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Unformatted text preview: Low-dimensional models of plane Couette flow using the proper orthogonal decomposition Troy R. Smith with Jeff Moehlis and Philip Holmes Someone remarked to me once: ”Physicians shouldn’t say, I have cured this man, but, this man didn’t die under my care.” In physics, too, instead of saying, I have explained such and such a phenomenon, one might say, I have determined causes for it the absurdity of which cannot be conclusively proved. Georg Christoph Lictenberg, 1742-1799 Talk Outline • Plane Couette flow (PCF) ◦ Flow geometry and equations ◦ Properties of PCF • Low-dimensional modelling ◦ Historical examples ◦ The proper orthogonal decomposition ◦ Galerkin projection • The minimal flow unit ◦ Model 1: 6 mode coupled (11-d) ◦ Model 2: 9 mode uncoupled (16-d) • Comparisons with the models of Waleffe • Conclusion 2 plane Couette flow (PCF) Flow geometry and equations ¡ % 7 2 50 1 ( 6 5 50 4  ¥ ¦    £    ¨ % ¢ ) & 32 1 )0 ( &' $  © §¨ §£ ¥¦ ¤£ ¢  E ¥      ¤£ §  % ) & 32 6 09 & 8 ¡ @ F " B CA ! @ ! #D B CA Nondimensional equations for perturbation [u, p] = [(u, v, w)T , p] to laminar state: ∂ u = −(u · ∂t · u = 0, ∂ 12 )u − y u − u2ex − p + u, ∂x Re Re = U0d/(2ν ) u|y=±d/2 = 0, Periodic Boundary Conditions (PBCs) in x and z 3 plane Couette flow (PCF) Properties of PCF • laminar state linearly stable for all Re • turbulence at high Re and/or perturbation amplitudes • unstable, steady finite amplitude solutions ◦ consist of streamwise vortices and streaks ◦ do not bifurcate from the laminar state Some of the big questions • how does this “sub-critical transition” to turbulence come about? • importance of unstable, steady solutions? • can the turbulent state be described with a simple model? 4 Low-dimensional modelling Historical Overview - Theoretical • Naver-Stokes PDE is infinite-dimensional • Mid-20th century: Hopf imagined a finite-dimensional attractor - one which came about from sucessive bifurcations to periodic and quasiperiodic attractors • 1970’s: Ruelle & Takens → strange attractor • 1980’s: Constantin, Foias, Temam found finite bounds on dimensions of attractors for 2-d Navier-Stokes and the 1-d Kuramoto-Sivashinksy Equation 5 Low-dimensional modelling Historical Overview - Numerical • 1963: Lorenz derived his famous ODEs through modelling Rayleigh-B´nard convection e ◦ ODEs produced through projection of PDE onto subspace defined by sinusoidal basis functions ◦ mathematically enchanting but a poor physical model • 1968: Lumley proposed Proper Orthogonal Decomposition as a technique for flow description ◦ instead of sinusoidal modes find basis optimal for particular flow • 1987: Aubry, Holmes and others ◦ ODEs produced through projection of PDE onto subspace defined by POD modes ◦ convincing qualitative model, later questioned by Gibson (2002) 6 Low-dimensional modelling The proper orthogonal decomposition (c.f. Karhunen-Loeve decomposition, PCA, SVD) ◦ consider set of velocity snapshots {u(x)} · = averaging operation over snapshots (·, ·) = L2 inner product (norm: · ) ◦ want to find basis of POD modes {Φ} which maximizes |(u, Φ)|2 Φ2 ◦ i.e., find extremes of J [Φ] = |(u, Φ)|2 − λ( Φ 2 − 1) 3 → j =1 (n) Ω (n) (n) ui(x, t)u∗(x , t) Φjnxnz (x )d3x = λnxnz Φinxnz (x) j i = 1, 2, 3 7 Low-dimensional modelling Properties of POD Modes • orthogonality (normalization → orthonormality) • (almost) every member of {u(x)} is a linear combination of POD modes • POD modes individually satisfy incompressibility, BCs • optimality: for a given number of modes energy captured