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probabilite - Dnition Une exprience alatoire est une...

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efinition : Une exp´ erience al´ eatoire est une exp´ erience o`u on ne peut pas pr´ edire le r´ esultat final avec certitude. efinition : L’ensemble d’´ echantillonage S est l’ensemble des issues (ou r´ esultats) possibles. Un ´ el´ ement x S est une issue (ou un r´ esultat). Notation : Soit A un ensemble. La notation x A veut dire que x appar- tient ` a l’ensemble A . Exemple 1 : Voici des exemples d’exp´ eriences al´ eatoires : 1. Consid´ erons deux groupes de patients : fumeurs et non-fumeurs. Supposons qu’il y a 12 fumeurs et 15 non-fumeurs. Nous d´ ecidons de s´ electionner l’un des patients au hasard. Voici un ensemble d’´ echantillonage pour cet exp´ erience : S = { patient 1 , patient 2 ,..., patient 27 } . 2. Un choisi un ´ echantillon de sang parmi 6 ´ echantillons. Voici un ensemble d’´ echantillonage pour cet exp´ erience : S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . 3. Le temps de survie (en mois) apr´ es le diagnostic d’une maladie particuli` ere. L’espace d’´ echantillonage est S = { t | t 0 } =[0 , [ . 4. Diffusion des mol´ ecules : Supposons qu’il y a 10 mol´ ecules dans une cellule et que nous observons le nombre de mol´ ecules restant dans la cellule apr` es 10 minutes. L’espace d’´ echantillonage est S = { 0 , 1 , 2 ,..., 10 } . 1
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efinition : Un ´ ev´ enement E est un sous-ensemble de l’ensemble d’´ echantillonage. On dit que E est r´ ealis´ e (ou que E survient) si le r´ esultat observ´ ee x est un ´ el´ ement de E , c’est-` a-dire x E . Remarques : S est l’´ ev´ enement certain . (l’ensemble vide) est l’´ ev´ enement impossible . Exemple 2 : Donner des exemples d’´ ev´ enements pour les exp´ eriences al´ eatoires de l’exemple 1. 2
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Op´ erations sur les ´ ev´ enements N.B. Les op´ erations suivantes nous permettent de repr´ esenter des ´ ev´ enements en terme d’autres ´ ev´ enements. Union : a) E 1 E 2 est r´ ealis´ e veut dire que E 1 est r´ ealis´ e , ou E 2 est r´ ealis´ e , ou les deux sont r´ ealis´ es . b) E 1 E 2 ∪· · ·∪ E n est r´ ealis´ e veut dire que qu’au moins un des ´ ev´ enements E 1 ,E 2 , · · · ,E n est r´ ealis´ e . Intersection : a) E 1 E 2 est r´ ealis´ e veut dire que E 1 est r´ ealis´ e et E 2 est r´ ealis´ e . b) E 1 E 2 ∩· · ·∩ E n est r´ ealis´ e veut dire que tous les ´ ev´ enements E 1 ,E 2 ,...,E n sont r´ ealis´ es. Compl´ ement : E prime est r´ ealis´ e veut dire que E n’est pas r´ ealis´ e . 3
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Lois de DeMorgan : a) ( E 1 E 2 ∪ · · · ∪ E n ) prime est r´ ealis´ e = aucun des ´ ev´ enements E 1 ,E 2 ,...,E n est r´ ealis´ e = E prime 1 E prime 2 ... E prime n est r´ ealis´ e b) ( E 1 E 2 ∩ · · · ∩ E n ) prime = au moins des ´ ev´ enements E 1 ,E 2 ,...,E n n’est pas r´ ealis´ e = E prime 1 E prime 2 ... E prime n est r´ ealis´ e 4
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Ev´ enements Mutuellement Exclusifs : efinition : Les ´ ev´ enements E 1 ,E 2 ,...,E n sont dits mutuellement ex- clusifs si E i E j = pour i negationslash = j.
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