ECN 611 Handout 2

ECN 611 Handout 2 - Economics 611 Handout#2 Simultaneous...

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Unformatted text preview: Economics 611 Handout #2 Simultaneous Games with Endogenous Uncertainty Mixed strategies If player i's pure strategies are Si = { s1i, s2i, ..., sMi }, then the mixed extension of Si is Ä(Si) = { (ó1i, ó2i, ..., óMi) ￿ ￿M : ómi : Si ￿ [0, 1] for all m = 1, 2, ..., M and ￿m ómi = 1 } An element of Ä(Si) is a mixed strategy for player i. Payoffs are based on expected values. Nash equilibrium Player i's best response correspondence, bi: Ä(S)–i ￿ Ä(Si) in game ( I, {Ä(Si)}, {ui(￿) ) is defined by bi(ó–i) = {ói ￿ Ä(Si) : ui(ói, ó–i) ￿ ui(ói￿, ó–i) for all ói￿ ￿ Ä(Si) }. (s1, s2, ..., sI) is a Nash equilibrium of game ( I, {Ä(Si)}, {ui(￿) ) iff ói ￿ bi(ó–i) for all i ￿ I. E x a m p le : L eft R ight Up (8, 2 ) (0, 3 ) D ow n (0, 3 ) (2, 2 ) E x a m p le : S cis s ors , R ock, P aper S R P S (0, 0 ) (– 1, + 1 ) (+ 1, – 1 ) R (+ 1, – 1 ) (0, 0 ) (– 1, + 1 ) P (– 1, + 1 ) (+ 1, – 1 ) (0, 0 ) 611.02 - 1 P r o p o s itio n 8 .D .1 Suppose ó = (ó1, ó2, ..., óI) is a N ash equilibrium o f à = ( I, {Ä( Si)}, {ui}) in m ixed s tra te g ie s . (A ) If si a nd si￿ a re in the support o f ói, th e n u (s i, ó)i() = u (si￿, ó)i(); (B ) If si is in the support o f ói a nd si￿ is n o t, th e n u (s i, ó )i( ) ￿ u (si￿, ó )i( ); P r o p o s itio n 8 .D .2 If each S i is f inite, then à = ( I, {Ä( Si)}, {ui}) h as a N ash equilibrium in m ixed strategies. T arget D efens e E x ercis e: A r m y A h a s a s in g le p la n e w ith w h ic h it c a n s tr ik e o n e o f th r e e p o s s ib le ta r g e ts . A r m y B h a s o n e a n ti-airc ra f t g u n th a t ca n b e a ss ig n e d to o n e o f th e tar g e ts. T h e v a lu e o f tar g e t k is v k, w ith v 1 > v 2 > v 3 > 0 . A rm y A c a n d e stro y a tar g e t if a n d o n ly if A a ttac k s it a n d it is u n d e f e n d e d . A rm y A w is h e s to m a x im iz e th e e x p e c te d v a lu e o f th e d a m a g e a n d A rm y B w is hes to m inim ize it. F ind all N ash equilibria, p ure and mixed. D1 D2 D3 A1 (0,0) (v 1 , – v 1 ) (v 1 , – v 1 ) A2 (v 2 , – v 2 ) (0,0) (v 2, – v 2) A3 (v 3 , – v 3 ) (v 3 , – v 3 ) (0,0) M ix e d s tra te g ie s : A tta c k e r: (p 1 , p 2 , p 3 ); D e f e n d e r: (q 1 , q 2 , q 3 ) 1 . N o N E h as p u re strateg ies fo r eith er p layer. 2. A t a ny N E , p i = 0 im plies q i = 0 . 3 . A t a n y N E , p j ￿ 0 i m plies p i ￿ 0 f o r a ll i < j. T herefore there are just tw o cases: (I) p1 , p2 , p3 > 0 ; (II) p 1 , p 2 > 0 . 611.02 - 2 Simultaneous Games with Exogenous Uncertainty B a y e sia n N a sh E q u ilib r ia A B a y e s ia n g a me ( I , { S i}, { u i(￿)} , È , F (￿) ) h as a c ollection I o f in d iv id u a ls; È = È 1 × ... × È I w here è i ￿ È i is a rand om v ariable, c alled i's type , c hosen by n ature and ob servab le on ly b y p layer i. i's s tr ategy rules a re n o w c o n tin g e n t o n typ e s: si(è i) a nd u tilit ie s a re u i(s i, s – i, è i) w here s i ￿ S i. F (è 1 , è 2 , ... , è I) g iv e s th e jo in t p ro b a b ility d e n sity function of È . u i(s 1 (￿), s 2 (￿), ..., s I(￿) ) = E i[ u 1 (s1 (è 