Statistics Homework Solutions 100

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Unformatted text preview: 100 CHAPTER 4 ¡ ¡ ¡ ¡ (c) We denote the mean of µ3 by E µ3 and the variance of µ3 by V µ3 . µX1 µX2 µµ µ . E µ3 4 4 2 µ µ The bias of µ3 is E µ3 µ µ . 2 2 ¥ ¤ ¥ ¤ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ σ2 σ2 . 8 ¢ ¡ ¤ ¡ ¡¥ ¤ ¡ ¥ ¡ σ2 ¡ ¡ ¡¥ ¡ The variance of µ3 is V µ3 16 ¤ ¡ The mean squared error of µ3 is the sum of the variance and the square of the bias, so 2µ2 1 . 8 2 2µ2 1 8 ¨ 2µ2 1 8 ¢ ¡ ¨ ¡ ¡ ¡ ¡ (e) µ3 has smaller mean squared error than µ2 whenever 1 3123. p1 ¤ ¡ ¨ ¡ ¡¥ The probability mass function of X is f x; p p ¡ µ ¡ ¤ 3. 1 3123 5 . 9 ¨ Solving for µ yields x 1. ¥ ¤ ¡ 1 2247. ¡ ¡¥ ¡ µ ¡ ¢ ¡ 1 2247 Solving for µ yields 1 . 2 ¢ £¢ (d) µ3 has smaller mean squared error than µ1 whenever ¡ µ 2 ¡ σ2 8 ¢ MSE µ3 The MLE is the value of p that maximizes f x; p , or equivalently, ln f x; p . d d 1x1 ln p x 1 ln 1 p 0. ln f x; p dp dp p1p 1 1 Solving for p yields p . The MLE is p . x X ¥ ¤ ¥ ¤ ¡ ¡ ¡ £¥ ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¥ ¡ ¤ ¢ ¡¥ ¤ ¡ ¡ ¡ n! p x 1 p n x. x! n x ! The MLE of p is the value of p that maximizes f x; p , or equivalently, ln f x; p . d d x nx ln f x; p ln n! ln x! ln n x ! x ln p n x ln 1 p dp dp p1p x X Solving for p yields p . The MLE of p is p . n n p X p is therefore . The MLE of 1p 1p nX ¥ ¤ ¥ ¤ ¡¥ ¤ ¡ ¥ ¤ ¤ ¡ ¡ ¢¥ ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¥ ¡ ¤ ¢ ¢ ¥ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡¥ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1 X ¡ ¡ 1 p p . The MLE of is therefore X 1p 1p 1 . ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ (b) The MLE of p is p ¥ ¤¥ ¡ 5. (a) The probability mass function of X is f x; p 0. ...
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