第09讲常微分æ–&su

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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 1 第9讲 常微分方程 ( ) 9.1 微分方程的基本概念 9.1.1 引言 定义9.1 包含未知函数的导数或微分的方程式就称为微分方程. z 微分方程是用函数与导数的关系式来表达(一类)函数的一种方 法。 定义9.2 如果未知函数为一元函数,则该微分方程称为常微分方程。 z 微分方程的基本问题: 列方程;解方程;解的定性研究。 z 微分方程的基本研究方法 9.1.2 微分方程的分类: 定义9.3 方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶. z n 阶常微分方程的一般形式为 () ) ,..., , , , ( 1 1 2 2 = n n n dx y d dx y d dx dy y x f y 定义9.4 如果在上述方程中,函数 f 关于未知函数 y 及其各阶导 dy dx d y d x d y dx n n , ,..., 2 2 1 1 都是一次整式,则称这个方程是线性微分方程, 否则称为非线性微分方程. z n 阶线性常微分方程的一般形式为 ) ( ... 0 1 1 1 1 x f y x a dx dy x a dx y d x a dx y d n n n n n = + + + + , 其中 ) ( ), 1 ,..., 1 , 0 ( , x f n i x a i = 是已知函数. z 0 ) ( x f ,微分方程称为 n 阶齐次线性常微分方程。 z 否则微分方程称为 n 阶非齐次线性常微分方程。 9.1.3 “解”的概念 定义9.5 满足微分方程的函数,称为该方程的解。即将此函数代入方 程,使其成为恒等式。 更细致一点,如果函数 ) ( x y y = 在区间 I 上具有 n 阶导数, 且将其
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 2 代入某 n 阶微分方程之后, 使之成为恒等式, 则称函数 ) ( x y y = 方程在区 I 上的一个解 定义9.6 微分方程的解中都包含了若干任意常数. 一般情况下, 在 n 阶微分方程的解中含有 n 个独立的任常数 12 cc c n ,, . . . , , 也就是说, n 阶微分方程的解的表达式为 y f x c n = (, , , . . . , ) 这种包含了 n 个任常数 称为微分方程的通解(一般解). 定义9.7 一个微分方程虽然可以有无穷多个解, 若从中确一个所需要 的解.则需要对微分方程附加某些条件,即所谓定解条件. 适合定 解条件的解称为微分方程的特解. z 对于 n 阶微分方程,为了从通解中找到所需要的解,需要附加 n 初始值条件, 即 () () () = = = = = 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 , , , 0 ) ,..., , , ( n n n n n y x y y x y y x y dx y d dx dy y x f y " 这样的定解条件称为初值条件,上述问题就称为初值问题. 例 9.1 三个函数 1 ) ( 2 1 1 + = x e C x y , 2 2 ) ( C x y = , ) ( ) ( ) ( 2 1 3 x y x y x y + = , x x y x y x y + = ) ( ) ( ) ( 2 1 4 , 其中 2 1 , C C 为任意常数,是否是下列四个方程之解,若是解,是什么解? (1) y x y = 1 2 ; (2) 0 ) 2 1 ( 2 = y x y x ; (3) 2 2 2 1 ) 2 1 ( x y x y x = .
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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