SP_Lecture4 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 4‬ ‫1102.8.61‬ ‫דגימה לא אחידה ־ המשך‬ ‫תזכורת:‬ ‫לצורך פישוט הטיפול בבעיה, הנחנו שמדובר באותות עם פירוק לטור פורייה )מחזורי( עם מספר‬ ‫סופי של מקדמים )מוגבל סרט(.‬ ‫יהי אות )‪ x (t‬מחזורי בעל מחזור ‪ ,T‬עם מקדמי פורייה ‪ ak‬עבורם ‪∀ |k | > M‬‬ ‫במחזור בזמנים ) ‪ .0 ≤ n ≤ N − 1 ,tn ∈ [0, T‬נוכל כעת לרשום:‬ ‫0 = ‪ ,ak‬ו־ ‪N‬‬ ‫דגימות‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ak ejkω0 tn‬‬ ‫= ) ‪x (tn‬‬ ‫‪k=−M‬‬ ‫סכום זה מוביל אותנו ל־ ‪N‬‬ ‫משוואות.‬ ‫נפרט את מערכת המשוואות:‬ ‫0‪= a−M e−jM ω0 t0 + · · · + a+M ejM ω0 t‬‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫1− ‪= a−M e−jM ω0 tN −1 + · · · + a+M ejM ω0 tN‬‬ ‫קיבלנו מערכת של ‪N‬‬ ‫) 0‪x (t‬‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫1− ‪x tN‬‬ ‫משוואות עם 1 + ‪ 2M‬נעלמים ) ‪.(ak‬‬ ‫כיצד נוכל לשחזר את )‪ x (t‬מתוך דגימותיו ) ‪?x (tn‬‬ ‫ע"י פתרון מערכת משוואות ומציאת המקדמים ‪ ,a‬ותוך שימוש בדגימות ) ‪ ,x (tn‬נוכל לקבל פיתרון‬ ‫עבור )‪.x (t‬‬ ‫נגדיר כעת כמה דברים:‬ ‫וקטור דגימות האות באינטרוול ) ‪:[0, T‬‬ ‫) 1− ‪, x (tN‬‬ ‫...‬ ‫, ) 1‪x (t‬‬ ‫...‬ ‫, ) 0‪X (t‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫וקטור מקדמי טור פורייה בגודל 1 × ]1 + ‪:[2M‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪, aM‬‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫, 1+ ‪a−M‬‬ ‫, ‪a−M‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫מטריצת האקספוננטים )פורייה( בגודל ]1 + ‪:N × [2M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‪ejM ω0 t‬‬ ‫1‪ejM ω0 t‬‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫0‪ejω0 t‬‬ ‫1‪ejω0 t‬‬ ‫0 ‪ej‬‬ ‫0 ‪ej‬‬ ‫0‪e−jω0 t‬‬ ‫1‪e−jω0 t‬‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫0‪e−jM ω0 t‬‬ ‫1‪e−jM ω0 t‬‬ ‫1− ‪ejM ω0 tN‬‬ ‫...‬ ‫1− ‪ejω0 tN‬‬ ‫0 ‪ej‬‬ ‫1− ‪e−jω0 tN‬‬ ‫...‬ ‫1− ‪e−jM ω0 tN‬‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫1‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫בעזרת הגדרות אלו, נוכל לרשום ביתר קלות:‬ ‫‪X=F ·a‬‬ ‫נמשיך את הטיפול ע"י חלוקה למקרים.‬ ‫1.‬ ‫1 + ‪ ,N = 2M‬אז ‪ F‬מטריצה ריבועית.‬ ‫על מנת שיהיה לנו פיתרון יחיד למשוואה, נדרוש ש־ 0 > ) ‪ det (F‬או באופן שקול ‪Rank (F ) = N‬‬ ‫או ש־ ‪ F‬אינה סינגולרית.‬ ‫אז נוכל לרשום גם ‪.a = F −1 · x‬‬ ‫2. 