Statistics Homework Solutions 51

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Unformatted text preview: 51 SUPPLEMENTARY EXERCISES FOR CHAPTER 2 0 6, pY y 0 if y ¡¥¤ 0 4, pY 1 0 or 1. ¡ ¨ ¡¥ ¤ (b) pY 0 ¨ ¡¥ ¤ (c) Yes. It is reasonable to assume that knowledge of the outcome of one coin will not help predict the outcome of the other. 0 for other values of x y . ¡¥ ¤ ¡¥  ¥¤ ¤ ¡¥  ¨ ¤ pxy ¤ ¤ pX 1 pY 1 04 06 0 24, ¤ ¦¥ ¨ 0 16, p 1 1 0 36, ¡¥¨ 04 04 ¥¤ pX 1 pY 0 06 06 ¨ ¤ pX 0 pY 1 ¡¥ ¤ p10 ¤ 0 24, p 0 1 ¤ ¦¥ ¨ 06 04 ¡¥¨ pX 0 pY 0 ¨ (d) p 0 0 ¡¥¨ ¨ ¤ ¦¥ ¨ ¡¥¨ ¤ ¦¥ ¨ ¡¥ ¤ ¥¤ ¡¥ ¤ ¡¥  ¥¤ ¤ ¡¥  ¥¤ ¤ ¡¥ ¤ 31. (a) The possible values of the pair X Y are the ordered pairs x y where each of x and y is equal to 1, 2, or 3. There are nine such ordered pairs, and each is equally likely. Therefore p X Y x y 1 9 for x 1 2 3 and y 1 2 3, and pX Y x y 0 for other values of x y . ¥¤  ¡ £ ¡¥¤ ¥  ¤ ¡ ¥¤ ¡¥ ¤  ¡  ¡  2 31 ¤ ¦¥ ¢ 2 ¢ 1 1 9 2 3 ¢ ¢ ¤ ¡ 4. ¢¥ £¤ ¡¥ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ § kP X x dx. k ¥ ¥¤ k x dx ¥¤ § PX ∞ k kf ¡ ¤ ¡ § ¥¤ 2 σY ¡¥ 2 k2 σY 2 k2 σY 2 σY ¤£ ¤£ µX PX 2 k2 σY ¡¥ 2 k2 σY 1 k2 £ ¨ ©¥ ¥ 2 k2 σY § 2 ¡¥ ¡¥ ¡¥ PX µY ¤ ¤¤ ¡ § ¤ £ ¡ ¡ ¢ § § kσY PY § ¡ ¡ § ¤ kσY ¥ § £ ©¥ µY x dx ∞ 0 xf ¤ ¡ µY 2 µY kk ∞ k xf 0, µX § (e) P Y ¡¥¤ µY ¡ ¡ ¤ (f) P Y kP X 0 for x ¥ ¥¤ x dx. Since f x ¨ ¤ (d) µX 0 ¡  (c) µX k 22 ¥¤ ¡¥ x dx ¡ ∞ 0 xf ¡ (b) µX 4 ¡ ∞ ∞xf µX µY ¡ ¥ ¦¥ ¤ ¤ 33. (a) µX µXY ¡ £¤ (e) Cov X Y µX µY ¡ ¢¥ ¡¥ ¤ Another way to compute µXY is to note that X and Y are independent, so µXY 22 ¡ ¥ ¤¥ ¤ £¤ 13 3 xy 9 x∑ y∑ 11 1 xypX Y x y 0 for other values of x. pY is the same. ¡¥ ¡¥ ¤ 31 3 ¡¥ ¡¥ ¤ 3 1 ∑y ∑3 x 21 3 £ (d) µXY 11 3 1 3, and pX x ¡¥¤ µY (c) µX pX 3  pX 2 ¡ Therefore pX 1 4.  (b) Both X and Y are sampled from the numbers 1 2 3 , with each number being equally likely. ¤ ...
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