第08讲广义积å

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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 1 第 8 讲 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: z 有界函数在无界区间上的积分(第 1 类). z 无界函数在有界区间上的积分(第 2 类)。 定义 8.1 (第一类广义积分): 设函数 ) ( x f ) , [ +∞ a 内的任意有限区 间可积,若极限 +∞ A a A dx x f ) ( lim 存在, 则称 ) ( x f ) , [ +∞ a 广义积分 收敛,其极限值称为 ) ( x f ) , [ +∞ a 的广义积分, 记作 () a f xdx +∞ +∞ A a A dx x f ) ( lim 不收敛,则称该广义积分 a +∞ 发散。 0 1 l iml im n ii a A i f x λ ξ +∞ →+∞ = 是一个累次极限问题。 例 1.1: 0 a > , dx x a p + 1 的敛散研究. 解: dx x a p + 1 1 1 lim lim 1 x b p b p a bb x a x dx xp = →+∞ →+∞ = ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ , 1 > p 时收敛;当 1 p 时发散. 例 1.2: 0 a > , 1 (ln ) p a dx xx +∞ 的敛散研究 解: 1 (ln ) p a dx 1 lim ln (ln ) b p a b dx x →+∞ = 1 (ln ) lim 1 x b p b x a x p = →+∞ = = ,当 1 > p 时收敛; 当 1 p 时发散. 例 1.3: 0 px ed x 的敛散研究 解: 00 0 1 lim lim x b b x x x e p = →+∞ →+∞ = ∫∫ . 0 p < 时收敛; 当 0 p 时发散.
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 2 定义 8.2 (第二类广义积分): 设函数 ) ( x f ) , [ b a 内的任意有限闭子 区间可积, 若 B a b B dx x f ) ( lim 存在, 则称 ) ( x f ) , [ b a 上的广义积分 收敛,其极限值称 ) ( x f ) , [ b a 上的广义积分, 记成 () b a f xdx B a b B dx x f ) ( lim 不存在, 则称 b a 发散. 例2: 1 0 1 p dx x 的敛散研究. 解: 1 0 1 p dx x 1 1 1 00 1 lim lim 1 x p p x x dx xp δ δδ ++ = →→ = ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ , 1 p 时发散;当 1 p < 时收敛. 同样我们可以定义其它广义积分的收敛则称性: −∞ = a A A a dx x f dx x f ) ( lim ) ( , + = b A a A b a dx x f dx x f ) ( lim ) ( 特别是 +∞ −∞ 是指 b −∞ a +∞ 同时收敛。 例3: 1 1 (ln ) p dx xx +∞ 的敛散研究 解: 1 1 (ln ) p dx 2 12 11 (ln ) (ln ) pp dx dx =+ ⋅⋅ ∫∫ 2 (ln ) (ln ) + + −− , 2 1 1 (ln ) 1 x p x x p + = = 1 p < 时收敛, 1 p 时发教; 1 2 (ln ) 1 x p x x p =+∞ = 1 p < 时收敛, 1 p 时发教. 综合起来: 1 1 (ln ) p dx 1 p < 时收敛, 1 p 时发教.
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 3 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 绝对收敛和条件收敛: +∞ a dx x f ) ( 收敛,则 +∞ a dx x f ) ( 收敛,并称 () a f xdx +∞ 绝对收敛.
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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