第10讲常微分æ–&su

第10讲常微分æ–&su

Info iconThis preview shows pages 1–4. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 1 第10讲 常微分方程 (二) 线性方程解的结构; 高阶线性常系数齐次方程的解; 高阶线性常系数非齐次方程的解; Euler 方程; 差分方程介绍; 综合例题 10.1 高阶线性方程及其解的结构 10.1.1 高阶线性方程及其特点 z n 阶线性微分方程的一般形式 1 11 1 ( ) .... ( ) ( ) ( ) nn dx d x d x at a t atx ft dt dt dt ++ + + = 其中 ()( 1 ,2 , , ) i at i n = " 以及 f t () 都是区间 I 上的已知连续函数.当 f t 0 时,上述方程称为齐次方程: 1 1 ( ) .... ( ) ( ) 0 d x atx dt dt dt + + = z 对于 n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理: 定理 10.1: 设方程 1 1 ( ) .... ( ) ( ) ( ) d x dt dt dt + + = 中的系数 1 i n = " 以及非齐次项 f t 都是区间 I 上的 连续函数, 0 t I ,则对于任意一组实数 01 1 ξξ ξ ,, . . , , n 方程满初值条件: (1 ) 0001 0 1 ( ) , ( ) ,..., ( ) n n xt x t x t == = 的解在区间 I 上存在, 唯一. 例10.1 判断下列方程中哪些是线性方程, (i) x y y x y sin 2 = + + ; (ii) y y y x y sin 2 = + + (iii) y x y x y = + 1 2 ; (iv) y x y x y = + 1 2
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 2 10.1.2 线性方程解的结构 (1) 函数的线性相关性: 定义 10.1: 若存在 n 个不全为零的常数 n i c i , , 1 , " = ,使得 () ( ) 0 , , 1 = = n i i i t x c b a x . 在 b a , n 个函数 ( ) n i t x i , , 1 , " = 线 性相关;否则称 n i t x i , , 1 , " = 为线性无关. 例如:设 12 λλ λ , ,..., m R 互不相等, 则函数 ,, , n tt t ee e " 在任意 区间 I 上线性无关. (2) 线性方程解的结构 定理 10.2 若 x t x t , () 都是方程 1 11 1 ( ) .... ( ) ( ) 0 nn dx d x d x at a t atx dt dt dt ++ + + = 的解,则对任意常数 cc , ,函数 2 2 c x t c x t + 也是该方程的解. 证明:只要利用微分方程的线性性即可。 定理 10.3 方程 1 1 ( ) .... ( ) ( ) 0 d x dt dt dt + + = 的所 有解构成一个 n 维线性空间, 其中任意 n 个线性无关的解, n i t x i , , 1 , " = , 构成该空间的一组基。 定理 10.4 非齐次方程 1 1 ( ) .... ( ) ( ) ( ) d x atx ft dt dt dt + + = 任意两个解之差是齐次方程 1 1 ( ) .... ( ) ( ) 0 d x dt dt dt + + = 的解; 因此,如果已知方程 1 1 ( ) .... ( ) ( ) ( ) d x dt dt dt + + = 有一个特解 ( ) t X , 那么它的每个解都可以表示为 ) ( ) ( ) ( t x t X t x + = ,其中 ) ( t x 是齐次
Background image of page 2
2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 3 方程 1 11 1 ( ) .... ( ) ( ) 0 nn dx d x d x at a t atx dt dt dt ++ + + = 的一般解. 例10.2 ) ( ), ( x q x p ) ( x f 是连续函数, 且线性无关的三个函数 3 2 1 , , y y y 都是二阶线性非齐次方程 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x y x q x y x p x y = + + 之解, 1 c 2 c 是任意常数, 则其通解是: (D) (A) 3 2 2 1 1 y y c y c + + ; (B) 3 2 1 2 2 1 1 ) ( y c c y c y c + + ; (C) 3 2 1 2 2 1 1 ) 1 ( y c c y c y c + ; (D) 3 2 1 2 2 1 1 ) 1 ( y c c y c y c + + z 非齐次线性常微分方程两个解的差为齐次线性常微分方程的解 z 非齐次方程的通解 = 齐次方程的通解加非齐次方程的特解 例10.3 设 ( ) x c x c e y x cos sin 2 1
Background image of page 3

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
Image of page 4
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

Page1 / 21

第10讲常微分æ–&su

This preview shows document pages 1 - 4. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online