , 2 1 L n P P P , , , 2 1 L D C n i L L i = = 1 【证】 ) 2 , 2 ( π B ) 2 , 2 ( C ) 2 , 2 ( A L 例1 5 . 1 设有向折线 的两段线段构成,计算 xdy dx y L 2 2 sin cos 【解】(方法 1) + = BC AB L xdy ydx xdy ydx xdy dx y 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos = = 2 2 2 2 2 cos 2 sin 2 2 dx dy (方法 2)用 Green 定理方法:
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 = CA ABCA L xdy ydx xdy dx y xdy ydx 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos ∫∫ Δ + = 2 2 2 2 ) ( sin ) ( cos ) cos sin 2 cos sin 2 ( π x xd dx x dxdy y y x x ABC = = 2 2 0 dx ( ) ( ) + + = L dy y x x dx x y xy I 2 2 2 4 2 2 刘坤林 谭泽光 2 例15.2 L 正向, 则 9 2 2 = + y x =? 【解】 我们已用直接法求值.现在我们用 Green 公式来求值. () ( ) ∫∫ + = + + = D L dxdy x y xy y y x x x dy y x x dx x y xy I 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 { } 9 ) , ( 2 2 + = y x y x D 其中 ππ 18 9 2 2 2 4 2 = × = + = ∫∫ D dxdy x x I 1 2 2 2 2 = + b y a x 例 15.3 , 其中 + + + L x x dy e x dx ye ) ( ) 1 ( L 为沿椭圆 的上半周由 . ) 0 , ( a A ) 0 , ( a B BA 【解】 添加辅助直线 , 由 Green 公式 ab dxdy e e dy e x dx ye D x x BA L x x 2 ) 1 ( ) ( ) 1 ( = + = + + + ∫∫ + . a dy e x dx ye BA x x 2 ) ( ) 1 ( = + + + a ab dy e x dx ye L x x 2 2 ) ( ) 1 ( = + + + 若曲线本身不封闭, 可以通过添加辅助线的方法使其封闭, 然后再用 Green 公式简化计算.
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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