{[ promptMessage ]}

Bookmark it

{[ promptMessage ]}

SP_Lecture6 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 6‬ ‫1102.8.32‬ ‫תזכורת: בסוף שיעור קודם הגדרנו התמרת פורייה דיסקרטית )‪:(DFT‬‬ ‫−‪N‬‬ ‫תהי 10=‪ {x [n]}n‬סדרה סופית באורך ‪ ,N‬ממשית או קומפלקסית. נסמן‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪.W N = e j‬‬ ‫התמרת פורייה הדיסקרטית של }]‪ {x [n‬היא הסדרה )לא רציף!( הקומפלקסית:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫, ‪x [n] WN kn‬‬ ‫1− ‪0≤k≤N‬‬ ‫= }]‪X [k ] = DF T {x [n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫לעיתים נוח לחשוב על }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {X [k‬כעל וקטורים ממימד‬ ‫קומפלקסית ממימד ‪ .N × N‬נדגים זאת עבור 4 = ‪:N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫−‬ ‫]1[ ‪W4 3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫]2[ ‪W4 2 x‬‬ ‫−‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫1 4‪W‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫−‬ ‫1 4‪W‬‬ ‫2−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫3 4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‪ ‬‬ ‫‪=‬‬ ‫1‪ ‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫2−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫4 4‪W‬‬ ‫6−‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫−‬ ‫]1[ ‪W4 3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫]2[ ‪W4 6 x‬‬ ‫−‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫9 4‪W‬‬ ‫ועל‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫1−‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫2 4‪W‬‬ ‫3−‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫כעל מטריצה‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫0‬ ‫4‪ X [1] W‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪ X [2] W‬‬ ‫0‬ ‫]3[ ‪X‬‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪‬‬ ‫באופן כללי יותר נרשום:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫]1[ ‪x‬‬ ‫...‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫)1− ‪−(N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1 − ‪x [N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫...‬ ‫4‪W‬‬ ‫−‬ ‫)1− ‪WN (N −1)(N‬‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫0‪ W‬‬ ‫4‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫1−‬ ‫4‪W‬‬ ‫...‬ ‫−‬ ‫)1− ‪WN (N‬‬ ‫‪‬‬ ‫...‬ ‫0‬ ‫‪WN‬‬ ‫↑‬ ‫‪N‬‬ ‫אך כך, ה־ ‪ DFT‬של ‪N‬‬ ‫‪WN‬‬ ‫נקודות היא:‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= WN‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫תכונות של ‪WN‬‬ ‫‪ WN‬־ מטריצה אורתוגונלית, יוניטרית וההופכית שלה‬ ‫1‬ ‫∗‬ ‫‪NW‬‬ ‫הסבר / תזכורת אלגברה: נגדיר‬ ‫‪[A]ij‬‬ ‫‪= aij‬‬ ‫‪= aji‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫1‬ ‫‪AT‬‬ ‫...‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫]1[ ‪X‬‬ ‫...‬ ‫]1 − ‪X [N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫מטריצה הרמיטית מקיימת ∗‪= a‬‬ ‫‪ji‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪AH‬‬ ‫מטריצה ‪ N × N‬היא יוניטרית אם:‬ ‫‪A− 1 = AH‬‬ ‫כלומר מטריצה יוניטרית מקיימת:‬ ‫‪0 i=j‬‬ ‫‪1 i=j‬‬ ‫= ‪aH · aj‬‬ ‫‪i‬‬ ‫↑‬ ‫‪row/column vectors‬‬ ‫וכמסקנה ־ אורתונורמלית.‬ ‫דוגמה:‬ ‫חשב את ה־ ‪ DFT‬של הסדרה )3 ,1− ,2 ,1(.