by POD basis > any other basis ◦ eigenvalue λ represents twice average KE in POD mode ◦ subspace spanned by the modes corresponding to the largest eigenvalues captures the most energetic disturbances 8 Low-dimensional modelling POD applied to PCF - Symmetry Considerations ◦ Fourier modes optimal for directions with translation symmetry (n) φnxnz (y ) nx x nz z exp 2πi + Lx Lz L x Lz ◦ enlarge set of snapshots with discrete symmetries (n) Φnxnz (x) = √ P · [(u1, u2, u3, p)(x, y, z, t)] = (−u1, −u2, −u3, p)(−x, −y, −z, t) R · [(u1, u2, u3, p)(x, y, z, t)] = (u1, −u2, u3, p)(x, −y, z, t) RP · [(u1, u2, u3, p)(x, y, z, t)] = (−u1, u2, −u3, p)(−x, y, −z, t) ◦ P is a point rotation about the centre of the system ◦ R is a reflection in the central streamwise-wallnormal (x − y ) plane (z = 0) 9 Galerkin Projection Galerkin projection ◦ write evolution PDE as ◦ expand u(x, t) = ∞ ∞ ∂u = F(u) ∂t ∞ (n) (n) anxnz (t)Φnxnz (x), n=1 nx=−∞ nz =−∞ ◦ substitute into evolution PDE (n) n,nx,nz (n) anxnz (t)Φnxnz (x) = F ˙ n,nx,nz (n) (n) a nx nz ∈ C (n) anxnz (t)Φnxnz (x) (m) ◦ take inner product with Φmxmz (x), use orthonormality ∞ (m) (n) (n) (m) anxnz (t)Φnxnz (x) , Φmxmz (x) ⇒ amxmz (t) = F ˙ n,nx,nz 10 Minimal flow unit: definition ... the smallest domain in which turbulence can be sustained Important references • channel flow: Jiminez and Moin (JFM, 1991) ◦ found spanwise width ≈ 100 wall units required to sustain turb. - cf. Kline et al, JFM 1967; 100 ≈ streak spacing in turb.boundary layer • PCF: Hamilton et al (JFM, 1995) - “HKW” ◦ found analogous minimal flow unit for PCF ◦ at Re = 400 domain size was Lx × Lz = 1.75π × 1.2π ◦ suggested periodic orbit ≈ “backbone” for turbulence ◦ insipired several low-d models (Waleffe, Phys. Fluids 1995/7) • PCF: Kawahara & Kida (JFM, 2001) -”K & K” ◦ examined minimal flow unit as defined by HKW ◦ discovered an unstable periodic orbit buried inside DNS 11 Minimal flow unit: simulation Numerical database • basic channel code provided by C. Rowley • algorithm: Kim, Moin & Moser, JFM 1987 ◦ pseudospectral spatial discretisation ◦ Crank-Nicholson routine for linear terms ◦ 3rd Order Runge-Kutta for nonlinear terms • grid: Nx = Nz = 16 Fourier moves 33 Chebyshev Polynomials in y direction (cf. HKW, K & K) • sustained turb. at Re = 400 difficult to achieve ◦ begin with random state at Re = 625 ◦ ran until converged, reduced Re and repeated • integrated time = 20,000 outer time units • one sample saved every 5 time units (4000 total) 12 Minimal flow unit: simulation Turbulent statistics comparisons C 2@ 291 1 7B A 8 7 61 4 "# ! ¤    $    "# % ¤    $     ¡ ¡ ¡ ¡ "#    $ & ¤          ¨     ' 1 0.5 0 −0.5 52 ¡ ¡ § © ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤¢ ¡ £ ¡ ¡ § ¨¦ ¡ ¡ 0.1 −0.5 32 G ¡ ¡ ¡ ¡ 0.25 0.5 10 )( A 1 9B 6F E C 56 A 1 C D 6@ 3 6@ 0.15 0 [KK01] [KK01] [KK01] [KK01] 0.3 [KK01] [KK01] ' 0 −1 1 0.5 0 −0.5 −1 −1 7 ) 1 0.2 0.05 13 Minimal flow unit: phenomenology For PCF in the MFU ∃ a “self-sustaining process” • define modal RMS velocity as def 1 M(nx, nz ) = −1 1/2 ˜2 ˜3 u2(nx, y, nz ) + u2(nx, y, nz ) + u2(nx, y, nz ) dy ˜1 0.15 0.1 0.1 0.05 A7" @938 67"3 ) ( " 4" 1" 5 0.15 1( 0.2 0.05 ¤ 0.25 0.2  04 23 10 () '" &% #$" !   0.25 ¥ ©   § ¨¦  2000 2500 0 1340 1360 1380 1400 1420 1440 1460 ¢ ¡ ¡ ¢ 1500 £ £ 0 1000 M(0,1) M(0,2) M(1,0) M(1,1) Note flow is roughly periodic - with period 80 ≈ 100 (cf. HKW Fig 3-a) 14 Minimal flow unit: phenomenology The process of streak breakdown Midplane x velocity contours - top view                                                                                      " " " " " " "  "  "  " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "  "  " " " " " !" " "  !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"!"          ¥ ¡ © §            &  %¢       )                                                                               #$ '#$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$  #$  #$  #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$  #$  #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$  #$  #$ % #$ £ (#$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$ #$  #$  ¤ ¨ ¦ 3 3 2 2 1 1 3 2 1 5 3 2 1 3 5 2 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 0 5 4 3 2 1 0 0 0 1 1 0 2 4 3 3 5 4 3 2 1 0 0 0 2 1 1 2 0 3 4 0 3 1 2 2 1 3 0 0 5 4 3 2 1 0 0 (cf. HKW Fig. 2) 15 Minimal flow unit: phenomenology The x-independent modes & streak breakdown 7 &3% #@ 7 38 A %@ 96# 8 5#' &73 ED77 % &C & −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ) (#' 2$ &3# "& 1%0 −0.5 0 −1 3.5 3 2.5 2 3%B ¤¤ ¤¥¦§ ¤¥¦§ ¥¦§ ¥¦§ ¦§ ¦§ 3.5 1.5 % ¤¤ ¤¥¦§ ¤¥¦§ ¥¦§ ¥¦§ ¦§ ¦§ 0 3 0 2.5 1 1@ ) # (#' "& &% $# 0.5 2 0.5 1.5 0.5 3A ¤¤¤¤ ¤¥¦§ ¤¥¦§ ¤¥¦§ ¤¥¦§ ¥¦§ ¥¦§ ¥¦§ ¥¦§ ¦§ ¦§ §¦  ¦§ 0 " 1 1 1 0.5 0 −0.5 −0.5 0 −1 %@ 96# 7#8 60 5#' & 34 ¤¤ ¦§ ¦§ ! ¤¥¦§ ¤¥¦§ ¥¥ ¦§ ¦§ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£    ¡  ¡  ¡                ¢£  ¢£   ¢£  ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡    ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡   ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©  ¡  ¡  ¡ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨©    ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¤ ¤  ¡  ¡  ¡ ¤¥¦§  ¤¥¦§  ¡ ¦§  ¡ ¦§  ¡ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¢£ ¨© ¦§ ¢£ ¨© ¢£ ¨© ¥¦§ ¥¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ §¦ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¤¤  ¤¥¦§ ¤¥¦§ ¥¦§ ¥¦§ ¦§ ¦§ 0.5 1%0 0.5 0 −1 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −1 1 1 N.B. plots on the left include the laminar profile (cf. HKW Fig. 4) 16 Minimal flow unit: objectives PCF-MFU: a test-bed for low-d models • “low-order” tests ◦ approximate reproduction of energy budgets ◦ evolution of model amplitudes ∼ evolution of DNS amplitudes ◦ approximate reproduction of time-scales • “high-order” tests ◦ model velocity field reconstructions similar to DNS ◦ maintain important properties of flow being considered eg. for PCF, stability of the laminar state ◦ admits a plausible bifurcation scenario - transition to turbulence 17 Minimal flow unit: analysis POD decomposition of PCF-MFU (n) (n) (n, nx, nz ) λnx,nz %Enx,nz (1, 0, 0) (1, 0, ±1) (1, 0, ±2) (1, ±1, 0) (1, 0, ±3) (2, 0, 0) (2, 0, ±1) (1, ±1, ±2) (1, ±1, ±1) ··· 4.4550 0.7821 0.0543 0.0386 0.0195 0.0174 0.0123 0.0109 0.0090 68.02 23.88 1.66 1.18 0.59 0.27 0.38 0.33 0.27 Model “exclude n=2” “exclude n=2” ◦ choose (1, ±1, ±1) instead of (1, ±1, ±2) since the former appears to be more important in the streak formation/breakdown process 18 Minimal flow unit: analysis Some of the POD modes ©     ¦ §¥ ¥ ¨ ¨ £¤¢ © £¥ ¦ §¥ £¤¢ 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 0 1 2 −1 3 0 1 2 3 ¡ ¡ ©     ¦ §¥ £¥ ¨ ¨ ¤¢ £ ©  §¥ ¦ §¥ £¢ 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 0 1 2 −1 3 0 1 2 3 4 5 ¡  19 Minimal flow unit: analysis • Constructing a model from the modes (n, nx, nz ) = (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2), (1, 1, 0), (1, 1, ±1) → a set of 6 ODEs (1 real + 5 complex) of the form (1) (1) (1) a0,0 = −A0,0a0,0 + ˙ (1) Bnx,nz |a(1),nz |2 nx (1) (1) (1) a(1),nz = (A(1),nz − Bnx,nz a0,0) a(1),nz + Nnx,nz ˙ nx nx nx def (1) (1) Nnx,nz = Cnx,nz mxmz a(1) ,mzanx−mx,nz −mz mx • only keep one “quantum” number per Fourier pair =⇒ no interaction at the linear level • The 3 ODEs corresponding to interaction between (n, nx, nz ) = (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2) modes comprises the 0:1:2 resonance (article in preparation) • seek to compare the ODE models to the DNS; (n) ˆ projection of DNS onto (n, nx, nz ) denoted by anx,nz 20 Minimal flow unit: coupled models Projection of DNS onto 3 most energetic POD modes ¢ £ (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) £ ¤ ¤ 1.5 ¢ ¨ (1,0) (1,0) §¥  ¤ ¥ 2.5 ¢ £ £ ¤ ¤ §¥ ¦ ¤ ¥ £ £  §¥  ¤ §¥ ¦ ¤ 1 2 0.5 1.5 0 1 −1  © −1 −0.5 0 0.5 1 ¡ 2500 ¡ 2000 ¡ 1500 ¡ 0.5 1000 −0.5 ◦ (1, 0, 1), (1, 0, 2) move around a circle in a slow, chaotic fashion - relatively fast motion in the radial direction ◦ (1, 1, 0), (1, 1, ±1) more complex, of less energetic importance ◦ model caricatures this complex behaviour with a simple travelling wave 21 Minimal flow unit: coupled models How many modes would be required for accurate reproduction of DNS? • ≈ 1000, as these 600 mode projections indicate... 2.3 ¢ HOTT HOTT ¢ HOTT HOTT £ £ ¤ ¤ ¥ ¤ ¤ 3 ¥ £ £ ¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ 2.2 2 2.1 1 2 ¡ 0 4000 8000 12000 ¦ 50 ¡ 40 30 ¡ 20 10 ¦ 0 ¡ 1.9 ¨ ¨ 0.6 HOTT HOTT £ £ HOTT HOTT ¢ ¢ 1.5 ©  ¤ ¤ ¥ ¥ £ £ ©  1 ¤ ¤ ¥ ¥ 0.4 0.5 0.2 0 0 −0.5 −0.2 −1 −0.5 0 0.5 1 −0.4 −0.4 § § −1 −0.2 0 0.2 0.4 22 Minimal flow unit: coupled models Effect of neglected terms • Terms neglected through truncation which are small on average have a significant effect • Exact equations for the evolution of the modal amplitudes are of form () a(n)nz (t) = set of retained terms + Tnnnz ˙ nx x • Simplest possible approximation is of the form () () Tnnnz = −βnnnz a(n)nz nx x x (Heisenberg Eddy-viscosity model) (n) • choose βnx,nz through least-squares fit 23 Minimal flow unit: coupled models How well does this approximation work? • For some modes, it works very well... ◦ eg. the (1,0,2) mode 0.1 ¦ #     &'¨ § 0.05 ¥ $$% ¥¢ 0 #     " !    ©¨ § ¦ £¤ −0.05 ¥ ¡¢ −0.1 0 0.5 1 1.5 2 4 x 10 0.1 ¦ #     &'¨ ( 0.05 ¥ $$% ¥¢ 0 #     " )     ©¨ ( ¦ ¥ £¤ ¡¢ −0.05 −0.1 0 0.5 1 1.5 2 4 x 10 24 Minimal flow unit: coupled models • For others it does not work very well at all... ◦ eg. the (1,0,1) mode 0.1 ¦ #    '(¨ & 0.05 ¥ $$% ¥¢ 0 #     " 0    )  ©¨ & ¦ £¤ −0.05 ¥ ¡¢ −0.1 0 0.5 1 1.5 2 4 x 10 0.1 ¦ #    '(¨ § 0.05 ¥ $$% ¥¢ 0 #     " !      ©¨ § ¦ ¥ £¤ ¡¢ −0.05 −0.1 0 0.5 1 1.5 2 4 x 10 25 Minimal flow unit: coupled models • attempt to average out this variability with a spectral transfer model with a(n),nz = · · · − αν (n2 + n2 )a(n),nz ˙ nx x z nx ν = 0.0333 (computed from weighted average of β s) α = an O(1) bifurcation parameter (1) ◦ Note: no term added to the equation for a0,0 ˙ • fix Re = 400, examine behavior as α varies 26 Minimal flow unit: coupled models • Bifurcation diagram §¨ §¨ ¥¢  © §¨ ¡¢ ¤ ¡¢ £ ¦¢           $ % ¨ "# !¨ § §¨ & ' ¦¢ ¡¢ ¡¢ ¥¢ ¤ £ 27 Minimal flow unit: coupled models DNS vs. model at Re = 400, α = 0.8 ¢ £ (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) £ ¤ ¤ §¥  ¤ ¥ 2.5 1.5 ¢ ¨ (1,0) (1,0) ¢ £ £ ¤ ¤ §¥ ¦ ¤ ¥ £ £  §¥  ¤ §¥ ¦ ¤ 1 2 0.5 1.5 0 1 −1  © −1 −0.5 0 0.5 1 ¡ 2500 ¡ 2000 ¡ 1500 ¡ 0.5 1000 −0.5 ◦ instead of travelling waves now have standing waves (1) ◦ amplitude of a0,0 far too low, others aren’t too bad 28 Minimal flow unit: coupled models DNS vs. model RMS modal velocities 3 f4 ' 01 ' W F P debca Q @ 01 '1 08 V E Y `X @ Q U T' 0 S9 @ ( R' 'I H 9 9G' ' QI ) A (B F ' g 0.25 0.25 £ ¤ ¥ ¢  ! 