SP_Lecture6 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 6‬ ‫1102.8.32‬ ‫תזכורת: בסוף שיעור קודם הגדרנו התמרת פורייה דיסקרטית )‪:(DFT‬‬ ‫−‪N‬‬ ‫תהי 10=‪ {x [n]}n‬סדרה סופית באורך ‪ ,N‬ממשית או קומפלקסית. נסמן‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪.W N = e j‬‬ ‫התמרת פורייה הדיסקרטית של }]‪ {x [n‬היא הסדרה )לא רציף!( הקומפלקסית:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫, ‪x [n] WN kn‬‬ ‫1− ‪0≤k≤N‬‬ ‫= }]‪X [k ] = DF T {x [n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫לעיתים נוח לחשוב על }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {X [k‬כעל וקטורים ממימד‬ ‫קומפלקסית ממימד ‪ .N × N‬נדגים זאת עבור 4 = ‪:N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫−‬ ‫]1[ ‪W4 3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫]2[ ‪W4 2 x‬‬ ‫−‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫1 4‪W‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫1 4‪W‬‬ ‫2−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫3 4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‪ ‬‬ ‫‪=‬‬ ‫1‪ ‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫2−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫4 4‪W‬‬ ‫6−‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫−‬ ‫]1[ ‪W4 3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫]2[ ‪W4 6 x‬‬ ‫−‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫9 4‪W‬‬ ‫ועל‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫1−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫3−‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫כעל מטריצה‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫0‬ ‫4‪ X [1] W‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪ X [2] W‬‬ ‫0‬ ‫]3[ ‪X‬‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫באופן כללי יותר נרשום:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫]1[ ‪x‬‬ ‫...‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫)1− ‪−(N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1 − ‪x [N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫...‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫)1− ‪WN (N −1)(N‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫0‪ W‬‬ ‫4‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫1−‬ ‫4‪W‬‬ ‫...‬ ‫−‬ ‫)1− ‪WN (N‬‬ ‫‪‬‬ ‫...‬ ‫0‬ ‫‪WN‬‬ ‫↑‬ ‫‪N‬‬ ‫אך כך, ה־ ‪ DFT‬של ‪N‬‬ ‫‪WN‬‬ ‫נקודות היא:‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= WN‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫תכונות של ‪WN‬‬ ‫‪ WN‬־ מטריצה אורתוגונלית, יוניטרית וההופכית שלה‬ ‫1‬ ‫∗‬ ‫‪NW‬‬ ‫הסבר / תזכורת אלגברה: נגדיר‬ ‫‪[A]ij‬‬ ‫‪= aij‬‬ ‫‪= aji‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫1‬ ‫‪AT‬‬ ‫...‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫]1[ ‪X‬‬ ‫...‬ ‫]1 − ‪X [N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫מטריצה הרמיטית מקיימת ∗‪= a‬‬ ‫‪ji‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪AH‬‬ ‫מטריצה ‪ N × N‬היא יוניטרית אם:‬ ‫‪A− 1 = AH‬‬ ‫כלומר מטריצה יוניטרית מקיימת:‬ ‫‪0 i=j‬‬ ‫‪1 i=j‬‬ ‫= ‪aH · aj‬‬ ‫‪i‬‬ ‫↑‬ ‫‪row/column vectors‬‬ ‫וכמסקנה ־ אורתונורמלית.‬ ‫דוגמה:‬ ‫חשב את ה־ ‪ DFT‬של הסדרה )3 ,1− ,2 ,1(.