SP_Lecture5 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 5‬ ‫1102.8.81‬ ‫תזכורת: בסוף שיעור קודם הגדרנו מערכת פונקציות:‬ ‫‪t−nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪.n ∈ Z ,t ∈ R ,Φn (t) = sinc‬‬ ‫ושאלנו מספר שאלות:‬ ‫• האם הפונקציות א"נ?‬ ‫• איזה תת־מרחב הן פורשות?‬ ‫• מה משמעות ההטלה של )‪ f (t‬על תת־מרחב זה?‬ ‫אורתוגונליות:‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫‪τ −t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪· sinc‬‬ ‫‪t−τ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪sinc‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ ‪even‬‬ ‫‪t − mT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫↓‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫↑‬ ‫‪nT →τ‬‬ ‫∞−‬ ‫‪· sinc‬‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪sinc‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫=‬ ‫)‪Φn (t) , Φm (t‬‬ ‫∞−‬ ‫‪mt→τ‬‬ ‫‪τ −τ‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪= F −1 T · Π‬‬ ‫‪T ·Π‬‬ ‫= ‪e−jωτ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪τ −τ‬‬ ‫= )‪= T · sin (m − n‬‬ ‫‪e−jωτ = T sinc‬‬ ‫↑‬ ‫‪ωs‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪∗ sinc‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪sinc‬‬ ‫=‬ ‫‪= T · F −1 T · Π‬‬ ‫‪τ →nT‬‬ ‫‪τ →mT‬‬ ‫)‪T · δ (m − n‬‬ ‫=‬ ‫מסקנה: הפונקציות אכן אורתוגונליות.‬ ‫תת־המרחב:‬ ‫תת המרחב של פונקציות מוגבלות סרט‬ ‫‪ππ‬‬ ‫‪−T , T‬‬ ‫‪ππ‬‬ ‫,−‬ ‫‪TT‬‬ ‫∈ ‪ ,ω‬כלומר:‬ ‫2‪V ≡ L‬‬ ‫משמעות ההטלה:‬ ‫יהי ‪ f ∈ V‬מוגבל סרט. נרצה להציג את האות ע"י } ‪ {Φn‬אשר פורשות את המרחב באופן הבא:‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪cn sinc‬‬ ‫∞‬ ‫= )‪f (t‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫אך עפ"י שנון, ) ‪!cn = f (nT‬‬ ‫1‬ ‫נראה כי ‪ cn‬הן אכן הדגימות )עד כדי קבוע( ע"י הצבת נוסחת שנון במכפלה הפנימית:‬ ‫) ‪dt = T f (nT‬‬ ‫↑‬ ‫‪orthogonality‬‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪t − mT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫∞‬ ‫‪f (mT ) sinc‬‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫↑‬ ‫∞−=‪Shannon m‬‬ ‫∞−‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪f (t) sinc‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f , Φn‬‬ ‫∞−‬ ‫תרגיל:‬ ‫נתון כך ש־ ‪ ,f ∈ V‬כלומר ‪ f‬אינו מוגבל סרט. נרצה לחשב את מקדמי ההטלה של ‪ f‬על ‪.V‬‬ ‫/‬ ‫פיתרון מתמטי:‬ ‫נפתור את האינטגרל ‪ cn = f , Φn‬ונקבל ש־ ) ‪.cn = f (nT‬‬ ‫כיצד "נתקן" את הסיגנל כך שיהיה במרחב? ע"י שימוש ב־ ‪ .LPF‬נקבל:‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ωs‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪f (t) = F −1 F (jω ) · Π‬‬ ‫ˆ‬ ‫במקרה זה נקבל ) ‪cn = T · f (nT‬‬ ‫נבחר כעת פונקציית בסיס אחרת ־ חלון:‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪Φn = Π‬‬ ‫אורתוגונליות:‬ ‫)‪dt = T δ (n − m‬‬ ‫‪t − mT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪Π‬‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫‪Π‬‬ ‫∞−‬ ‫משמעות ההטלה:‬ ‫נטיל אות כלשהו )‪ f (t‬על תת־המרחב המוגדר ע"י )‪) Φn (t‬זהו תת המרחב של אותות מסוג‬ ‫מדרגות ברוחב ‪ .