SP_Lecture3 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 3‬ ‫1102.8.11‬ ‫דגימת ‪ Zero Order Hold‬־ המשך‬ ‫תזכורת ־ מערכת לדגימה ושחזור המבוססת על ‪:ZOH‬‬ ‫‪ZOH‬‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫→‪H‬‬ ‫)‪x0 (t‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫0‪h‬‬ ‫)‪p(t‬‬ ‫)‪↓ x (t‬‬ ‫‪s‬‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫→− ⊗ → →−‬ ‫)‪:x0 (t‬‬ ‫ראינו ש־ 0‪ h‬שיניב ‪ ZOH‬כפי שאנו רוצים הוא:‬ ‫2/‪t − T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪h0 (t) = Π‬‬ ‫ואז:‬ ‫2/‪t − nT − T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫∞‬ ‫=‬ ‫‪x (nT ) Π‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫1‬ ‫)‪xZOH (t) = x0 (t‬‬ ‫כעת נחפש ‪ H‬שיניב שיחזור. נחשב את ) ‪:H0 (jω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫2/‪t − T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪= T e−jω 2 sinc‬‬ ‫‪−ωs < ω < ωs‬‬ ‫‪T‬‬ ‫, ‪∠H0 = −ω‬‬ ‫2‬ ‫‪H0 (jω ) = F‬‬ ‫‪Π‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪|H0 (jω )| = T sinc‬‬ ‫השכפולים בתדר גבוה מונחתים, והאות מוזז בפאזה לפי‬ ‫‪ωT‬‬ ‫2‬ ‫‪.e−j‬‬ ‫) ‪X0 (jω ) = Xs · H0 (jω‬‬ ‫כיצב נשחזר את ‪ x‬מתוך 0‪?x‬‬ ‫) ‪Xr (jω ) = H (jω ) · H0 (jω ) · Xs (jω ) = [H (jω ) · H0 (jω )] Xs (jω‬‬ ‫↑‬ ‫‪reconstructed‬‬ ‫מתוך דגימה ע"י רכבת הלמים, אנו יודעים שאם נבחר‬ ‫אידיאלי, ומכאן הדרישה ל־ ) ‪:H (jω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪Π‬‬ ‫‪sinc‬‬ ‫·‬ ‫‪jω T‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪H (jω ) = e‬‬ ‫‪ H0 (jω ) · H (jω ) = T Π‬נקבל שחזור‬ ‫למעשה, פונקציית ה־ ‪ Π‬מבטלת את השכפולים, בעוד ש־ 2 ‪ ejω‬וחלוקה ב־‬ ‫התיקון ב־ ‪.ZOH‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪ sinc‬הם גורמי‬ ‫באופן כללי, אפשר לעשות שחזור ע"י בחירת ‪ h‬כלשהי:‬ ‫∞‬ ‫) ‪x (nT ) h (t − nT‬‬ ‫= )‪xr (t‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫‪core function‬‬ ‫כאשר דיברנו על סדר 0, פונקציית הגרעין הייתה 2/ ‪ .h0 (t) = Π t−T‬אינטואיטיבית, עבור סדר 1‬ ‫)‪ (FOH‬הפונקצייה תהיה משולש, לאחר מכן פרבולה וכן הלאה. אם כך:‬ ‫‪T‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪h1 (t) = Λ‬‬ ‫∞‬ ‫‪x (nT ) · Λ‬‬ ‫= )‪xr (t‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫סדר ראשון ־ קיבלנו גרף רציף ולינארי למקוטעין. ככל שנעלה בסדר הדגימה נקבל פונקציה‬ ‫חלקה וקרובה יותר ויותר לפונקציה המקורית.