0.2 ¡ 0.2  M(0,1) M(0,2) M(1,0) M(1,1)  § ¦ 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05  0.15  1400 1420 1440 1460 0 920 930 940 950 960 970 980 990 1000 1010 % 1380 % 1360   0  "$#"$ © © ¨ © © )9B ' A8 )@ ('9 089 2 01 ()' & )9B ' A8 )@ ('9 089 CD 4 74 5634 2 01 ()' & 29 Minimal flow unit: coupled models DNS vs. model streak-breakdown process Y XW ` UVTR S G 31 9 A 31 9 QAP I E D 2 4 ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ 4 4 0 0 4 2 0 0 4 0 0 4 2 0 0 4 0 0 2 2 GH19 F 38 BC A3 7@ 2 2 2 0 0 0 0 4 2 619 4 2 2 0 0 8 2 2 2 2 0 0 4 2 2 4 2 2 0 0 756   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§  ¦§  ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¡ ¦§ ¡ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¢£ ¦§ ¢£ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ( ¦§ # ¦§ ¦§ ¦§ ¦§  ¦§  ¦§ ¦§ ( ¦§ $ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¡ ¦§ ¡ ¦§ ¦§ ( ¦§ % ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¢£ ¦§ ¢£ ¦§ ¦§ ( ¦§ & ¦§ ¦§ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥                ¡  ¡         ©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©© ©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©©¢£ ©¢£ ©©©©©©¤¥ ©¤¥  )' ( ( (! 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" 2 2 2 2 0 0 4 2 0 0 43 120  4 2 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 2 2 2 2 30 Minimal flow unit: coupled models DNS vs. model streamwise velocity contours (including laminar state) −0.5 %  $# " ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¤¥ ¦§ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£  ¢£ © ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¤¥ ¦§ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ © ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0 −0.5 % $# ") ( " '!& −0.5 ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¢£ ¢£ ¢£ ¦§ ¦§ ¦§ ¢£ ¢£ ¢£ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¡ 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 −1 0 3.5 3 2.5 2 1.5 1 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 −1 0 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 −1 0 0.5 ¡ −1 0 I −0.5 "! 0.5 0 H 0  1 0.5 GF 0  1 E 0.5 0.5 CDB ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ 46 ¤¥ ¤¥ 7 ¤¥ ¤¥ A1 ¤¥ ¤¥ 6 ¤¥ ¤¥ 7 ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ A1 ¤¥ ¤¥ 9 @8 ¤¥ ¤¥ 67 ¤¥ ¤¥ 53 4 ¤¥ ¤¥ 2 ¤¥ ¤¥ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ 10  ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¨ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥  ¤¥ Y ¤¥ ¤¥  ¤¥ ¤¥  WX ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ A ¤¥ ¤¥ V1 ¤¥ ¤¥ U ¤¥ ¤¥ 67 ¤¥ ¤¥ T ¤¥ ¤¥ 2Q ¤¥ ¤¥ UST ¤¥ ¤¥ R ¤¥ ¤¥ 6Q1 ¨ ¤¥ ¤¥ ¨ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¨ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ P 1 '!& 1 31 Minimal flow unit: coupled models DNS vs. model streamwise velocity contours (neglecting laminar state) −0.5 %  $# " ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤¥ ¡ ¤¥ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ © ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤¥ ¡ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ © ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ §¦ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ 0 −0.5 % $# ") ( " '!& −0.5 ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¡ ¤¥ ¡ ¤¥ ¡ ¤¥ ¡ ¤¥ ¤¥ ¤¥ 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 −1 0 3.5 3 2.5 2 1.5 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 −1 0 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 −1 0 1 0.5 −1 0 I −0.5 "! 