SP_Lecture2 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 2‬ ‫1102.8.4‬ ‫)חזרה על הגדרת אות מוגבל סרט, רוחב סרט ־ ראה הרצאה 1(‬ ‫‪ ωm‬־ רוחב הסרט )‪.(Bandwidth‬‬ ‫‪ωm‬‬ ‫רוחב הסרט נמדד ב־ ]‪ [rad/sec‬וניתן לבטאו גם בתדירות רגילה ] ‪.fm = 2π [Hz‬‬ ‫אנו מתייחסים כעת להגדרת אותות מוגבלי סרט באופן מתמטי טהור, ללא הרחבה בשאלה‬ ‫אם בכלל קיים אות פיזיקלי כזה )מכיוון שבפועל אותות מעשיים יהיו מוגבלים בזמן, הם לא יהיו‬ ‫מוגבלי סרט(.‬ ‫דוגמה‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫התמרת פורייה של הפונקציה )‪ sinc (t‬היא הפונקציה ‪ Π 2π = rect 2π‬כאשר ‪ ,|ω| ≤ π‬כלומר‬ ‫‪.ω m = π‬‬ ‫לעומת זאת אם ניקח 0 > ‪:x (t) = te−αt u (t) , α‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫) ‪(α + jω‬‬ ‫= ‪te−(α+jω)t dt‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫‪−αt −jωt‬‬ ‫‪e‬‬ ‫0‬ ‫= ) ‪X (jω‬‬ ‫‪te‬‬ ‫0‬ ‫אות זה אינו מוגבל סרט; ניתן לראות שהתמרתו אינה מתאפסת לכל ערכי ‪.ω‬‬ ‫תזכורת:‬ ‫אות מוגבל בזמן =⇐אינו מוגבל בסרט.‬ ‫אות מוגבל סרט =⇐אינו מוגבל בזמן.‬ ‫אות יכול להיות לא מוגבל הן בזמן והן בתדר.‬ ‫נחזור למקרה‬ ‫‪I‬‬ ‫־ דגימה בתדר גדול או שווה לתדר נייקוויסט‬ ‫אם ‪ fs ≥ 2fm‬נקבל שהשכפולים אינם חופפים, והתמרת פורייה של האות הדגום במקטע ] ‪[−π, π‬‬ ‫נתונה בביטוי:‬ ‫‪−π < θ ≤ π‬‬ ‫,‬ ‫‪jθ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫1‬ ‫‪X (jω ) |ω= θ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫המחשה:‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪X‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪X ejθ‬‬ ‫= ‪X ejθ‬‬ ‫מסקנה: התמרת פורייה של האות הדגום בקטע זה משמרת את צורת ההתמרה של האות‬ ‫המקורי עד כדי הכפלה או חילוק ב־ ‪ .T‬הצורה מחוץ למקטע ]‪ [−π, π‬מתקבלת ע"י הרחבה‬ ‫מחזורית ־ עובדה שנכונה תמיד אם מדובר באות בדיד.‬ ‫תדירות הדגימה המינימלית שמקיימת:‬ ‫1‬ ‫‪X (jω ) |ω= θ , −π<θ<π‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫היא ‪= 2fm‬‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪X ejθ‬‬ ‫= ‪ .fs‬תדירות זו נקראת ‪ Nyquist rate‬או ‪) critical rate‬משפט הדגימה ־ ‪Sampling‬‬ ‫‪ .(Theorem‬נזכור שכל הדיון הוא על אותות מוגבלי סרט.‬ ‫סיכום מקרה ‪:I‬‬ ‫אם נדגום אות מוגבל סרט בקצב השווה או גבוה מקצב נייקוויסט ) ‪ ,(2fm‬הצורה של התמרת‬ ‫פורייה של האות הבדיד במקטע ]‪ θ ∈ [−π, π‬תהיה זהה לצורת ההתמרה של האות המקורי,‬ ‫1‬ ‫למעט כפל ב־ ‪ T‬בציר התדר וכפל ב־ ‪ T‬בציר האמפליטודה.‬ ‫הקשר בין תדירויות באות בדיד ורציף: ‪ .θ = ωT = 2πf T‬הגודל ‪ θ‬מודד את מספר הרדיאנים‬ ‫לדגימה.‬ ‫דוגמה:‬ ‫נתון האות )‪ .x (t) = sinc (f0 t‬התמרת פורייה:‬ ‫1‬ ‫‪Π‬‬ ‫0‪f‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫0‪2πf‬‬ ‫= ) ‪X (jω‬‬ ‫קצב נייקוויסט יהיה אם כך:‬ ‫0‪ωs = 2πf‬‬ ‫0‪fs = f‬‬ ‫האות הדגום:‬ ‫]‪x [n] = sinc [n] = δ [n‬‬ ‫)חסרות כמה דקות ־ מדבר על ‪(Nyquist-T Signal‬‬ ‫דוגמה:‬ ‫נתון אות: )‪ .y (t) = sinc (f0 t‬נמצא התמרה:‬ ‫2‬ ‫0‪|ω | < 2πf‬‬ ‫| ‪|ω‬‬ ‫0‪2πf‬‬ ‫−1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫= ) ‪X (jω ) ∗ X (jω‬‬ ‫= ) ‪Y (jω‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫↑ ‪2π ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫0‪f‬‬ ‫0‬ ‫‪else‬‬ ‫})‪F {sinc(f0 t‬‬ ‫אם נדגום אות זה בתדירות 0‪:fs = 2f‬‬ ‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫2‬ ‫‪−π ≤ θ ≤ π‬‬ ‫2‪y [n] = sinc‬‬ ‫,‬ ‫| ‪|θ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫2‬ ‫− 1 2 = ‪Y ejθ‬‬ ‫מקרה ‪ II‬־ דגימה בתדר הנמוך מתדר נייקוויסט‬ ‫נקבל תחום שבו האות המקורי יישמר )איפה שאין חפיפה( ותחום שבו יהיה עיוות )חפיפה של‬ ‫שכפולים סמוכים(.