1 + ‪ ,N < 2M‬אז יש לנו יותר נעלמים מאשר משוואות. במצב זה יהיו לנו אינסוף פתרונות.‬ ‫3. 1 + ‪ ,N > 2M‬אז יש יותר משוואות מנעלמים ־ בדר"כ אין פיתרון או פיתרון יחיד. אפשר‬ ‫למצוא פיתרון במובן של שגיאה ריבועית מינימלית, כלומר:‬ ‫‪a = F+ · X‬‬ ‫כאשר‬ ‫+ ‪ F‬נקראת ‪Pseudo-Inverse‬‬ ‫ומקיימת:‬ ‫‪· FH‬‬ ‫4.‬ ‫ניתן להציג את המטריצה ‪F‬‬ ‫1−‬ ‫‪F+ = FH · F‬‬ ‫כמטריצת ‪ .Vandermonde‬במקרה זה:‬ ‫) ‪(cn − cn‬‬ ‫= ) ‪det (F‬‬ ‫‪n>n‬‬ ‫כאשר ‪ ,cn = ejω0 tn ,Fnm = cm‬קרי 0 = ) ‪ det (F‬אם ‪ tn‬שונים זה מזה.‬ ‫‪n‬‬ ‫נכל אם כך להבטיח קיום פיתרון ע"י בחירה של נקודות דגימה שונות.‬ ‫משפט הדגימה המוכללת‬ ‫)‪Generalized‬‬ ‫ב־ 7791 פרסם פפוליס )‪ (Athanasios Papoulis‬מאמר ובו משפט הדגימה המוכללת‬ ‫‪ .(Sampling Theorem‬לפי המשפט, בתנאים מסויימים, ע"י הוספת אינפורמציה אודות אות נתון, ניתן‬ ‫לדגום אותו בתדר הקטן פי ‪ M‬מתדר נייקוויסט כך שניתן יהיה לשחזרו באופן מלא.‬ ‫)להרחבה, ראו 1=‪ ,http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=1084284&tag‬גישה רק דרך‬ ‫הרשת של האוניברסיטה(‬ ‫פירוט:‬ ‫יהי )‪ f (t‬אות מוגבל סרט כך שמתקיים:‬ ‫‪∀ |ω | ≥ σ‬‬ ‫,0 = ) ‪F (jω‬‬ ‫בנוסף, יהיו ‪ M‬מערכות לינאריות בעלות תגובות לתדר ) ‪ .m = 1 . . . M ,Hm (jω‬נכניס למערכות‬ ‫את )‪ ,f (t‬נסמן את מוצא המערכות ב־ )‪ gm (t‬כך ש־‬ ‫) ‪= Hm (jω ) · F (jω‬‬ ‫‪ˆσ‬‬ ‫1‬ ‫‪F (jω ) Hm (jω ) ejωt dω‬‬ ‫= )‪gm (t‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫) ‪Gm (jω‬‬ ‫‪−σ‬‬ ‫2‬ ‫‪ ,ωs = 2σ‬כלומר קטן פי ‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫את האות )‪ gm (t‬נדגום בתדר‬ ‫כעת נבנה מערכת משוואות באופן הבא:‬ ‫)1(‬ ‫מתדר נייקוויסט. זמן הדגימה:‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫)‪H1 (jω ) · Y1 (jω, t) + . . . HM (jω ) · YM (jω, t‬‬ ‫‪ejmωs t‬‬ ‫=‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫=‪T‬‬ ‫)‪H1 (j (ω + mωs )) · Y1 (jω, t) + . . . HM (j (ω + mωs )) · YM (jω, t‬‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫‪= ej (M −1)ωs t‬‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫)‪H1 (j (ω + (M − 1) ωs )) · Y1 (jω, t) + . . . HM (j (ω + (M − 1) ωs )) · YM (jω, t‬‬ ‫כאשר ) ‪.ω ∈ (−σ, −σ + ωs‬‬ ‫מערכת זו מגדירה ‪ M‬פונקציות חדשות )‪ Y1 (jω, t) , . . . , YM (jω, t‬של שני משתנים, אותן ניתן למצוא‬ ‫ע"י פיתרון המערכת.