2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分第 4 章 微分学基本定理及应用 4.1 引言 微分学基本定理的首要背景是研究可导函数 ) ( x f y = 在某点 处取得极值的问题。函 处取得极值(应该说是局部极值——微观性态)的基本事实是在 处的函数增量 0 x ) ( x f y = 0 x x = 0 x x = ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x f x x f x f Δ + = Δ 附近(或者说两侧)为定号,即恒为正或恒 为负。 以在 处取得极大值情况来分析 0 x 0 x ) ( x f y = 附近(某 0 x ) , ( 0 δ x N 邻域)的微观 性态如下: 处可导,在 处取得极大值,即在 ) ( x f 0 x 0 x ) , ( 0 x N 内的任意 x 处应有 ,由此可知 ) ( ) ( 0 x f x f 0 ) ( ) ( 0 = Δ x f x f f ,即在 ) , ( 0 x N 内偏离 时,函数 取值会变小,于是可知: 0 x ) ( x f 0 x x > 0 ) ( ) ( 0 0 0 Δ + = Δ Δ x x x f x x f x f 由极限的保序性便得到 0 lim 0 Δ Δ + Δ x f x 0 ) ( 0 + x f ,则 0 x x < 0 ) ( ) ( 0 0 = Δ Δ x x x f x f x f 0 lim 0 Δ Δ Δ x f x 0 ) ( 0 x f 于是我们有 并且 。由此断定 ,这便是费马定理的结论。 0 ) ( 0 x f 0 ) ( 0 x f 0 ) ( 0 = x f 由费马定理可以直接导出导数零点定理,并且可以导出其余几个微分学基本定理。 4.2 微分中值定理 定理 4.1 费马定理(Fermat 定理,可导函数取得极值的必要条件) 满足:1 ° 在某邻域 ) ( x f ) , ( 0 x N 内有定义,并且 ) , ( 0 x N x (或 ;2 ° 处可导,则 ) ( ) ( 0 x f x f )) ( 0 x f 0 x 0 ) ( 0 = x f 例 4.1 证明导数零点定理 导数零点定理 设函数 上可导,并且 ) ( x f y = ] , [ b a 0 ) ( ) ( < + b f a f 。则必 ,使得 (在 处有水平切线)。 ) , ( 0 b a x 0 ) ( 0 = x f 0 x 两点异号,若 ) ( x f b a , 0 ) ( < + a f ,由局部比较性质,则 ) ( x f a x = 右侧 刘坤林 水木艾迪考研培训网 1
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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 使得 ,因此 不是 的最小值点;而 1 x ) ( ) ( 1 a f x f < ) ( a f ) ( x f 0 ) ( > b f ,同样在 侧有 使得 b x = 2 x ) ( ) ( 2 b f x f < ,即 也不是 的最小值点。因此可导函数 必有最 小值点 ,再由费马定理,即有 ) ( b f ) ( x f ) ( x f ) , ( 0 b a x 0 ) ( 0 = x f 【证】设 (另一情况请读者完成证明),即有 0 ) ( < + a f 0 ) ( > b f 0 ) ( ) ( lim ) ( < = + + a x a f x f a f a x 按极限定义, 0 1 > ε 0 1 > δ ,使当 1 0 < < a x 时有 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( + < < + + a f a x a f x f a f 0 ) ( 2 1 1 > = + a f ,则有 0 ) )( ( 2 1 ) ( ) ( < < + a x a f a f x f ,因此 不是 上的最小值。 ) ( ) ( a f x f < ) ( a f ) ( x f ] , [ b a 另外又有 ,则 0 ) ( > b f 0 2 > 0 2 > ,使当 2 0 < < x b 时必有 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( + < < b f b x b f x f b f 特别取 0 ) ( 2 1 2 > = b f ,则有 0 ) )( ( 2 3 ) ( ) ( < < b x b f b f x f 。因此 亦不是 上的最小值。 ) ( ) ( b f x f < ) ( b f ) ( x f ] , [ b a 因为 上可导,必连续,由最大最小值定理,特别必有 ) ( x f ] , [ b a ) , ( 0 b a x ,使得
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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