(T‬מהם המקדמים ‪?cn‬‬ ‫‪nT + T‬‬ ‫2‬ ‫ˆ‬ ‫‪f (t) dt‬‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪f (t) Π‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫= ‪f , Φn‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪cn‬‬ ‫∞−‬ ‫‪nT − T‬‬ ‫2‬ ‫קיבלו ש־ ‪ cn‬הוא הממוצע של הפונקציה )‪ f (t‬באינטרוול המתאים.‬ ‫)לשים לב ־ זה שונה מ־ ‪ !sample & hold‬שם דגמנו בנקודה כלשהי והחזקנו את הערך עד‬ ‫לדגימה הבאה, כאן עושים בכל קטע כזה ממוצע.(‬ ‫שחזור:‬ ‫בהינתן ‪ ,cn‬כיצד נשחזר את האות?‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= )‪f (t‬‬ ‫‪cn Π‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫דומה ל־ ‪.ZOH‬‬ ‫2‬ ‫פונקציות אחרות:‬ ‫מה יקרה אם נבחר‬ ‫‪t−nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪?Φn (t) = Λ‬‬ ‫פונקציות אלה אינן אורתוגונליות, והן פורשות מרחב של פונקציות רציפות ולינאריות למקוטעין.‬ ‫כלומר, אם נרשום:‬ ‫‪t − nT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= )‪f (t‬‬ ‫‪cn Λ‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫נוכל לקבל אך ורק פונקציות כמתואר לעיל )תחשבו על סדרת נקודות שכל שתיים סמוכות‬ ‫מחוברות בקו ישר(.‬ ‫דומה ל־ ‪.FOH‬‬ ‫התמרת פורייה דיסקרטית‬ ‫אנליזה ספקטרלית של אותות בדידים מקובלת ונוחה ביישומי מחשב ובמעבדים ייעודיים מטיפוס‬ ‫‪ .DSP‬ביצוע אנליזה ספקטרלית לאות בדיד ]‪ x [n‬דורשת התמרה של האות הבדיד לייצוג המתאים‬ ‫במישור התדר. נוכחנו לראות ש־ ‪) DTFT‬נסמנו ב־ ‪ (X (Ω) = X ejθ‬הוא הייצוג של הסדרה‬ ‫}]‪ .{x [n‬עם זאת, )‪ X (Ω‬הינה פונקציה רציפה בתדר, וייצוג מסוג זה אינו אפשרי לצורך ביצוע‬ ‫חישובים.‬ ‫נתבונן אם כך בדגימות של )‪ X (Ω‬המהווה התמרה של }]‪.{x [n‬‬ ‫הייצוג הדגום של )‪ X (Ω‬מוביל להתמרת ‪ ,DFT‬כאשר ה־ ‪DFT‬‬ ‫חישובית.‬ ‫נרצה לבחון את הקשר בין )‪ X (Ω‬הדגום לבין ה־‬ ‫הוא משהו הרבה יותר נוח מבחינה‬ ‫‪.DFT‬‬ ‫דגימת האות המותמר ושחזור האות הבדיד‬ ‫בהינתן סדרה ]‪ x [n‬לא מחזורית,‬ ‫∞‬ ‫‪x [n] e−j Ωn‬‬ ‫= )‪X (Ω‬‬ ‫)∗(‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫נדגום את )‪ X (Ω‬במרווחים שווים, שנסמנם ב־ ]‪ .δ Ω [rad‬מאחר ו־ )‪ X (Ω‬מחזורית ב־ ‪ ,2π‬מספיק‬ ‫לדגום את הפונקציה בקטע באורך ‪ .2π‬נבחר אם כך לדגום ב־ ‪ N‬דגימות במרווחים שווים‬ ‫בתחום ‪ ,0 ≤ Ω < 2π‬כלומר ‪.