‬ ‫במקרה זה 4 = ‪ ,N‬ואז:‬ ‫−‬ ‫1− = ‪W4 2 = e−jπ‬‬ ‫‪= −j‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫4‬ ‫1 = 0‪e‬‬ ‫−‬ ‫‪W4 1 = e−j‬‬ ‫=‬ ‫0‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪ej‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫4‪W‬‬ ‫‪=j‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫4‬ ‫כעת נחשב:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ 2+j ‬‬ ‫‪j 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = ··· = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −5 ‬‬ ‫‪−1 −1 ‬‬ ‫‪2−j‬‬ ‫3‬ ‫‪−j‬‬ ‫חלק גדול מתכונות ה־ ‪DFT‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫הגדרנו‬ ‫1‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫1 ‪ X [1] ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪ X [2] = ‬‬ ‫1‬ ‫]3[ ‪X‬‬ ‫1‬ ‫‪−j‬‬ ‫1−‬ ‫‪j‬‬ ‫נובע מהמשפט הבא, הנקרא גם תכונת האורתוגונליות של ‪:WN‬‬ ‫0 = ) ‪mod N‬‬ ‫0 = ) ‪mod N‬‬ ‫‪j 2π‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,‪N‬‬ ‫,0‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫= ‪WN‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫‪ ,WN = e‬לכן:‬ ‫עבור 0 = ) ‪ ,(n mod N‬מתקיים:‬ ‫0 = ) ‪mod N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪WN = 1 ⇐⇒ (n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫= ‪WN‬‬ ‫‪1=N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫כעת נניח 0 = ) ‪ ,(n mod N‬אזי:‬ ‫‪nN‬‬ ‫‪1 − WN‬‬ ‫1−1‬ ‫=‬ ‫0=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 − WN‬‬ ‫‪1 − WN‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 = WN‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫= ‪WN‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫השימוש הראשון שנעשה בתכונת האורתוגונליות הוא במציאת התמרת פורייה דיסקרטית הפוכה‬ ‫)‪:(Inverse DFT‬‬ ‫משפט:‬ ‫2‬ :‫, אזי‬X [k] = DF T {x [n]} ‫תהי‬ x [n] = N −1 1 N kn X (k ) WN k=0 :‫הוכחה‬ 1 N N −1 kn X (k ) WN = k=0 = 1 N 1 N N −1 N −1 kn mn WN = x [m] WN k=0 m=0 1 N N −1 N −1 k WN (n−m) = x [m] m=0 k=0 N −1 x [m] δ (n − m) = x [n] m=0 ‫הייצוג המטריצי של ההתמרה ההפוכה‬ :‫נקודות הוא‬ X = WN N x N ‫ של סדרה בת‬DFT ‫קיבלנו שה־‬ N .‫ ־ סימטרית‬WN ‫כאשר‬ :‫, נכפיל את שני אגפי המשוואה במטריצה הופכית זו, ואז‬W−1 ‫נניח קיום‬ N x (∗∗) = W −1 N N X N ‫ראינו‬ x [n] = 1 N N −1 kn X (k ) WN k=0 :‫נרשום בצורה מטריצית‬ (∗ ∗ ∗) x N 1 = W∗ NN X N :‫מתקבל השיוויון‬ 1∗ W = W −1 NN :‫ולסיום מתקבל הקשר‬ N IN = W∗ WN N :n = 4 ‫דוגמה להתמרה הפוכה‬ x [0] x [1] 1 x [2] = 4 x [3] 0 W4 0 W4 0 W4 0 W4 0 W4 1 W4 2 W4 3 W4 0 W4 2 W4 4 W4 6 W4 0 X [0] W4 3 W4 X [1] 6 W4 X [2] 9 W4 X [3] 1 1 1 = 4 1 1 1 1 W4 2 W4 3 W4 1 2 W4 1 2 W4 X [0] 1 3 W4 X [1] 2 W4 X [2] 1 W4 X [3] :‫ + 2 ,5( נקבל‬j, −5, 2 − j ) ‫עבור הסדרה‬ x [0] x [1] 1 x [2] = 4 x [3] 1 1 1 1 1 j −1 −j 1 −1 1 −1 1 5 −j 2 + j = ··· = −1 −5 j 2−j 3 1 2 −1 3 ‫תכונות של ה־ ‪DFT‬‬ ‫)עוד תכונות באדיבות ג'ימי וויילס ושות':‬ ‫‪http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Properties‬‬ ‫)1( לינאריות‬ ‫תהיינה }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬סדרות באורך‬ ‫(‬ ‫‪ N‬ו־ }]‪ {X [k‬ו־ }]‪ {Y [k‬ה־ ‪DFT‬‬ ‫שלהן בהתאמה, אזי:‬ ‫}] ‪DF T {a · x [n] + b · y [n]} = {aX [k ] + bY [k‬‬ ‫)2( התמרה של סדרה צמודה‬ ‫תהי }]‪ ,{X [k]} = DF T {x [n‬אזי:‬ ‫}) ‪DF T {x∗ [n]} = {X ∗ (N − k‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫∗‬ ‫] ‪= X ∗ [N − k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫(‬ ‫= ‪x∗ [n] WNN −k)n‬‬ ‫−‬ ‫‪x [n] WN (N −k)n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫= }]‪DF T {x∗ [n‬‬ ‫−‬ ‫= ‪x∗ [n] WN kn‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫)3( תהי }]‪ {x [n‬סדרה ממשית, נסמן את התמרתה באופן הבא:‬ ‫)‪X [k ] = