2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 第 18 讲 函数项级数 (一) 函数项级函的收敛域 (二) 幂级数和函数的幂级数展开 (三) 周期函数的三角级数展开 (四) 综合例题 18.1 函数项级函的收敛域 公项是函数的级数称为函数项级数,它是否也表示一个函数的有关概念,首先是借助于 数项级数的收敛性概念给出的。 定义 18.1 设函数 都在 上有定义,则称表达式 ) , 3 , 2 , 1 ( ) ( L = n x u n D L + + + = = ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 1 x u x u x u x u n n 为定义在 上的函数项级数, 称为级数的通项, 称为级数的部分 和函数。 D ) ( x u n = = n k k n x u x S 1 ) ( ) ( 定义 18.2 是定义在 上的一个函数项级数, = 1 ) ( n n x u D D x 0 ,若数项级数 收敛,则称 的一个收敛点。所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域。 = 1 0 ) ( n n x u 0 x = 1 ) ( n n x u 定义 18.3 设函数项级数 的收敛域为 = 1 ) ( n n x u I ,则任给 I x ,存在惟一的实数 使得 成立。定义在 ) ( x S = = 1 ) ( ) ( n n x u x S I 上的函数 称为级数 的和函数。 ) ( x S = 1 ) ( n n x u 利用收敛域的定义及数项级数的有关判敛法可以求某些简单函数项级数的收敛域。 关于函数项级数收敛域的确定,一般是基于数项级数判敛方法得到收敛点的集合。 例如,讨论下列级数的收敛域 (1) = 1 2 ) ( sin n n nx : () +∞ = , D (2) : ( = 1 sin n x n ) {} L , 1 , 0 , ± = = = k k x R x D π 刘坤林 谭泽光 章纪民 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 (3) n n x n n = 1 200 ! : ; (4) : {} 0 = D x n n e n = 1 ! φ = D 注意:(1) 函数项级数的收敛域是逐点考察的,是“点收敛”。 当确定 , 就是一个数项级数, 若它收敛,此点 称为该级数的一个收敛点;级数收敛域是其收敛点 的全体。 0 x x = () = 1 0 n n x u 0 x (2)一般来说,收敛域可能是较为复杂的集合。 18 2 幂级数的概念 幂级数是一类简单的函数项级数。只有真正理解幂级数收敛半径的概念,掌握幂级数 在其收敛区间内的性质,才能掌握好收敛半径的求法,并能处理将函数展开为指定点的幂级 数和求简单级数的和的问题。 18 2 1 幂级数的定义与收敛域 定义 18.4 是一实数列,则称形如 的函数项级数为 处的幂级数。 ) , 3 , 2 , 1 , 0 ( L = n a n = 0 0 ) ( n n n x x a 0 x 0 0 = x 时的幂级数为 = 0 n n n x a 1 .幂级数的收敛域 幂级数作为一种特殊的函数项级数,其收敛域也具有某些特定的性质。 这主要体现在以下的定理和其推论中。 定理 18.1 (阿贝尔定理)若幂级数 = 0 n n n x a 0 0 x 处收敛,则其在 0 x x < 时绝对收敛。 】设 0 x x < ,级数 收敛,则 ,即存在 = 0 0 n n n x a 0 lim 0 = n n n x a N 0 > M 使 N n > M x a n n < 0 。考虑 n n n n n n x x M x x x a x a 0 0 0 < = ,由于 1 0 < x x = 0 0 n n x x M
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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