‬ ‫על מנת שיהיה פיתרון למערכת המשוואות )1( שקיבלנו, לא ניתן לבחור שרירותית כל סדרת‬ ‫מערכות ‪ ,Hm‬אלא יש לדרוש שהדטרמיננטה של המערכת תהיה שונה מ־ 0 לכל ‪ ω‬בקטע‬ ‫) ‪ .(−σ, −σ + ωs‬על מנת לקיים זאת, נדרוש:‬ ‫• )אי־תלות בין העמודות( ־ שהמערכות ‪ Hm‬יהיו ב"ת לכל תדר )שונות מהותית זו מזו(.‬ ‫אחרת, אם ‪ Hm = αHn‬עבור ‪ m, n‬כלשהם, למעשה זוג מערכות זה אינו מוסיף לנו מידע‬ ‫על האות ולא נוכל לפתור את המערכת כולה.‬ ‫• )אי־תלות בין השורות( ־ נדרוש אי־תלות בפסי התדר )?, אילן לא פירט כאן הרבה(.‬ ‫פפוליס הראה כי בהינתן הדגימות 1=‪ ,n ∈ Z ,{gm (nT )}M‬ובהיעזר במידע הנוסף המתקבל מפיתרון‬ ‫‪m‬‬ ‫המערכת עבור 1=‪ ,{Ym (jω, t)}M‬ניתן לשחזר את )‪ f (t‬ע"י הנוסחה:‬ ‫‪m‬‬ ‫)2(‬ ‫∞‬ ‫])‪[g1 (nT) · y1 (t − nT) + g2 (nT) · y2 (t − nT) + . . . gM (nT) · yM (t − nT‬‬ ‫= )‪f (t‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫כאשר:‬ ‫)3(‬ ‫‪−ˆ+ωs‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪m = 1...M‬‬ ‫‪Ym (ω, t) ejωt dω‬‬ ‫‪−σ‬‬ ‫1‬ ‫= )‪ym (t‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫)לשים לב: ‪ Ym‬אינן התמרות פורייה של ‪(!ym‬‬ ‫לפני שנוכיח פורמלית את המשפט, ניתן הסבר אינטואיטיבי )ללא פירוט חישוב ‪:(ym‬‬ ‫→‬ ‫) ‪p(t)= ∞ −∞ δ (t−nT‬‬ ‫=‪n‬‬ ‫↓ )‪g1 (t‬‬ ‫)‪H1 (jω ) → ⊗ → y1 (t‬‬ ‫→‬ ‫)‪p(t‬‬ ‫↓ )‪g2 (t‬‬ ‫ˆ‬ ‫)‪f (t‬‬ ‫→‪Σ‬‬ ‫→ )‪→ H2 (jω ) → ⊗ → y2 (t‬‬ ‫..‬ ‫.‬ ‫)‪p(t‬‬ ‫↓ )‪gM (t‬‬ ‫→ )‪→ ⊗ → yM (t‬‬ ‫)‪f (t‬‬ ‫→‬ ‫) ‪→ HM (jω‬‬ ‫נשים לב כי דגימת )‪ gm (t‬לקבלת ) ‪ gm (nT‬לא מקיימת תנאי דגימה ־ אנחנו הרי דוגמים בתדר‬ ‫הקטן פי ‪ M‬מתדר נייקוויסט.‬ ‫)חסר כאן עוד כמה מילים וגרף פשוט לגבי ‪ ,gm‬כנראה לא משהו חשוב מדי(‬ ‫3‬ ‫בכל תדר יופיעו בסך הכל ‪ M‬שכפולים )לא אינסוף!(. למעשה, אנו לוקחים ‪ M‬אותות, כל אחד‬ ‫עם ‪ M‬שכפולים, ומתוך זה אנו מנסים לחשב את האות ללא שכפוליו )כי בשחזור נרצה לקבל‬ ‫בסוף את האות ללא שכפולים(.‬ ‫הוכחת המשפט:‬ ‫לפי ההגדרות )1(, )2(, )3(, ובהתקיים התנאים הנוספים שפורטו לעיל, עבור כל תדר ‪ ω‬ניתן‬ ‫לרשום את המשוואה המטריצית הבאה:‬ ‫‪HY = e‬‬ ‫פתרון המשוואה יהיה ‪ ,Y = H −1 e‬זאת עבור כל התדרים ) ‪ ω ∈ (−σ, −σ + ωs‬כך שנוכל להרכיב‬ ‫את ‪ Y‬בכל התחום הדרוש.