‬ ‫שחזור אידיאלי‬ ‫הגענו למסקנה קודם ששחזור אידיאלי יתקבל ע"י‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪ ,Hr (jω ) = Π‬כלומר:‬ ‫‪t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ h (t) = sinc‬ואז:‬ ‫∞‬ ‫‪x (nT ) · sinc‬‬ ‫= )‪xr (t‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫כלומר לשחזור אידיאלי אנו נדרשים לאינסוף ערכים )לעומת אחד ב־ ‪ ,ZOH‬שניים ב־ ‪ FOH‬וכו'(.‬ ‫בכל קטע, כל אחד מהאלמנטים של הדגימה אינו אפס זהותית, ועל כן הסיגנאל בכל קטע‬ ‫מורכב מסכום של כל האלמנטים )אשר דועכים לאפס לפי ה־ ‪ ,sinc‬אך עדיין קיימים(.‬ ‫עד כה השתמשנו במסנן שחזור המוגדר בתדר. בפועל שחזור אות יתבצע בהינתן דגימותיו‬ ‫) ‪ .x (nT‬את בעיית השחזור ניתן להגדיר כהתאמה של אות רציף לדגימותיו, או אינטרפולציה של‬ ‫אות בין דגימותיו. ראינו:‬ ‫) ‪· Xs (jω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪Xr (jω ) = T Π‬‬ ‫3‬ ‫במישור הזמן נקבל קיפול )קונבולוציה(:‬ ‫∞‬ ‫∗‬ ‫= ) ‪x (nT ) · δ (t − nT‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪∗ F −1 {Xs (jω )} = sinc‬‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪= F −1 T Π‬‬ ‫)‪xr (t‬‬ ‫∞‬ ‫‪x (nT ) · sinc‬‬ ‫=‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫זהו משפט שנון לשחזור האות )‪:(WhittakerShannon interpolation formula‬‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫∞‬ ‫‪x [n] · sinc‬‬ ‫= )‪xr (t‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫מערכת עיבוד אות כללית‬ ‫‪CP U‬‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫)‪y (t‬‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫]‪x[n‬‬ ‫→ 2‪→ LP F1 → sample & hold → Q [ ] → Processing → ZOH reconstruction → LP F‬‬ ‫↑‬ ‫↑‬ ‫‪reconstruction lter‬‬ ‫‪Quantizer‬‬ ‫↑‬ ‫‪anti-aliasing lter‬‬ ‫• 1‪ LP F‬־ מונע ‪ .aliasing‬צריך להיות כזה שימנע מעבר תדרים גבוהים טוב ככל האפשר.‬ ‫• 2‪ LP F‬־ מנחית שכפולים‬ ‫• ‪ S &H‬־ דוגם‬ ‫• ‪ quantizer‬־ ממיר מערך אנלוגי לערך ספרתי אפשרי לפי מספר הסיביות הקיים לייצוג‬ ‫מספרים במעבד )‪ .(Analog to Digital‬לא נדון ברכיב זה במסגרת הקורס. המחשה‬ ‫לקוונטיזציה של אות:‬ ‫1‬ ‫• ‪ ZOH‬־ מייצר אות מדורג. יכול לכלול פונקציית תיקון )קודם ראינו ‪.( sinc‬‬ ‫אם דוגמים אות )‪ x (t‬מוגבל בזמן, אז הוא לא מוגבל בתדר, ולכן תמיד תתקבל שגיאה כלשהי.‬ ‫נדרוש כמובן שהשגיאה תהיה קטנה מספיק לצרכים שלנו.‬ ‫עד כה עסקנו בחומר הבסיסי על דגימה. מכאן נתחיל לעסוק בנושאים מעמיקים יותר, שפחות‬ ‫נפוצים בספרות:‬ ‫• דגימת אות‬ ‫‪Band-Pass‬‬ ‫• דגימה לא אחידה‬ ‫• דגימה מוכללת‬ ‫4‬ ‫דגימת אות ‪Bandpass‬‬ ‫אות ‪ Bandpass‬הוא אות מוגבל סרט, ללא אנרגיה סביב הראשית:‬ ‫2‪∀ |ω | ≤ ω1 , |ω | ≥ ω‬‬ ‫0 = ) ‪X (jω‬‬ ‫לפי מה שלמדנו, התנאי לדגימה של אות זה הוא 2‪ .ωs ≥ 2ω‬הבעיה היא שדגימה כזו אינה יעילה‬ ‫־ ניתן לדגום מתחת לתדר זה ועדיין לא נקבל ‪ .aliasing‬נחפש תנאי התלוי ברוחב הפס ולא‬ ‫בתדר המקסימלי:‬ ‫נניח שהתדר המקסימלי ) 2‪ (ω‬הוא כפולה שלמה של רוחב הסרט, כלומר‬ ‫‪L∈N‬‬ ‫, ) 1‪ω2 = L (ω2 − ω‬‬ ‫נדגום בתדר הכפול מרוחב הסרט:‬ ‫2‪ω‬‬ ‫‪L‬‬ ‫2 = ) 1‪ωs = 2 (ω2 − ω‬‬ ‫התקבל תדר דגימה הקטן פי ‪ L‬מתדר נייקוויסט.‬ ‫הספקטרום של האות הדגום יהיה:‬ ‫∞‬ ‫)) 1‪X (jω − jk 2 (ω2 − ω‬‬ ‫∞−=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫∞‬ ‫= ) ‪X (jω − jkωs‬‬ ‫∞−=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫= ) ‪Xs (jω‬‬ ‫יש לבחון האם מתקבלת חפיפה על מנת לוודא שאין לנו ‪ .aliasing‬כל שכפול אינו אפס בתחום:‬ ‫2‪ω1 < |ω − 2k (ω2 − ω1 )| < ω‬‬ ‫לצורך שחזור, או שניקח ‪ BPF‬או שניקח ‪ LPF‬ולשחזר את ה־ ‪.baseband‬‬ ‫מה נעשה אם ) 1‪?ω2 = L (ω2 − ‬‬ ‫נבחר 1‪ ω0 < ω‬כך ש־ ) 0‪ ,ω2 = L (ω2 − ω‬כלומר התדר הקטן מ־ 1‪ ω‬הגדול ביותר כך שהתדר‬ ‫המקסימלי יהיה כפולה שלמה של רוחב הפס המתוקן.‬ ‫דגימה לא אחידה‬ ‫לעיתים נדרשת דגימה לא אחידה, כלומר המרווח בין שתי דגימות אינו קבוע. דוגמה: תחנות‬ ‫למדידת מז"א שמפוזרות באופן לא אחיד גיאוגרפית.‬ ‫לצורך פישוט הטיפול בבעיה, נניח כי קיים לאות פירוק לטור פורייה )מחזורי( עם מספר סופי של‬ ‫מקדמים )מוגבל סרט(.‬ ‫נתון )‪ x (t‬אות מחזורי בעל מחזור ‪ .T‬יהיו ‪ ak‬מקדמי פורייה המקיימים:‬ ‫‪ak = 0 ∀ |k | > M‬‬ ‫5‬ ‫לכן נוכל לרשום:‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪M‬‬ ‫= 0‪ω‬‬ ‫, ‪ak ejkω0 t‬‬ ‫= )‪x (t‬‬ ‫‪k=−M‬‬ ‫נדגום אות זה ב־ ‪ N‬דגימות במחזור אחד, בזמנים ) ‪ .0 ≤ n ≤ N − 1 ,tn ∈ [0, T‬נוכל כעת לרשום:‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ak ejkω0 tn‬‬ ‫= ) ‪x (tn‬‬ ‫‪k=−M‬‬ ‫סכום זה מוביל אותנו ל־ ‪ N‬משוואות ־ נמשיך את הטיפול בהן בהרצאה הבאה.‬ ‫6‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/14/2012 for the course ELECTRICAL 361-1-3321 taught by Professor Dr.ilanshalom during the Summer '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online