第07讲定积分的å&o

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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 1 第 7 讲 定积分的应用 8:30—11:30 1:30—4:30 5 9 (星期六) 7 定积分的应用 ( 数 123 听课) 8 微分方程 ( ) ( 数 123 听课) 5 10 (星期日) 9 微分方程 ( ) ( 数 123 听课) 10 微分方程 ( ) ( 数 123 听课) 5 16 (星期六) 11 多元微分学 ( ) ( 数 123 听课) 12 多元微分学 ( ) (数 1 听课, 数23参考) 7. 1 定积分应用的两种思想 z 定积分应用问题的特征: z 解决定积分应用问题的两种思路: 元素相加法: 利用定积分定义一个量。 分小取近似: () i i x f I Δ Δ ξ ; 求和取极限: = Δ = = b a n i i i dx x f x f I ) ( ) ( lim 1 0 λ 微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分: dx x f dI I = Δ ; 积分求增量: ) ( ) ( ) ( a F b F dx x f I b a = = .
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 2 7. 2 定积分在几何方面的应用 7.2.1 平面区域的面积 z 直角坐标系中平面区域的面 {} ) ( ) ( , ) , ( x g y x f b x a y x D = , [] = b a dx x f x g A ) ( ) ( 例 7.1 求 2 /2 yx = 3/2 =+ 围成的面积. 【解】 由 2 2 = ,解得交点 3 , 1 = = b a 3 16 2 2 3 3 1 2 = + = dx x x A 例 7.2 求 a ,使 2 x x y = ax y = 所围区域之面积为 9/4 【解】 求两曲线交点: -1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 = 1 3 A x x dx + -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 -5 -4 -3 -2 1 a 1 0 a < 1 2 -10 -7.5 -2.5 5 1 a 2 0 a >
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 3 2 ax x x =− 2 (1 ) ax x ⇒− = 12 0, 1 x xa ⇒= . 1 2 0 9 () 4 a x x ax dx −− = 1 2 0 9 ((1 ) ) 4 a ax x dx ⇒− = 33 ) ) 9 23 4 aa ⇒−= 3 ) 9 64 a ± 1 3 3 10 2 a ⇒=− < ; 2 3 3 2 a =+ > . 2. 参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 :, xx t Lt yy t α β = ≤≤ = 确定, 其中 ) ( ), ( t y t x 连续可导, 0 ) ( t y , 则区域的面积为 = dt t x t y A ) ( ) ( 例 7.3 求椭圆 1 4 9 2 2 = + y x 围的区域的面积. 【解】解法一 第一象限部分的边界为 3 0 , 9 3 2 2 = x x y , 3 22 2 00 2 49 2 4 c o s 6 3 Ax d x t d t π = = ∫∫ 解法二 椭圆 1 4 9 2 2 = + y x 的参数方程为 4 0 , sin 2 , cos 3 = = t t y t x = = 0 2 3 0 ) ( ) ( 4 4 t dx t y ydx A 6 ) sin 3 ( sin 2 4 0 2 = = dt t t 3.极坐标系下区域的面积 cos sin x y ρ ϕ = = ,设区域 D {} ) ( 0 , ) , ( = y x D 则面积元 2 1 2 dA d = , 面积为 = d A 2 2 1
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 4 例 7.4 求心形线 ( ) 0 ) cos 1 ( > + = a a r ϕ 所围的面积.
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