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merton - Optimisation de portefeuille : problme de Merton...

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Unformatted text preview: Optimisation de portefeuille : problme de Merton en Horizon fini Pierre Garreau 4 dcembre 2007 Rapport de projet pour le cours Mthodes numriques pour les EDP en finance dispens par Mr O. Bokanowski lEcole Suprieure des Techniques Avances, 2007. 1 Problme On considre le problme du choix dun portefeuille compos dun actif sans risque voluant au taux r et dun actif risqu dcrit par un Brownien gomtrique. Lvolution de la valeur du portefeuille dpend du poids de chacun des actifs, ou dune commande, A . Le problme est destimer la valeur v ( t,x ) = sup A , [ t,T ] E [ u ( X ) | X t = x ] pour un temps darrt et une stratgie optimaux. On travaille avec une rentabilit sans risque r > et une volatilit > , et nous considrons le domaine tronqu t [0 ,T ] et x [0 , X ] . Un principe de programmation dynamique montre que v doit tre solution de lquation diffrentielle rtrogade suivante : ( S ) t v + inf A- ( + (1- ) r ) x x v- 1 2 2 x 2 2 xx v = 0 t [0 ,T ] ,x [0 , X ] v (0 ,x ) = u ( x ) x [0 , X ] On peut trouver une solution explicite dans le cas o lon pose v ( t,x ) = ( t ) u ( x ) avec avec u ( x ) = x p , pour p (0 , 1) . De faon travailler sur un domaine tronquer, il nous faut une condition limite pour la compltude du problme. On choisit une condition de type Von Neuman x v ( t, x ) = p x v ( t, x ) , t [0 ,T ] . On obtient alors une quation diffrentielle sur : ( t ) + ( t ) = 0 (0) = 1 o = inf A (- ( + (1- ) r ) p + 1 2 2 p (1- p ) 2 ) = inf A f ( ) . Cette fonction est convexe sur A . Elle atteint donc un minimum sur A que nous noterons . Si A = R , alors = - r (1- p ) 2 Nous obtenons alors la solution analytique suivante : ( t ) = e- ( (- - (1- ) r ) p + 1 2 2 2 p (1- p ) ) t Nous proposons la rsolution numrique de ce problme, dans un premier temps par une mthode dEuler Explicite, puis grce lalgorithme de Howard. Nous suiverons le paramtrage suivant pour les schmas de discrtisation : On dcoupe le domaine spatial sur [0 , X ] . On pose h = X/ ( M + 1) et s j = jh , pour j { ,...,M + 1 } ....
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This note was uploaded on 01/15/2012 for the course MAT 5939 taught by Professor Garreau during the Fall '11 term at FSU.

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