第12讲向代及空&eg

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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 1 第12讲: 向量代数及空间解析几何、 多元微分的几何应用 12.1 向量的概念 定义 12.1 不仅有大小,而且有确定方向的量称为向量. z 向量的几何表示及坐标表示: (, ,) x yz aa a a = G x ai a j ak =++ G G G z 长度 222 x a a =+ + G z 单位向量: 方向 0 a = GG G , 其中 0 a G 称为 a G 方向的单位佝量 0 cos cos cos aij k α βγ G G = G G ,, y x z xyz a a a aaa ⎛⎞ ⎜⎟ = ++ ⎝⎠ , αβγ a G 分别与 轴 所夹之角; 显然有 cos cos cos 1 ++= cos ,cos 称为 a G 的方佝余弦, 12.2 向量的五种运算 (1) 向量的加法: 向量的加法 b a c G G G + = 服从平行四边形法则和三角形法则 (2) 向量的数乘: 设 a G 是一个非零向量, λ 是一个实数. 用实数乘 以向量的运算,称 a G 为向量的数乘, 它是向量: 模: | | G G a 等于 | | | | a G ; 方向: 当 0 > 时,与 a G 相同; 当 0 < 时,与 a G 相反; 0 = 时, a G 是零向量. (3) 向量的数量积 (点积) : n || ||c o s ( ,) ab a b ab ⋅= ⋅ ⋅ G G z 交换律: a b b a G G G G × = × z 分配律: c b c a c b a G G G G G G G × + × = × + μ ) (
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 2 z 垂直和交角: 0 = b a b a G G G G , | | | | cos b a b a G G G G = α a G b G 非零 z 模的计算及柯压不等式: aa a =⋅ GG G , ab a b ≤⋅ G G G G z 向量 a G 在向量 b G 上的投影: () 0 b b b =⋅ = K G G G G (4) 向量的 向量积(叉积) b a G G × (向量积)是一个向量: sin , ab a b ×= ⋅ ⋅ G G b a G G , 作边组成一个平行四边形的面积; 方向:由所谓“右手法则”确定。 z 反称律: a b b a G G G G × = × z 分配律: c b c a c b a G G G G G G G × + × = × + μ λ ) ( z 平行: b a b a G G G G G // 0 = × (5) 向量的混合积 向量 c b a G G G , , 的混合积为 ( ) c b a G G G × ,记作 ) , , ( c b a G G G ,它是数量. ( ) c b a G G G × cos n ab c θ =×⋅ G z c b a G G G , , 为 棱作平行六面体, 则其(代数)体积等于 ) , , ( c b a G G G z ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( a b c b c a c a b b a c a c b c b a G G G G G G G G G G G G G G G G G = = = = = z c b a G G G , , 共面的充要条件是 0 ) , , ( = c b a G G G 12.3 用空间直角坐标系进行向量运算 a G ) , , ( 3 2 1 a a a = b G ) , , ( 3 2 1 b b b = 为任意两个向量,则 a G c G b G nab G n c G G va b c G
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2009 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门外同方广场 B 609 电话: 62701055 清华大学 谭泽光 3 z 向量的加法运算: = ± b a G G ) ( 1 1 b a ± i G + ) ( 2 2 b a ± j G + ) ( 3 3 b a ± k G z 数乘: λ a G 1 a = i G 2 a + j G + 3 a k G ; a G ) , , ( 3 2 1 a a a = z 数量积 12 3 123 () ( ) ab a i aj ak b i bj bk ⋅= + + ⋅ + + GG G G 11 2 2 33 = ++ ; a a a G G G = 2 = 2 3 2 2 2 1 a a a + + , = = a a a G G G | | 2 3 2 2 2 1 a a a + + 如果 a G 是一个单位向量,即 1 | | = a G ,则 a G k a a j a a i a a a a G G G G G G G G 3 2 1 + + = = α cos = i G k j G G γ β cos cos + + 其中 , , 是向量 a G 与坐标轴 Oz Oy Ox , , 的夹角.
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