SP_Lecture1 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 1‬ ‫1102.80.20‬ ‫עיבוד אותות מודרני ־ כמעט לחלוטין דיגיטלי, בשונה מבעבר אז היה יותר שימוש בכלים אנלוגיים.‬ ‫בעבר: אות כניסה ← מעגל אנלוגי ← אות מוצא‬ ‫כיום: אות כניסה ← דגימה ← עיבוד ספרתי )מעבד( ← ממיר מדיגיטלי לאנלוגי ← אות מוצא.‬ ‫נושאים שנעסוק בהם בקורס:‬ ‫• דגימה‬ ‫• ‪ DF T‬־ ‪ ,Discrete Fourier Transform‬ו־ ‪ F F T‬־‬ ‫‪Fast Fourier Transform‬‬ ‫• סינון ספרתי‬ ‫ספרות: יפורסם באתר )היילרן(‬ ‫ציון הקורס: %09 מבחן ו־ %01 עבודות מחשב. יהיו עבודות בית לא להגשה.‬ ‫דגימה ־ הקדמה‬ ‫הדגימה מאפשרת לקלוט אות בזמן רציף ולהפוך אותו לאות בזמן בדיד, זאת בכדי שניתן יהיה‬ ‫לעבד אותו במחשב. ביישומים ומערכות מעשיות, כגון מכשירי סלולר, מערכות שמע, מערכות‬ ‫שידור וקליטה )טלוויזיה, רדיו(, האותות הנתונים הם בזמן רציף, אך המערכות הן מערכות עיבוד‬ ‫ספרתי:‬ ‫)‪y (t‬‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫‪analog‬‬ ‫‪analog‬‬ ‫→ ‪→ Digital‬‬ ‫↑‬ ‫↑‬ ‫נוכח עובדה זו, נושא הדגימה והשחזור הינו נושא חשוב.‬ ‫אחת הבעיות העיקריות במעגלים אנלוגיים היא חוסר עקביות ־ עקב תלות בכל מיני פרמטרים‬ ‫)רעש, טמפרטורה וכו'( חזרה פעמיים על אותו ניסוי עשויה להניב תוצאות מעט שונות. לעומת‬ ‫זאת בעולם הדיגיטלי, אין דבר כזה )במעבד דטרמיניסטי רגיל(.‬ ‫בנושא הדגימה, נרצה לענות על מספר שאלות:‬ ‫• כיצד לבצע דגימה ללא שגיאה?‬ ‫• כיצד נשחזר דגימה?‬ ‫• אם לא ניתן לדגום ולשחזר ללא שגיאה, אז כיצד נאפיין את השגיאה?‬ ‫• כיצד נוכל למזער את השגיאה?‬ ‫1‬ ‫סוגי שגיאות:‬ ‫• שגיאת כימות. יש לנו מספר סופי של סיביות איתן אנחנו מייצגים כל דגימה, ועל כן מספר‬ ‫סופי של ערכים אפשריים לכל דגימה, על אף שהאות המקורי הינו אות ממשי רציף.‬ ‫• ‪ Aliasing‬־ קצב דגימה איטי מדי.‬ ‫דוגמה לדגימה:‬ ‫דגימה ־ הגדרות וסימונים‬ ‫נתון )‪ x(t‬אות בזמן רציף. נדגום את האות כל ‪ T‬שניות, כלומר בנקודות ‪ T ,n ∈ Z) t = nT‬מרווח‬ ‫הדגימה / זמן הדגימה(.‬ ‫מכאן נסמן:‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪ fs‬־ תדר הדגימה ] ‪[Hz‬‬ ‫= ‪ ωs‬־ תדר דגימה זוויתי ]‪[rad/sec‬‬ ‫‪n∈Z‬‬ ‫, ] ‪x [n] = x [nT‬‬ ‫‪we usually omit the T‬‬ ‫↑‬ ‫נוכל לדגום את )‪ x (t‬בעזרת רכבת הלמים:‬ ‫∞‬ ‫) ‪x (nT ) δ (t − nT‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫= ) ‪x (t) δ (t − nT‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫· )‪xs (t) = x (t) · p (t) = x (t‬‬ ‫= ) ‪δ (t − nT‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫נשים לב: )‪ xs (t‬הינו אות בזמן רציף למרות שהוא מייצג דגימה.‬ ‫דוגמה:‬ ‫0≥‪t‬‬ ‫0<‪t‬‬ ‫0≥‪n‬‬ ‫0<‪n‬‬ ‫‪e−αt‬‬ ‫0‬ ‫‪e−αnT‬‬ ‫0‬ ‫= )‪α ≥ 0 ,x (t‬‬ ‫= ]‪x [n‬‬ ‫)גרף אקספוננט עם קווים שמסמנים את הדגימות(‬ ‫תזכורת:‬ ‫על מנת לגום אות, הוא חייב לקיים מספר תנאים )דיריכלה?(: מספר סופי של נקודות אי־רציפות‬ ‫בכל קטע סופי, קיום גבול משני הצדדים בכל נקודת אי רציפות...‬ ‫למשל, לא ניתן לדגום אות )‪.δ (t‬‬ ‫2‬ ‫ניתוח דגימה בתדר‬ ‫נתון )‪ x (t‬אות בזמן רציף, בעל התמרת פורייה ) ‪ .X (jω‬האות נדגם לקבלת ]‪.xs (t) ,x [n‬‬ ‫∞‬ ‫‪x [n] e−jθn‬‬ ‫= ‪= X ejθ‬‬ ‫})‪DT F T {x (t‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫‪x (t) e−jωt dt‬‬ ‫})‪F {x (t‬‬ ‫= ) ‪= X (jω‬‬ ‫∞−‬ ‫נרצה לדון בתהליך הדגימה. נבצע זאת ע"י בחינת הקשרים בין ) ‪:X ejθ ,Xs (jω ) ,X (jω‬‬ ‫)‪ (i‬הקשר ) ‪Xs (jω ) ←→X (jω‬‬ ‫נתחיל מההגדרה:‬ ‫∞‬ ‫= ‪δ (ω − kωs − u) du‬‬ ‫∞−=‪k‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪T‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫)‪X (ju‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫= ) ‪X (jω ) ∗ P (jω‬‬ ‫= })‪= F {x (t) · p (t‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫) ‪Xs (jω‬‬ ‫∞−‬ ‫∞‬ ‫= ) ‪X (jω − jkωs‬‬ ‫∞−=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫=‬ ‫)‪ (ii‬הקשר ) ‪X ejθ ←→Xs (jω‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫= ‪x (nT ) e−jωnT‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪x (nT ) δ (t − nT ) e−jωt dt‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫= })‪F {xs (t‬‬ ‫=‬ ‫) ‪Xs (jω‬‬ ‫∞−=‪−∞ n‬‬ ‫∞‬ ‫‪x [n] e−jθn = X ejθ‬‬ ‫↑‬ ‫‪DT F T‬‬ ‫=‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫)‪ (iii‬הקשר ) ‪X ejθ ←→X (jω‬‬ ‫לפי )‪ (i‬ו־ )‪ ,(ii‬הקשר הדרוש הוא מיידי ־ ‪ X ejθ‬היא "גרסה מכווצת" של ) ‪ X (jω‬לתחום )‪.(−π, π‬‬ ‫מסקנות:‬ ‫) ‪ X ejθ ,Xs (jω‬מורכבים משיכפולים של ) ‪ X (jω‬בכל ‪.ωs‬‬ ‫מתקיים: ‪Xs (jω ) = X ejθ |θ=ωT‬‬ ‫שתי צורות הדגימה הן בעלות אותה התמרה )עד כדי כיווץ והכפלה בקבוע(. ‪ DT F T‬מחזורית‬ ‫ב־ ‪ Xs ,2π‬מחזורית ב־ ‪.ωs‬‬ ‫בכל מקרה, הדגימה גורמת לשכפול של האות בתדר במחזור מסוים.‬ ‫דגימה ־ מקרה ‪I‬‬ ‫אות בזמן רציף נקרא מוגבל סרט אם התמרת פורייה שלו מתאפסת מחוץ לאינטרוול מסוים‬ ‫)בעלת תומך סופי(.‬ ‫‪∀ |ω | ≥ ωm‬‬ ‫0 = ) ‪X (jω‬‬ ‫‪ ωm‬־ רוחב הסרט )‪.(Bandwidth‬‬ ‫אות נקרא ‪ base band‬אם הוא בתחום 0 עד ‪.ωm‬‬ ‫3‬ ‫בדגימת אות מוגבל סרט בתדר נייקוויסט ומעלה, השכפולים לא יחפפו, ונקבל =‬ ‫1‬ ‫]‪ . T X (jω ) |ω= T , θ ∈ [−π, π‬הדגימה הניבה שכפול ללא עיוות )‪ ,(aliasing‬אך התקבל כיווץ והגבר.‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪X ejθ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪T‬‬ ‫) ‪(−ωm , ωm ) → (−π, π‬‬ ‫→‬ ‫4‬ ‫‪a‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/14/2012 for the course ELECTRICAL 361-1-3321 taught by Professor Dr.ilanshalom during the Summer '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online