‬ ‫3‬ ‫אם לדוגמה נדגום את האות הקודם )‪ y (t) = sinc2 (f0 t‬בתדירות ‪ ,fs = 2 fm‬נקבל תחום בו האות‬ ‫נשמר: ‪ ,θ ∈ − 2 π, 2 π‬ותחום בו מתקבל עיוות: ‪.|θ| ∈ 2 π, π‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫סיכום:‬ ‫אם אות מוגבל סרט נדגם בתדר הנמוך מתדר נייקוויסט ) ‪ ,(2fm‬הצורה של התמרת פורייה של‬ ‫האות הדגום בתחום ‪ −π ≤ θ ≤ π‬תהיה מעוותת ביחס להתמרת פורייה של האות המקורי. העיוות‬ ‫נקרא ‪.Aliasing‬‬ ‫דוגמה:‬ ‫נתון האות: ) 0‪x (t) = cos (2πf0 t − φ‬‬ ‫נדגום אות זה בתדר 0‪ fs = 2f‬ונשאל: האם נקבל ‪?aliasing‬‬ ‫אם נבחר 0 = 0‪ ,φ‬אז:‬ ‫‪n‬‬ ‫אם נבחר‬ ‫‪π‬‬ ‫2‬ ‫)1−( = )‪x [n] = cos (πn‬‬ ‫= 0‪ ,φ‬אז:‬ ‫0 = )‪x [n] = sin (πn‬‬ ‫מה הבעיה? אם נעשה ניתוח ספקטרלי לאות, נראה שיש לנו הלם ב־ ‪ ,ω = ±ωm‬כלומר האות‬ ‫אינסופי בדיוק בתדרים שבחרנו לדגום בהם. במקרה גבולי זה המשפט לא עובד, ועל כן יש‬ ‫לדרוש תדר דגימה גדול ממש מתדר נייקוויסט: 0‪.fs > 2f‬‬ ‫דוגמה‬ ‫נתון 1 < ‪ ,0 < α‬ונתון האות )‪ x (t‬שהתמרת פורייה שלו היא:‬ ‫1‪| ω | ≤ ω‬‬ ‫2‪ω1 < | ω | ≤ ω‬‬ ‫1‪|ω |−ω‬‬ ‫0‪2αf‬‬ ‫‪1 + cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‪ f‬‬ ‫0‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫0‪ 2f‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪‬‬ ‫2‪|ω | > ω‬‬ ‫3‬ ‫= ) ‪X (jω‬‬ ‫אם נדגום את האות בתדר 0‪ ,f‬נקבל חפיפה.‬ ‫הסיגנאל נקרא ‪ .raised cosine spectrum‬חפיפות של שני סיגנאלים כאלה נותנת קבוע בתחום‬ ‫החפיפה ) 01‪ f‬במקרה זה(.‬ ‫האות המתאים לספקטרום זה הוא )ללא הוכחה, ניתן לחשב(:‬ ‫)‪sin (πf0 t) cos (παf0 t‬‬ ‫2‬ ‫= )‪x (t‬‬ ‫)‪πf0 t 1 − (2αf0 t‬‬ ‫דגימה של האות:‬ ‫1 = ‪x [n] = δ [n] =⇒ X ejθ‬‬ ‫מקרה‬ ‫‪III‬‬ ‫־ אות שאינו מוגבל סרט‬ ‫נתון אות שהתמרתו:‬ ‫)גרף סימטרי שדועך באינסוף(‬ ‫התמרה: )גרף עם חפיפות(‬ ‫לרוב נרצה לדגום בתדר שגדול לפחות ב־ %01 מתדר נייקוויסט.‬ ‫)אילן ממלמל משהו על ‪ anti-aliasing lter‬בלי הרבה פירוט(‬ ‫דגימת ‪(ZOH) Zero Order Hold‬‬ ‫)‪p(t‬‬ ‫)‪↓ x (t‬‬ ‫‪s‬‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫→− ⊗ →−‬ ‫בפועל דגימה אינה ממומשת ע"י רכבת הלמים, זאת בשל כך שהלמים צרים וגבוהים באופן‬ ‫שלא ניתן למימוש מעשי. מערכת דגימה ממשית תדגום ותחזיק את ערך הדגימה למשך מחזור‬ ‫)‪ ,(T‬כלומר ־ ‪.Sample and Hold‬‬ ‫נתאר מערכת לדגימה ושחזור המבוססת על ‪:ZOH‬‬ ‫‪ZOH‬‬ ‫)‪x0 (t‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫0‪h‬‬ ‫)‪p(t‬‬ ‫)‪↓ x (t‬‬ ‫‪s‬‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫→− ⊗ → →−‬ ‫4‬ :xs (t) :x0 (t) ?ZOH ‫ שיניב‬h0 ‫מהו‬ h0 (t) = Π t − T/2 T :‫נחשב‬ ∞ xZOH (t) = x0 (t) = [x (t) · p (t)] ∗ h0 (t) = x (nT ) δ (t − nT ) ∗ Π n=−∞ ∞ x (nT ) δ (t − nT ) ∗ Π = n=−∞ 5 t − T/2 T t − T/2 T ∞ x (nT ) Π = n=−∞ = t − nT − T/2 T ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Ask a homework question - tutors are online