‬ ‫כעת, מכיוון ש־‬ ‫‪ejmωs (t+T ) = ejmωs t ejmωs T‬‬ ‫‪ej 2πm‬‬ ‫אזי )‪ Ym (jω, t‬מחזורי בזמן במחזור ‪ ,T‬ומתקיים ) ‪ .Ym (jω, t) = Ym (jω, t − nT‬נבצע הצבה ב־ )3(‬ ‫ונקבל:‬ ‫‪−ˆ+ωs‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪Ym (ω, t − nT ) ejωt e−jωnT dω‬‬ ‫‪−σ‬‬ ‫1‬ ‫= ‪dω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪−ˆ+ωs‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)) ‪j (ω (t−nT‬‬ ‫‪Ym (ω, t − nT ) e‬‬ ‫‪−σ‬‬ ‫1‬ ‫= ) ‪ym (t − nT‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫זהו אינטגרל טור פורייה )או ‪ ,(DTFT‬ומכאן ניתן להסיק ש־ ) ‪ ym (t − nT‬הוא המקדם ה־ ‪n‬‬ ‫לטור פורייה של ‪ Ym (ω, t) ejωt‬בקטע ) ‪ ,(−σ, −σ + ωs‬כלומר:‬ ‫בפיתוח‬ ‫∞‬ ‫)4(‬ ‫= ‪Ym (ω, t) ejωt‬‬ ‫‪ym (t − nT ) ejωnT‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫נכפול את השורה הראשונה במערכת )1( המקורית בגורם ‪ ,ejωt‬נציב את )4( ונקבל:‬ ‫)5(‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪yM (t − nT ) ejωnT‬‬ ‫· ) ‪y1 (t − nT ) ejωnT + · · · + HM (jω‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫· ) ‪ejωt = H1 (jω‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫לכל ) ‪.ω ∈ (−σ, −σ + ωs‬‬ ‫נחזור על התהליך עבור השורה השניה, ונקבל באופן דומה:‬ ‫∞‬ ‫‪yM (t − nT ) ej (ω+ωs )nT‬‬ ‫∞‬ ‫·)) ‪y1 (t − nT ) ej (ω+ωs )nT +· · ·+HM (j (ω + ωs‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫נחזור על התהליך ‪N‬‬ ‫·)) ‪ej (ω+ωs )t = H1 (j (ω + ωs‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫פעמים )עבור כל שורה(.‬ ‫לסיום ההוכחה נציב את )5( בנוסחה להתמרת פורייה הפוכה:‬ ‫‪ˆσ‬‬ ‫‪F (jω ) ejωt dω‬‬ ‫1‬ ‫= )‪f (t‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪−σ‬‬ ‫התוצאה הסופית )2( מתקבלת ע"י חישוב האינטגרל תוך שימוש בקשר כניסה מוצא:‬ ‫‪ˆσ‬‬ ‫‪F (jω ) Hm (jω ) ejωt dω‬‬ ‫‪−σ‬‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫= )‪gm (t‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫למשפט זה מספר שימושים. למשל, ניתן לתקן בעזרתו ‪ .aliasing‬כמו כן, לעיתים אנו מגיעים‬ ‫למצב שתדר הדגימה הנדרש גבוה מאוד, ולא ניתן להגיע לדוגם בקצב כזה. המשפט מאפשר‬ ‫לדגום בקצב איטי יותר וקל יותר למימוש.‬ ‫דוגמה:‬ ‫נתון האות )‪ f (t‬ונתון )‪ .f (t‬נבדוק האם נוכל לדגום אות זה במחצית תדר נייקוויסט. לשם כך‬ ‫נמצא 2‪ g1 , g2 , H1 , H‬מתאימים:‬ ‫1 = ) ‪=⇒ H1 (jω‬‬ ‫‪=⇒ H2 (jω ) = jω‬‬ ‫תדר דגימה: ‪= σ‬‬ ‫מערכת המשוואות:‬ ‫‪2σ‬‬ ‫2‬ ‫)‪g1 (t) = f (t‬‬ ‫)‪g2 (t) = f (t‬‬ ‫= ‪ωs‬‬ ‫1‬ ‫‪ejσt‬‬ ‫=‬ ‫1‪Y‬‬ ‫2‪Y‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪jω‬‬ ‫) ‪j (ω + σ‬‬ ‫נפתור:‬ ‫‪−ω‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫1‬ ‫‪jσ‬‬ ‫‪1+ ω‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫1‬ ‫‪− jσ‬‬ ‫‪j (ω + σ ) −jω‬‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪jσ‬‬ ‫1−‬ ‫‪jω‬‬ ‫) ‪j (ω + σ‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫נחשב את 1‪ Y‬ו־ 2‪:Y‬‬ ‫‪1 − ejσt‬‬ ‫1− ‪e‬‬ ‫‪jσt‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫+1‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪jσ‬‬ ‫‪−ω‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫1‬ ‫‪jσt‬‬ ‫1‬ ‫‪jσ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1+ ω‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫1‬ ‫‪− jσ‬‬ ‫=‬ ‫1‪Y‬‬ ‫2‪Y‬‬ ‫למציאת )‪ y1 (t‬ו־ )‪ y2 (t‬יש לפתור את האינטגרל )3(. נקבל כתוצאה:‬ ‫‪4 sin2 σt‬‬ ‫2‬ ‫‪σ2 t‬‬ ‫‪4 sin2 σt‬‬ ‫2‬ ‫2‪σ 2 t‬‬ ‫= )‪y2 (t‬‬ ‫= )‪y1 (t‬‬ ‫ולבסוף:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (nT )y1 (t − nT ) + f (nT )y2 (t − nT )‬‬ ‫↑‬ ‫↑‬ ‫) ‪g2 (nT‬‬ ‫) ‪g1 (nT‬‬ ‫∞‬ ‫= )‪f (t‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫דגימה באנליזה מתקדמת )פונקציונלית(‬ ‫תזכורת:‬ ‫יהיו )‪ f (x‬ו־ )‪ .x ∈ R ,g (x‬נגדיר מכפלה פנימית שלהן:‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫‪f (x) g ∗ (x) dx‬‬ ‫= ‪f, g‬‬ ‫∞−‬ ‫יהיו אוסף פונקציות )‪ Φn (x‬אורתוגונליות הפורשות את תת־המרחב ‪V‬‬ ‫הטלה )‪ (Projection‬של )‪ f (x‬על ‪ V‬תעשה ע"י תיאור ‪ f‬בעזרת ‪ ,Φn‬כלומר:‬ ‫ב־ )‪.L2 (R‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫) ‪c n Φn ( x‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫5‬ ‫↑‬ ‫‪projected‬‬ ‫את המקדמים נמצא ע"י הפעלת מכפלה פנימית:‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f , Φm‬‬ ‫‪cn Φn , Φm‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫מכאן, אם ‪ Φn‬אורתונורמליות, אזי: ‪cn = f , Φn‬‬ ‫,‪f‬‬ ‫ואם ‪ Φn‬אורתוגונליות, אזי: ‪cn = ΦnΦnn‬‬ ‫‪,Φ‬‬ ‫מה הקשר של כל זה לעיבוד אותות?‬ ‫נבחר‬ ‫‪t−nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪.n ∈ Z ,t ∈ R ,Φn (t) = sinc‬‬ ‫עבור פונקציות אלה, נבדוק:‬ ‫האם הפונקציות א"נ?‬ ‫איזה תת־מרחב הן פורשות?‬ ‫מה משמעות ההטלה של )‪ f (t‬על תת־מרחב זה?‬ ‫תשובות בפעם הבאה...‬ ‫6‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/14/2012 for the course ELECTRICAL 361-1-3321 taught by Professor Dr.ilanshalom during the Summer '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online