‬ ‫במקרה זה 4 = ‪ ,N‬ואז:‬ ‫−‬ ‫1− = ‪W4 2 = e−jπ‬‬ ‫‪= −j‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫4‬ ‫1 = 0‪e‬‬ ‫−‬ ‫‪W4 1 = e−j‬‬ ‫=‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪ej‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪=j‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫4‬ ‫כעת נחשב:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ 2+j ‬‬ ‫‪j 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = ··· = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −5 ‬‬ ‫‪−1 −1 ‬‬ ‫‪2−j‬‬ ‫3‬ ‫‪−j‬‬ ‫חלק גדול מתכונות ה־ ‪DFT‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫הגדרנו‬ ‫1‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫1 ‪ X [1] ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪ X [2] = ‬‬ ‫1‬ ‫]3[ ‪X‬‬ ‫1‬ ‫‪−j‬‬ ‫1−‬ ‫‪j‬‬ ‫נובע מהמשפט הבא, הנקרא גם תכונת האורתוגונליות של ‪:WN‬‬ ‫0 = ) ‪mod N‬‬ ‫0 = ) ‪mod N‬‬ ‫‪j 2π‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,‪N‬‬ ‫,0‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫= ‪WN‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫‪ ,WN = e‬לכן:‬ ‫עבור 0 = ) ‪ ,(n mod N‬מתקיים:‬ ‫0 = ) ‪mod N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪WN = 1 ⇐⇒ (n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫= ‪WN‬‬ ‫‪1=N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫כעת נניח 0 = ) ‪ ,(n mod N‬אזי:‬ ‫‪nN‬‬ ‫‪1 − WN‬‬ ‫1−1‬ ‫=‬ ‫0=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 − WN‬‬ ‫‪1 − WN‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 = WN‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫= ‪WN‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫השימוש הראשון שנעשה בתכונת האורתוגונליות הוא במציאת התמרת פורייה דיסקרטית הפוכה‬ ‫)‪:(Inverse DFT‬‬ ‫משפט:‬ ‫2‬ :‫, אזי‬X [k] = DF T {x [n]} ‫תהי‬ x [n] = N −1 1 N kn X (k ) WN k=0 :‫הוכחה‬ 1 N N −1 kn X (k ) WN = k=0 = 1 N 1 N N −1 N −1 kn mn WN = x [m] WN k=0 m=0 1 N N −1 N −1 k WN (n−m) = x [m] m=0 k=0 N −1 x [m] δ (n − m) = x [n] m=0 ‫הייצוג המטריצי של ההתמרה ההפוכה‬ :‫נקודות הוא‬ X = WN N x N ‫ של סדרה בת‬DFT ‫קיבלנו שה־‬ N .‫ ־ סימטרית‬WN ‫כאשר‬ :‫, נכפיל את שני אגפי המשוואה במטריצה הופכית זו, ואז‬W−1 ‫נניח קיום‬ N x (∗∗) = W −1 N N X N ‫ראינו‬ x [n] = 1 N N −1 kn X (k ) WN k=0 :‫נרשום בצורה מטריצית‬ (∗ ∗ ∗) x N 1 = W∗ NN X N :‫מתקבל השיוויון‬ 1∗ W = W −1 NN :‫ולסיום מתקבל הקשר‬ N IN = W∗ WN N :n = 4 ‫דוגמה להתמרה הפוכה‬ x [0] x [1] 1 x [2] = 4 x [3] 0 W4 0 W4 0 W4 0 W4 0 W4 1 W4 2 W4 3 W4 0 W4 2 W4 4 W4 6 W4 0 X [0] W4 3 W4 X [1] 6 W4 X [2] 9 W4 X [3] 1 1 1 = 4 1 1 1 1 W4 2 W4 3 W4 1 2 W4 1 2 W4 X [0] 1 3 W4 X [1] 2 W4 X [2] 1 W4 X [3] :‫ + 2 ,5( נקבל‬j, −5, 2 − j ) ‫עבור הסדרה‬ x [0] x [1] 1 x [2] = 4 x [3] 1 1 1 1 1 j −1 −j 1 −1 1 −1 1 5 −j 2 + j = ··· = −1 −5 j 2−j 3 1 2 −1 3 ‫תכונות של ה־ ‪DFT‬‬ ‫)עוד תכונות באדיבות ג'ימי וויילס ושות':‬ ‫‪http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Properties‬‬ ‫)1( לינאריות‬ ‫תהיינה }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬סדרות באורך‬ ‫(‬ ‫‪ N‬ו־ }]‪ {X [k‬ו־ }]‪ {Y [k‬ה־ ‪DFT‬‬ ‫שלהן בהתאמה, אזי:‬ ‫}] ‪DF T {a · x [n] + b · y [n]} = {aX [k ] + bY [k‬‬ ‫)2( התמרה של סדרה צמודה‬ ‫תהי }]‪ ,{X [k]} = DF T {x [n‬אזי:‬ ‫}) ‪DF T {x∗ [n]} = {X ∗ (N − k‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫∗‬ ‫] ‪= X ∗ [N − k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫(‬ ‫= ‪x∗ [n] WNN −k)n‬‬ ‫−‬ ‫‪x [n] WN (N −k)n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫= }]‪DF T {x∗ [n‬‬ ‫−‬ ‫= ‪x∗ [n] WN kn‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫)3( תהי }]‪ {x [n‬סדרה ממשית, נסמן את התמרתה באופן הבא:‬ ‫)‪X [k ] = Re {X [k ]} + jIm {X [k ]} = |X [k ]| ejϕ(k‬‬ ‫אזי, מתקיים:‬ ‫}] ‪Re {X [k ]} = Re {X [N − k‬‬ ‫1.3‬ ‫}] ‪Im {X [k ]} = −Im {X [N − k‬‬ ‫2.3‬ ‫|] ‪X [k ] = |X [N − k‬‬ ‫3.3‬ ‫] ‪ϕ [ k ] = −ϕ [ N − k‬‬ ‫4.3‬ ‫הקשר בין ‪ DFT‬והתמרת ‪Z‬‬ ‫תזכורת:‬ ‫התמרת ‪Z‬‬ ‫של סדרה }]‪ {x [n‬מוגדרת לפי:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪x [n] z −n‬‬ ‫= }]‪Z {x [n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫ברור אם כך כי ]‪ x [k‬מתקבלת ע"י הצבת‬ ‫‪2πk‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2πk‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ ,z = ej‬כלומר:‬ ‫| }]‪X [k ] = Z {x [n‬‬ ‫‪z =ej‬‬ ‫ניתן אם כן לפרש את ה־ ‪ DFT‬כדגימה של התמרת ‪ Z‬ב־ ‪N‬‬ ‫נקודות, מפולגות באופן אחיד על‬ ‫מעגל היחידה, החל מזווית 0.