Differential Equations Lecture Work Solutions 7

Differential Equations Lecture Work Solutions 7 - 4. 1 2 r...

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4. r = x 2 + y 2 1 2 θ = arctan y x ± r x = 1 2 x 2 + y 2 1 2 · 2 x = x x 2 + y 2 θ x = 1 1+ y x 2 y x 2 ± = y x 2 + y 2 r y = 1 2 x 2 + y 2 1 2 · 2 y = y x 2 + y 2 θ y = 1 1+ y x 2 1 x ± = x x 2 + y 2 u x = u r r x + u θ θ x = x x 2 + y 2 u r y x 2 + y 2 u θ u y = u r r y + u θ θ y = y x 2 + y 2 u r + x x 2 + y 2 u θ u xx = x x 2 + y 2 ! x u r + x x 2 + y 2 ( u r ) x y x 2 + y 2 ! x u θ y x 2 + y 2 ( u θ ) x u xx = x 2 + y 2 x 1 2 ( x 2 + y 2 ) 1 2 · 2 x x 2 + y 2 u r + x x 2 + y 2 " x x 2 + y 2 u rr y x 2 + y 2 u # 2 xy ( x 2 + y 2 ) 2 u θ y x 2 + y 2 " x x 2 + y 2 u y x 2 + y 2 u θθ # u xx = x 2 x 2 + y 2 u rr 2 xy ( x 2 + y 2 ) 3 2 u + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 u θθ + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3 2 u r + 2 xy ( x 2 + y 2 ) 2 u θ u yy = y x 2 + y 2 ! y u r + y x 2 + y 2 ( u r ) y + x x 2 + y 2 ! y u θ + x x 2 + y 2 ( u θ ) y u yy = x 2 + y 2 y 1 2 ( x 2 + y 2 ) 1 2 · 2 y x 2 + y 2 u r + y x 2 + y 2 " y x 2 + y 2 u rr + x x 2 + y 2 u # + 2 xy ( x 2 + y 2 ) 2 u θ + x x 2 + y 2 " y x 2 + y 2 u + x x 2 + y
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