δ Ω = 2π‬‬ ‫‪N‬‬ ‫תחת בחירה זו, נרשום:‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫1 − ‪k = 0, 1, . . . , N‬‬ ‫,‬ ‫‪2πk‬‬ ‫‪Nn‬‬ ‫= ‪x [n] e−j Ωn‬‬ ‫‪x [n] e−j‬‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫3‬ ‫=‬ ‫∞−=‪n‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫סכום זה למעשה מפורק לסדרה אינסופית של סכומים:‬ ‫1− ‪2N‬‬ ‫= ··· +‬ ‫‪2πkn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x [n] e−j‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫+‬ ‫‪2πkn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x [ n ] e −j‬‬ ‫1−‬ ‫+‬ ‫‪2πkn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x [n] e−j‬‬ ‫‪n=−N‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫‪n=N‬‬ ‫+ ···‬ ‫=‬ ‫1− ‪lN +N‬‬ ‫‪2πkn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪x [n] e−j‬‬ ‫=‬ ‫‪n=lN‬‬ ‫∞−=‪l‬‬ ‫נחליף את האינדקס: ‪ n → n − lN‬ונשנה את סדר הסכימה, ונקבל:‬ ‫∞‬ ‫‪2πkn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1− N‬‬ ‫‪x [n − lN ] e−j‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫∞−=‪l‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫]‪xp [n‬‬ ‫התקבלה סדרה ]‪ xp [n‬שהיא ]‪ x [n‬עם מחזוריות ‪ .N‬אם כך, נוכל להציג את הסדרה בעזרת‬ ‫משוואת הסינתזה של ה־ ‪ .DFS‬נוכל לרשום:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1 − ‪n = 0, . . . , N‬‬ ‫,‬ ‫‪2πkn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ck e j‬‬ ‫= ]‪xp [n‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫עם מקדמי ‪ ,ck‬משוואת האנליזה:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1 − ‪k = 0, . . . , N‬‬ ‫,‬ ‫‪2πkn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪xp [n] e−j‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪ck‬‬ ‫)∗∗(‬ ‫מתוך )*( ו־ )**( נקבל:‬ ‫‪2π‬‬ ‫,‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1 − ‪k = 0, . . . , N‬‬ ‫1‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪ck‬‬ ‫ולכן:‬ ‫1 − ‪n = 0, . . . , N‬‬ ‫‪2πkn‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫, ‪k ej N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫= ]‪xp [n‬‬ ‫)∗ ∗ ∗(‬ ‫התקבל שחזור של סדרה מחזורית ]‪ xp [n‬מתוך דגימה של התמרת פורייה )‪.(DTFT) X (Ω‬‬ ‫4‬ Aliasing :‫ נקבל‬n ≥ L ‫אם‬ xp [n] 0 ≤ n ≤ N − 1 0 else x [n] = ‫ מתוך דגימותיו, כלומר‬X (Ω) ‫משמעות הדבר היא שניתן לקבל את הספקטרום הרציף של‬ N −1 .N ≥ L ‫ ע"י אינטרפולציה נניח כי‬X (Ω) ‫ . לקבלת‬X 2π k k=0 N :‫, נקבל‬x [n] = xp [n] |n=0,...,N −1 ‫מתוך )∗ ∗ ∗( ומאחר ו־‬ x [n] = 1 N N −1 X k=0 2πkn 2π k ej N N ‫נציב את הביטוי ב־‬ ∞ x [n] e−j Ωn X (Ω) = n=−∞ ∗∗ ∗∗ N −1 X (Ω) = k=0 1 N N −1 X k=0 2πkn 2π k ej N e−j Ωn = N N −1 X k=0 2π k N 1 N N −1 e−j (Ω− 2πk N )n k=0 shifted basic interpolation function :‫נגדיר‬ P (Ω) = 1 N N −1 e−j Ωn = k=0 1 sin 2 Ωn −j Ω(N −1) 1 1 − e−j Ωn 2 = e N 1 − e−j Ω N sin 1 Ω 2 5 ‫∗∗‬ ‫נבטא את ∗∗ בעזרת ההגדרה החדשה של )‪:P (Ω‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫−‪Ω‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪kP‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= )‪X (Ω‬‬ ‫‪X‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫נזכיר שמדובר בדגימה ללא ‪ ,aliasing‬עבור ‪ .N ≥ L‬נשים לב שלא קיבלנו כאן‬ ‫היינו מצפים.