‬ ‫הנקודה המעניינת היא שהתמרת ‪ Z‬נקבעת באופן חד־משמעי בכל המישור המרוכב עפ"י ‪N‬‬ ‫הדגימות על מעגל היחידה.‬ ‫משפט:‬ ‫התמרת ‪ Z‬של סדרה סופית }]‪ {x [n‬ניתנת לביטוי כפונקציה של ה־ ‪ DFT‬הנתון בסדרה }] ‪{X [k‬‬ ‫באופן הבא:‬ ‫‪1 − z −N‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪1 − W N z‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫4‬ ‫= }]‪X (z ) = Z {x [n‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪ωN z‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪1 − ωN z‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪kN‬‬ ‫= ‪X [k ] ωN z −n‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪1 − z −N‬‬ ‫‪1 − z −N‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪1 − ωN z‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪x [n] z −n‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫‪kN‬‬ ‫‪1 − ω N z −N‬‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫1− ‪k z‬‬ ‫‪1 − ωN‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫}]‪Z {x [n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫אם נלך על מעגל היחידה נקבל התמרת פורייה של סדרה סופית כפונקציה של התמרת ה־‬ ‫‪ .(X [k]) DFT‬נציב אם כך ‪ z = ej Ω‬ונקבל:‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫)‪1 − e−j (Ω− N k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫‪1 − e−j ΩN‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ) ‪X (ω‬‬ ‫ניתן לראות שהביטוי שהתקבל מוכר:‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪1 1−e−j ΩN‬‬ ‫‪N 1−e−j Ω‬‬ ‫−‪Ω‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪kP‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= )‪X (Ω‬‬ ‫‪X‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫= )‪ P (Ω‬פונקציית האינטרפולציה הספרתית.‬ ‫התוצאה ־ קיבלנו שוב את המעבר ־ ]‪ X [k‬ל־ )‪.X (Ω‬‬ ‫↑‬ ‫↑‬ ‫‪DF T‬‬ ‫‪DT F T‬‬ ‫קונבולוציה מעגלית ־ ‪Circular convolution‬‬ ‫נגדיר הזזה מחזורית של סדרה סופית }]‪ {x [n‬בשיעור ‪ m‬כסדרה }] ‪mod N‬‬ ‫אורך הסדרה המוזזת הוא כאורך הסדרה המקורית.‬ ‫)‪ .{x [(n + m‬ברור כי‬ ‫)אילן מבזבז 01־5 דקות על דוגמה פשוטה ־ זה סתם הזזה מעגלית של האינדקסים של הסדרה‬ ‫מעל ‪(N‬‬ ‫תהיינה }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬סדרות באורך ‪ ,N‬נגדיר:‬ ‫] ‪mod N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫]‪w [n] = x [n] ∗ y [n‬‬ ‫) ‪x [k ] y [(n − k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫שיטה לביצוע:‬ ‫1. הצב את ]‪ x [n‬במעגל החיצוני, עם כיוון השעון.‬ ‫2. הצב את ]‪ y [n‬במעגל הפנימי, נגד כיוון השעון.‬ ‫3. ]0[ ‪ w‬יהיה סכום המכפלות: ]1 − ‪w [0] = x [0] · y [0] + . . . x [N − 1] · y [N‬‬ ‫4. נסובב את המעגל הפנימי צעד אחד עם כיוון השעון, ואז: ]0[ ‪w [1] = x [0] · y [1] + . . . x [N − 1] · y‬‬ ‫5. כך הלאה לכל ]‪w [n‬‬ ‫עבור )3 ,2 ,1− ,1( = ]‪ x [n‬ו־ )1 ,0 ,2− ,1−( = ]‪ y [n‬נקבל:‬ ‫3+2−2+0‬ ‫↓‬ ‫)6− ,3 ,1 ,8−( = ]‪w [n‬‬ ‫↑‬ ‫3−4−0+1−‬ ‫5‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/14/2012 for the course ELECTRICAL 361-1-3321 taught by Professor Dr.ilanshalom during the Summer '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online