2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分辅导第 16 章 第二类曲面积分与场论 第二类曲面积分 16.1 第二类曲面积分 16.1.1 第二类曲面积分的定义与性质 3 R Ω )) , , ( ), , , ( ), , , ( ( ) , , ( z y x Z z y x Y z y x X z y x = F 定义16.1 设向量值函数 定义在 上, 中的一块逐片光滑的可定向曲面,其正向为 . S + S Ω ( ) 0 i i i S n S Δ = Δ + 刘坤林 谭泽光 1 (1) 把 任意地分成 个有向小块 n + S , , , , 2 , 1 n i L = 其中 分别为每 个小块的面积, i S Δ ) , , ( i i i ς η ξ F i i i i S Δ ) , , ( i S Δ ) , , ( i i i i Q (2) 任取 ,得到 0 i n 内任意一点 处曲面 的单位正法向量. (3) 作 Riemann 和 = Δ n i i i i i 1 ) , , ( S F ςη 0 λ i S Δ (4)再记 为所有 ( )直径的最大值. 如果当 , , , 2 , 1 n i L = 时, 上述 Riemann 和 的极限存在, 且该极限值与有向小块的分法和点 ) , , ( i i i i Q 的取法无关, 则称该极限为向 量值函数 在有向曲面 上的第二类曲面积分, 记作 + S ) , , ( z y x F ∫∫ = Δ = + n i i i i i d z y x 1 0 ) , , ( lim ) , , ( S F S F S ςηξ 函数 为被积函数, 为积分曲面(有向), 为曲面的有向面积微分. S d + S ) , , ( z y x F 若记单位正法向量 , ( ) cos , cos , (cos 0 γβ α = i n γ β , , 分别为单位正法向量与三个坐标 轴的夹角), 则上述第二类曲面积分又可记为 [] ∫∫ ∫∫ ∫∫ + + = = + S S dS z y x Z z y x Y z y x X dS z y x d z y x cos ) , , ( cos ) , , ( cos ) , , ( ) , , ( ) , , ( 0 n F S F S 上式等号的右端为第一类曲面积分.若记 dS dy dx dS dx dz dS dz dy cos , cos , cos = = = 分别称为 dS xy zx yz , , cos , cos , cos 平面上的有向投影 ( 可正可负,因此 dy dx dx dz dz dy , , 也可正可负), 例如: < = = πγ π σ γσ 2 , 2 0 , cos xy xy d d dS dy dx 其中 0 xy d dS xy 平面上的投影.所以第二类曲面积分也可以记成 ∫∫ ∫∫ + + + + = S S S F dy dx z y x Z dx dz z y x Y dz dy z y x X d z y x ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 第二类曲面积分的性质 1. 第二类曲面积分与曲面的方向有关: ; ∫∫ ∫∫ + = S S S F S F d z y x d z y x ) , , ( ) , , ( 2. 若 , 的正向一致,则 2 1 S S S = 2 1 , , S S S
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 ∫∫ ∫∫ ∫∫ + + + = + 2 1 ) , , ( ) , , ( ) , , ( S S S S F S F S F d z y x d z y x d z y x 16.1.2 第二类曲面积分的计算 解答与引导 第二型曲面积分的常用计算方法有两种,一是根据积分曲面的方程和定向 直接将曲面积分化成二重积分;二是利用高斯公式将曲面积分化为三重积分。除此之外,对 一些特殊的第二型曲面积分,利用两类曲面积分之间的联系将其转化为第一型曲面积分或利 用斯托克斯公式将其转化为曲线积分也是一种可行的方法。 在将曲面积分化为二重积分时,选择合适的积分曲面方程是关键,例如当积分曲面是球
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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