1 ), u 2 (s 2 (è 2 ), ..., u I(s I (è I), è i) ] ˜ A p rof ile o f strateg y rules ( s 1 (￿), s 2 (￿), ..., s I(￿) ) is a p ure strategy N ash equilibrium if f f o r e v e ry i, u ( si(￿), s – i(￿) ) ￿ u ( s￿i(￿), s – i(￿) ) f o r a ll s￿i(￿) in S i . Þ Þ E xam ple 8.E .2. T here are tw o firm s : i = 1 , 2 . E ach è i h as a u niform d is tribution on [0, 1 ] a nd è 1 a nd è 2 a re distribu ted indep end ently. T he co sts of de veloping a Z igg er is c ￿ ( 0, 1 ) for any f irm u n dertaking de velopm ent. T he b enef it o f d eveloping a Z igg er is a p u b lic g o o d : if e ith e r f irm d e v e lo p s a Z ig g e r, th e n f irm i b e n e f its b y (è i)2 w hen i is o f type è i. D e v e lo p m e n t d e c isio n s a re sim u ltan e o u s; s i(è i) = 0 if firm i d oes n ot d evelop a Zigger w hen they o bs erve they a re of type è i, w hile si(è i) = 1 if firm i d oes d evelop a Zigger w hen they o bs erve they a re of type è i. F irm i d evelops a Z igger if (è i)2 – c ￿ (è i)2 [ P rob (sj(è j) = 1 )]; that is, f irm i's best r espo nse fu nction is: T he cu toff v alue for firm i is 611.02 - 3 So Prob[si(è i) = 1 ] w ill be 1 m inu s this va lue (rec all t he u n ifo rm d istrib u tio n a ssu m p tio n ). In particular, a t a B ayesian N ash equ ilibrium , the cu toff v alues è * 1 a nd è * 2 s atis fy Pr ob[sj(è j) = 1 ] = 1 – è * j. W e next s how that the è * i lie in th e o p en i nterva l (0 , 1 ): (1) S uppose è * 2 = 0 . S in c e th e n f o r a ll è 2 , è 2 ￿ è * 2 , P r ob[s2 (è 2 ) = 1 ] = 1. N ow firm 1 d evelops jus t w hen (è 1 ) 2 – c ￿ (è 1 ) 2 [ P rob (s2 (è 2 ) = 1 )] = (è 1 ) 2 , w h ich is im p o ss ib le s ince c > 0 . S o Prob[s1 (è 1 ) = 1 ] = 0; then firm 2 d evelops jus t w hen (è 2 )2 – c ￿ (è 2 )2 [P rob (s 1 (è 1 ) = 1 )] = 0 . B ut P r ob[(è 2 )2 – c ￿ 0 ] ￿ 1 s o Pr ob[s2 (è 2 ) = 1 ] ￿ 1 . F ro m th is c o n tra d ic tio n , è * 2 ￿ 0 . S im ila rly, è * 1 ￿ 0 . (2) N ow s uppos e è * 2 = 1 . T h e n f o r a ll è 2 , è 2 ￿ è * 2 , P r ob[s2 (è 2 ) = 1 ] = 0 . F irm 1 develops jus t w hen (è 1 )2 – c ￿ (è 1 )2 [P rob (s 2 (è 2 ) = 1 )] = 0 . So è * 1 = c 1 /2 . B u t f ro m è * 2 = 1 w e als o g e t 1 = è * 2 = [ c /[1 – P rob (s1 (è 1 ) = 1 )]]1 /2 s o 1 – P rob (s1 (è 1 ) = 1 ) = c o r P rob (s1 (è 1 ) = 1 ) = 1 – c so è * 1 = c w hich im plies c = c 1 /2 . B ut that is im pos s ible since c ￿ 0 o r 1 . F ro m th is c o n tra d ic tio n , è * 2 ￿ 1 . S im ila rly, è * 1 ￿ 1 . or S im ila rly, T h e s e im p ly (è *1 )2 è *2 = c . (è *2 )2 è *1 = c . (è * 1 )2 è * 2 = (è * 2 )2 è * 1 . S ince n eith er è * 2 n o r è * 1 is 0 , è*1 = è*2. So ( è * 1 )2 è * 1 = c o r è * 1 = c 1 /3 . S im ila rly, è * 2 = c 1 /3 . E x ercis es: (1) M a s-C o lell, W h in sto n , an d G re e n w rite ( so rt o f ): "In th is e q u ilib riu m th e p ro b a b ility th a t n e ith e r f irm d e v e lo p s th e Z ig g e r is (c 1 /3 ) 2 , the p ro b a b ility that e xactly o ne firm d evelops it is 2 c 1 /3 (1 – c 1 /3 ), a nd the probability that b oth do is (1 – c 1 /3 )2 ." Explain. D o these add to 1? (2) M a s -C o le ll, W h in s to n , a n d G re e n : 8 .E .3 611.02 - 4 ...
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