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2010考研数学基础ç

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水木艾迪 www.etsinghua.org 电话: 010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 503 基础班微积分第 4 章 微分学基本定理及应用 4.1 引言 微分学基本定理的首要背景是研究可导函数 ) ( x f y = 在某点 处取得极值的问题。函 处取得极值(应该说是局部极值——微观性态)的基本事实是在 处的函数增量 0 x ) ( x f y = 0 x x = 0 x x = ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x f x x f x f Δ + = Δ 附近(或者说两侧)为定号,即恒为正或恒 为负。 以在 处取得极大值情况来分析 0 x 0 x ) ( x f y = 附近(某 0 x ) , ( 0 δ x N 邻域)的微观 性态如下: 处 可 导 , 在 处 取 得 极 大 值 , 即 在 ) ( x f 0 x 0 x ) , ( 0 δ x N 内 的 任 意 x 处 应 有 ,由此可知 ) ( ) ( 0 x f x f 0 ) ( ) ( 0 = Δ x f x f f ,即在 ) , ( 0 δ x N 内偏离 时,函数 取值会变小,于是可知: 0 x ) ( x f 0 x x > 0 ) ( ) ( 0 0 0 Δ + = Δ Δ x x x f x x f x f 由极限的保序性便得到 0 lim 0 Δ Δ + Δ x f x 0 ) ( 0 + x f ,则 0 x x < 0 ) ( ) ( 0 0 = Δ Δ x x x f x f x f 0 lim 0 Δ Δ Δ x f x 0 ) ( 0 x f 于是我们有 并且 。由此断定 ,这便是费马定理的结论。 0 ) ( 0 x f 0 ) ( 0 x f 0 ) ( 0 = x f 由费马定理可以直接导出导数零点定理,并且可以导出其余几个微分学基本定理。 4.2 微分中值定理 定理 4.1 费马定理(Fermat 定理,可导函数取得极值的必要条件) 满足:1 ° 在某邻域 ) ( x f ) , ( 0 δ x N 内有定义,并且 ) , ( 0 δ x N x (或 ;2 ° 处可导,则 ) ( ) ( 0 x f x f )) ( 0 x f 0 x 0 ) ( 0 = x f 例 4.1 证明导数零点定理 导 数 零 点 定 理 设 函 数 上 可 导 , 并 且 ) ( x f y = ] , [ b a 0 ) ( ) ( < + b f a f 。 则 必 ,使得 (在 处有水平切线)。 ) , ( 0 b a x 0 ) ( 0 = x f 0 x 思路: 两点异号,若 ) ( x f b a , 0 ) ( < + a f ,由局部比较性质,则 ) ( x f a x = 右侧 刘坤林 水木艾迪考研培训网 1
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