第11讲多元函数å

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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 1 第11讲 多元函数微分学 ( ) 多元函数概念; 多元函数极限及连续性; 多元函数的偏导数及其微分; 综合例题 11.1 多元函数的概念 11.1-1 定义; 定义11.1 Ω n R 的一个子集,如果按照某种确定的法则 f 使得每个 Ω x G ,唯一地对应于一个实数 u ,则称 f 为定义在 Ω 上的 一个( n 元)函数, 记成: R f Ω : 其中 Ω = T n x x x x ) , , , ( 2 1 " G 是自变量, Ω 是这个函数的定义域. 实数 u 称为 x G 所对应的函数值。记成 ) ( ) ,..., , ( ) ( 2 1 Ω = = x x x x f x f u n G G . 定义11.2 区域的定义, 闭区域的定义 开区域:非空连通开集。 闭区域:开区域的闭包。 例如, {} d y c b x a y x D < < < = , , ) , ( 2 R 上的开区域; { } 1 ) , , ( 2 2 2 + + = Ω z y x z y x 3 R 上的闭区域。 11.1-2 多元函数的表示 显式: ) , ( y x f z = 隐函数:用方程 0 ) , , ( = z y x F 表示的函数 ) , ( y x z z = 参数式: = = = ) , ( ) , ( ) , ( y x z z v u y y v u x x , 表示函数 ) , ( y x z z = . 三元函数: ) , , ( z y x f u =
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 2 11.1-3 常见多元函数的几何意义 ) , ( y x f z = 3 R 中的曲面的显函数表示; 3 R 中的曲面的参数表示: = = = ) , ( ) , ( ) , ( y x z z v u y y v u x x 3 R 中的曲线的参数表示: = = = ) ( ) ( ) ( t z z t y y t x x 例如:空间上半球面显式表示 : 2 2 2 y x R z = 空间球面参数表示 : = = = θ ϕ sin sin cos cos cos R z R y R x 0, 0 2 πϕ π ≤≤ 空间螺旋线参数表示 = = = a z R y R x sin cos , 02 . 11.4 多元函数的极限和连续的概念 11.4-1 基本定义: 定义11.3 n R 中距离的定义:距离是 ( ) x y y x d G G G G = , 定义11.4 多元函数的极限定义: R R D f n : , R a , n R x 0 G a x f x x = ) ( lim 0 G G G 0 > ε 0 > δ ,使得 D x G ,且 < < ) , ( 0 0 x x d G G , 都有 < | ) ( | a x f G . 11.4-2 基本性质: z 唯一性:多元函数的极限如果存在,则是唯一的。 z 线性性: () [] ( ) x g x f x g x f x x x x x x G G G G G G G G G G 0 0 0 lim ) ( lim ) ( lim + = + β α z 无穷小: 0 lim ( ) 0 ( ) (1) xx x xo =⇔ = GG ; ( 1 ) , () ( 1 ) ( () ) / () ( 1 ) x ox o αβ == ⇔= = G G A x f x x = ) ( lim 0 G G G ( 1 ) f xA o =+ G .
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 3 z 多样性: 自变量变化趋势的多样性,引起多元极限问题的多样性 11.4-3 极限计算:三类极限 11.1 2 2 0 0 ) ( lim y x x x y y x + 【解】 x y x x x y 2 ) ( 2 2 + 22 0 0 () lim 0 x y yx x xy ⇒= + . 11.2 2 2 2 lim x y x y x xy + +∞ +∞ 【解】 2 1 2 2 + y x xy 2 lim 0 x x y xy →+∞ →+∞ ⎛⎞ ⎜⎟ + ⎝⎠ 例11.3 求 y x x a y x x + + 2 1 1 lim 【解】 e x x y x x x a y x y x x a y x = + = + +
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This note was uploaded on 12/14/2011 for the course MATH Probabilit taught by Professor Sata during the Summer '08 term at Tianjin University.

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