0.5 0 H 0  1 0.5 GF 0  1 E 0.5 0.5 CDB ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ 46 ¢£ ¢£ 7 ¢£ ¢£ A1 ¢£ ¢£ 6 ¢£ ¢£ 7 ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ A1 ¢£ ¢£ 9 @8 ¢£ ¢£ 67 ¢£ ¢£ 53 4 ¢£ ¢£ 2 ¢£ ¢£ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ 10  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¨ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¢£  ¢£ Y ¢£ ¢£  ¢£ ¢£  WX ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ A ¢£ ¢£ V1 ¢£ ¢£ U ¢£ ¢£ 67 ¢£ ¢£ T ¢£ ¢£ 2Q ¢£ ¢£ UST ¢£ ¢£ R ¢£ ¢£ 6Q1 ¨ ¢£ ¢£ ¨ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§  ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¨ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§  ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ ¦§ P 1 '!& 1 32 Minimal flow unit: coupled models DNS vs. 6-mode model turbulent statistics   0.25 0.02 0.1 0.1 0.02 0.05 $% $% $% $% $% $% $% $% $% $% $% $% $% $% $% $%     ¨ ©§ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ () () () () () () () () () () () () () () () () () ()                   0.4 $% 0.8 ¢£ () () ''''''''''''''''' &&&&&&&&&&&&&&&&& &' 0.01      0.02 $% 0.6 1 0.4 −0.2 0.2 ! −1 1 0.2 0 −0.4 0 ¡  DNS −7 0 −0.6 0 ! ¡ !  −6 −0.006 0.02 −3  ©§ ¦ −5 0.03 −8 −1 1 −0.2 ! ¡ ¡ ! ! ¡ ! ! ¡ ! ! ! ! −4 0.04  0.06 model 0.01 $% $% ################# """"""""""""""""" "# 0.3 −0.8 −1 1 0.8 −0.4 ! ¡ ¡ ! ! ! ! ¡ ¡ ¡ ¡ ! ¡ 0.2 ! ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0 ¡ −0.004 0.04 DNS 0.3 model −3 0.05 0 0 ! 0.07 −0.2 −0.2 ¡ 0 1 −0.4 −0.4 x 10 0 0.08 1 0.8 0.6 0.4 0.2 −0.6 0 −1 −0.6  ©§ ¦  ¨ ©§ ¦ 0.07 0.05 0 −0.8 0 −1 1 0.8 1 0.6 −0.8 0.6 −0.6 0 −1 0.03 model 0.15 −2 0.06 0.04 0.2 −0.002 model 0.06 0.04 DNS 0.2 0.4 0 −1 0 −1 −0.8 0 −1 0.06 0.35 33 Minimal flow unit: uncoupled models Model captures MFU turbulence as periodic orbit • approximately correct time-scales, phase relationships, and velocity reconstructions But, predicts laminar state becomes unstable ⇒ uncoupled expansion Ref: F. Waleffe, Phys. Fluids 7:3060, 1995 Φ(n)nz (x) = Φ(n)[1](x) + Φ(n)[2](x) nx nx nz nx nz (n) P Φnx nz (x) u(x, t) = ∞ ∞ ∞ (n) (I −P )Φnx nz (x) 2 ( ( bnn)[m](t)Φnn)[m] x nz x nz n=1 nx =−∞ nz =−∞ m=1 ◦ first suggested to avoid paradoxical behaviour of ODE models based upon streamwise-invariant POD modes 34 Minimal flow unit: uncoupled models Streamwise-invariant =⇒ perturbations must decay! ◦ for mean velocity U , peturbations u, v, w and ∂/∂x = 0 we have D/Dt = ∂/∂t + u2∂/∂y + u3∂/∂z 1 D (U + u1) = Dt Re d dt ∂2 ∂2 +2 2 ∂y ∂z (u2 + u2) dydz = −2ν 2 3 (convective derivative) (U + u1) (NS Equation) 2 ωxdydz (ωx = x-vorticity) ⇒ all disturbances must decay ◦ “artificial coupling” ⇒ streamwise-invariant model sustained dynamics ◦ Berkooz, Holmes & Lumley (JFM 1991) proposed to remove coupling ◦ later generalised by Waleffe (Phys. Fluids 1997) 35 Minimal flow unit: uncoupled models Uncoupled basis functions (n) 0 φ1,0,nz (y ) (n) (n)[1] (n)[2] streamwise-invariant: φ0,nz (y ) = , φ0,nz (y ) = φ2,0,nz (y ) , 0 (n) 0 φ3,0,nz (y ) (n) 0 φ1,nx,0(y ) (n)[1] (n)[2] 0 spanwise-invariant: φnx,0 (y ) = φ(n) ,0(y ) , φnx,0 (y ) = 2,nx (n) φ3,nx,0(y ) 0 ◦ new basis functions: pairwise orthogonal & divergence free (n)[m] (n )[m ] (n)[m] (Φnx,nz (x), Φnx,nz (x)) = enx,nz δnn δmm (n)[m] · Φnx,nz (x) = 0 for m = 1, 2 (n)[m] ◦ do not normalise uncoupled modes =⇒ enx,nz = 1 (n)[1] (n)[2] however: enx,nz + enx,nz = 1 36 Minimal flow unit: uncoupled models Uncoupled 6-mode model • model is not streamwise invariant =⇒ might expect sustained behaviour Plot RMS modal velocities: M (nx, nz ) = √ 1 Lx Lz n |a(n),nz | nx # ¢% ©  ¢% © ¥& ! ¢  % #$" ¢ £  ¨     © ¨§ ¥¦¤ £¢ ¡ 0.5 0.25 0.2 0.4 0.15 0.3 0.1 0.2 0.05 M(0,1) M(0,2) M(1,0) M(1,1) 0.1 1500 2000 2500 0 1000 0 1000 1500 2000 2500 37 Minimal flow unit: uncoupled models Uncoupled 9-mode model • Laminar solution is now stable with α > 0.2179 ◦ small aU C (0) → laminar solution as t → ∞ ◦ larger aU C (0) → periodic orbit, originating in an SN bifurcation 3.40 AUTO → periodic orbit orginates in a SN bifurcation, forming an isola 3.30 3.20 3.10 3.00 ¢ 2.90 ¡ 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. 3000. 38 Minimal flow unit: uncoupled models DNS vs. model RMS modal velocities T  ¦  ¤   ¨  ¥ § 0.1 0.05 " © ¥ 0.1 " £  § 0.15 S) ¦ ¨ 0.2 QI RPH ¤ 0.15   4 © M(0,1) M(0,2) M(1,0) M(1,1) £ 0.2 9 %   FG% ! 9 # D 7 &E BC  A$ % @ 7 6 3 97 8  $ $5 & ' 4  0.25 0.25 0.05 $' &# % #$ $ ¡ ¡ "!    $' &# % $ #$ ) 2) 0 1()    ¡ ¡ 0 1320 1340 1360 1380 1400 1420 1440 ¢ ¢ 0 1340 1360 1380 1400 1420 1440 1460 39 Minimal flow unit: uncoupled models DNS vs. model streak-breakdown process XYYW ` UVTR S G 31 9 A 31 9 QAP I D GH19 F 38 42E BC A3 2 4 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 7@ 2 2 2 619 4 2 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 4 2 8 2 2 2 2 2 4 2 4 0 0 2 4 0 0 2 0 0 756 2 2 2 0 0 4 2 0 0 43 120 ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥       ¡  ¡  ¡        ¢£ ¢£    ¤¥  ¤¥ ¤¥       §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§  ($ ¡ ¡ ¡ ( % ¢£ ¢£ ( & ¤¥ ¤¥ ¤¥ ( '   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥       ¡  ¡  ¡        ¢£  ¢£ © © © © © ©   ©§©§©§©§©§©§©§©§©§©§©§©§©§©§§§§§§§§§§§§§§©§©§ §§§§§§§§§§§§§§©§§©§§©§§©§§©§§©§§©§§§ ©  ) ( ( ( " ¤¥ ¤¥ ¤¥ ( # ! ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¨ ¨ ¨ ¨ ¡ ¨ ¡ ¨ ¡ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¢£ ¨ ¢£ ¦¨ ¦¨ ¦¨ ¦¨ ¦¨ ¦¨ ¨ ¨ ¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦§¦§§§§§§§§§§§§§§¦§¦§ §§§§§§§§§§§§§§¦¨§§¦¨§§¦¨§§¤¥ ¦¨§¤¥ §¤¥ ¦¨§§¦¨§§¦¨§§§ ¦¨  ¡ ¡ ¡ % ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥ '   $ & ¡ ¡  ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡  ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥   ¡ ¡ ¡ ¢£ ¢£ ¤¥ ¤¥ ¤¥           ¡  ¡  ¡   !     ¢£  ¢£    "    ¤¥  ¤¥  ¤¥    #             ¡  ¡  ¡        ¢£  ¢£       ¤¥  ¤¥  ¤¥          4 2 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 2 2 2 2 40 Minimal flow unit: uncoupled models DNS vs. model streamwise velocity contours (including laminar state) 0.5 0.5 0 0 0.5 −0.5 %$ # #" !  0.5 0 −0.5 §¨ §¨ 3.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 (&"' %$ # #0 )! 3.5 §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ £¤ §¨§¨ £¤ §¨ £¤ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ §¨ 0.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 −1 0 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 −1 0 −1 0 3 −0.5 2.5 0 2 0.5 1.5 §¨ 1 1 1 0.5 −1 0 §¨ ` Y XYW V T US ¥¦ ¥¦ ¥¦ H@ §¨ §¨ §¨ 2 ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ 4 ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ B ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ 2@ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ 4 ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ RBQ P ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦ ¥¦ @ §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ HI2 G ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ 9 ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ 34 £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ ¥¦ £¤ ¥¦ £¤ ¥¦ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ §¨ £¤ §¨ £¤ §¨ 5F £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ © £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ ¥¦ £¤ ¥¦ £¤ ¥¦ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤  £¤  £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ §¨ £¤ §¨ £¤ §¨  £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ ¥¦¥¦  £¤ ¥¦¥¦ £¤ ¥¦¥¦ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ £¤ §¨§¨ £¤ §¨§¨ £¤ §¨§¨ E ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦  ¥¦ §¨ §¨ §¨ CD ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ B4 ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ A8@ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ 372 ¥¦ ¥¦ ¥¦ 9 §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ 867 ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ ¥¦ ¥¦ ¥¦ §¨ §¨ §¨ 534 ¥¦ ¥¦ ¥¦ © ¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ © ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¡ ¢¡ ¢¡ ¡¡¡¡© ¡¡¡¡¡¡ ¡¥¦ ¡¥¦ ¡¥¦ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡§¨§¨ ¡§¨§¨ ¢ §¨§¨ 21 1 (&"' 1 41 Minimal flow unit: uncoupled models DNS vs. 9-mode model turbulent statistics 0.08 0.08 0.04 model 1 −3 0.04 0.08 −6 0.06 0.02 −0.008 0.02 −7 −8 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −9 −1 1 DNS model −0.006 0.04 0 DNS model 0 0.12 x 10 −3 0.14 1 1 0.8 0.6 0.4 0 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 0 −1 1 DNS 0.05  ¨ §  0.04 0.15 −1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 −1 −0.004 −5 DNS 0.06 −1 −0.002 model 0.1 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 0 −1 0.07 0.25 model 0.3 0.09 0.3 0 −1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 −1   ©¨ § ¤  ¤  ¤ ¥¦ ¥¦  ¤£  ¤£  ¤£ ¥¦ ¥¦  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£    ¤£  ¤£  ¤£   ¤£  ¤£  ¤£ © ¨  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£  ¤£ ¤£ ¤£ $% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% #¡$% "#¡¤£ $%¡¤£ $%¡¤£ ¡¡¡¡! 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B CA ' ( (  & ! $ %# "      8. ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ ¤¥ 43 Comparison with Waleffe (Phys. Fluid, 1995 & 1997) • was inspired by HKW to construct a low-dimensional model from physical arguments § © ¢¦ £ ¨  ¡ © ¢¦  © £ ¢¦ ¨  © ¤ £¡ ¢ ¡ &% % £  ¦ ¨ ¦ # §¦ ¦ ! " ¤  © ¢¦ £  $¡ § ¥¦ ¤£ ¢ ¡  © ¦ ¤ £¡ ¢ ¦  ¢¦  £¦ ¢ ¡ • not PCF but “sinusoidal shear flow” • predictions of 4-mode model ◦ correctly predicts stability of laminar state ◦ certain coefficients: stable p.o. through homoclinic bifurcation. ◦ velocity reconstructions from p.o. do not look like DNS ◦ oefficients from Galerkin projection of NSE → unstable p.o. 44 Conclusions • Have considered PCF in the MFU ◦ applied the POD - found almost all energy captured by first few modes ◦ despite this, found that ≈ 1000 modes required to reproduce DNS • Constructed two low-dimensional models ◦ 6-mode coupled model; qualitatively correct periodic orbit, but laminar state was unstable ◦ 9-mode uncoupled model; periocdic orbit co-existing with stable laminar state ◦ both models showed good quantative agreement with DNS timescales, RMS modal velocities ◦ good qualitative agreement with DNS streak-breakdown contours and statistics ◦ Phase relationships of modal amplitudes better for coupled 6-mode model 45 Possible improvements • including more modes ◦ e.g., more POD families, linear terms → non-normal ◦ can also solve the problem of the unstable laminar state • using symmetry ideas to get “better” POD modes – Rowley and Marsden (Physica D, 2000) • better model for losses to neglected modes 46 ...
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