‬ ‫‪sinc‬‬ ‫כפי שאולי‬ ‫אבחנה:‬ ‫0=‪1 k‬‬ ‫1 − ‪0 k = 1, 2, . . . , N‬‬ ‫=‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪P‬‬ ‫לסיכום, נוסחת האינטרפולציה אותה קיבלנו נותנת ערכים דגומים מדוייקים בנקודות‬ ‫ובין הנקודות נקבל קומבינציה לינארית של הספקטרום המקורי.‬ ‫‪DFT‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪Nk‬‬ ‫= ‪,Ω‬‬ ‫־ תכונות והגדרות בסיסיות‬ ‫התמרת ‪ ,DTFT‬על אף חשיבותה התיאורטית, סובלת מחיסרון אחד משמעותי ־ במקרים רבים‬ ‫הא אינה נוחה לחישוב נומרי. בפרק ה־ ‪ DFT‬נלמד כלי נוסף לניתוח אותות ומערכות בזמן‬ ‫בדיד. הכלי נקרא ‪ DFT‬־ ‪ .Discrete Fourier Transform‬ייתרונה הגדול של התמרה זו הוא בקיומם‬ ‫של אלגוריתמים מהירים ויעילים לחישובה, אלגוריתמים הנקראים בשם הכולל "התמרת פורייה‬ ‫מהירה" ־ ‪.Fast Fourier Transform‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫−‪N‬‬ ‫תהי 10=‪ {x [n]}n‬סדרה סופית באורך ‪ ,N‬ממשית או קומפלקסית. נסמן ‪.WN = ej N‬‬ ‫התמרת פורייה הדיסקרטית של }]‪ {x [n‬היא הסדרה הקומפלקסית:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪0≤k≤N‬‬ ‫−‬ ‫, ‪x [n] WN kn‬‬ ‫= }]‪X [k ] = DF T {x [n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫נשים לב שבניגוד להתמרות אותן למדנו עד כה, ‪ DFT‬אינה פונקציה של משתנה רציף, אלא של‬ ‫משתנה המקבל ערכים שלמים בלבד. כלומר, ההתמרה היא סדרה.‬ ‫לעיתים נוח לחשוב על }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {X [k‬כעל וקטורים ממימד‬ ‫קומפלקסית ממימד ‪ .N × N‬נדגים זאת עבור 4 = ‪:N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫−‬ ‫]1[ ‪W4 3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫]2[ ‪W4 2 x‬‬ ‫−‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫1 4‪W‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫1 4‪W‬‬ ‫2−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫3 4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‪ ‬‬ ‫‪=‬‬ ‫1‪ ‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫−‬ ‫]1[ ‪W4 3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫]2[ ‪W4 6 x‬‬ ‫−‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫9 4‪W‬‬ ‫6‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫2−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫4 4‪W‬‬ ‫6−‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ועל‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫1−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫3−‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫כעל מטריצה‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫0‬ ‫4‪ X [1] W‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪ X [2] = W‬‬ ‫0‬ ‫]3[ ‪X‬‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/14/2012 for the course ELECTRICAL 361-1-3321 taught by Professor Dr.ilanshalom during the Summer '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online