2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分辅导第 14 章 三重积分,曲线积分 1 三重积分:概念、性质、计算及应用 背景:三维物体质量 14.1 三重积分的概念及性质 3 R Ω 定义14.1 设函数 在有界闭区域 ) , , ( z y x f 上有定义, 且有界, 若: Y X i Y X i = ΔΩ , sup λ Ω i n i = 1 max , 记 , ; (1) 任意分割区域 , , , 1 , ) , , ( n i i i i i L = ΔΩ ς η ξ (2) 任取 刘坤林 谭泽光 1 (3)作和式 , 其中 = Δ = n i i i i i n V f S 1 ) , , ( ςη i V Δ i ΔΩ 的体积; (4) 若极限 存在, 且极限值与区域 分割的任意性和点 = Δ = n i i i i i n f S 1 0 0 ) , , ( lim lim σς ηξ Ω , , , 1 , ) , , ( n i i i i i L = ΔΩ 选值的任意性无关, 则称函数 在区域 上可积, 该极 限值称为函数 在区间 上的三重积分, 记作 ) , , ( z y x f Ω ) , , ( z y x f Ω ∫∫∫ = Ω Δ = n i i i i i V f dV z y x f 1 0 ) , , ( lim ) , , ( . Ω 称为积分区域, 称为被积函数, ) , , ( z y x f z y x , , 称为积分中间变量, 体积元素 又记 . 三重积分的值与积分中间变量的符号无关: dV dxdydz ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω = dudvdw w v u f dxdydz z y x f ) , , ( ) , , ( 连续函数一定在有界区域内可积 z 简单性质:线性性,保序性,估值性,中值定理,对积分区域的可加性 1 Ω 2 Ω 2 1 Ω Ω U (1) 对积分区域的可加性: 设 在区域 ) , , ( z y x f 上可积, 无内点, 则 2 1 Ω Ω U ) , ( y x f 上可积,且 = ∫∫∫ Ω Ω 2 1 ) , , ( dxdydz z y x f + ∫∫∫ Ω 1 ) , , ( dxdydz z y x f ∫∫∫ Ω 2 ) , , ( dxdydz z y x f (2) 对被积函数满足线性性: [] = + ∫∫∫ Ω dxdydz z y x Bg z y x Af ) , , ( ) , , ( + ∫∫∫ Ω dxdydz z y x f A ) , , ( ∫∫∫ Ω dxdydz z y x g B ) , , ( (3)保序性: 若可积函数 Ω ) , , ( , 0 ) , , ( z y x z y x f , 则. 0 ) , , ( ∫∫∫ Ω dxdydz z y x f 以下(4)---(6)为保序性的推论: Ω ) , , ( ), , , ( ) , , ( z y x z y x g z y x f , 则 (4)若可积函数 ∫∫∫ Ω dxdydz z y x f ) , , ( ∫∫∫ Ω dxdydz z y x g ) , , ( (5)估值定理: 若可积函数 ) , , ( z y x f M z y x f m ) , , ( Ω 上满足 , 则 Ω Ω Ω ∫∫∫ MV dxdydz z y x f mV ) , , (
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 (6) 其中 Ω 区域的体积. 进一步, 若函数 Ω V ) , , ( z y x g Ω 上非负可积, 则 dz dxdy z y x g M dz dxdy z y x g z y x f dz dxdy z y x g m ∫∫∫ Ω Ω Ω ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( z y x f 刘坤林 谭泽光 2 (7)若 上可积, ) , , ( z y x f Ω Ω 上也可积, ∫∫∫ Ω dxdydz z y x f ) , , ( ∫∫∫ Ω dxdydz z y x f ) , , ( (8)中值定理: 若函数 ) , , ( z y x f Ω 上连续, ) , , ( z y x g Ω 上取定号且可积, 则 Ω ) , , ( ς η ξ ,使 Ω Ω = dxdydz z y x g f dxdydz z y x g z y x f ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ςηξ 1 ) , , ( z y x g Ω ) , , ( 特别地, 时, 使 Ω Ω Ω = = V f dz dxdy f dxdydz z y x f ) , , ( ) , , ( ) , , ( 其中 Ω 区域的体积.
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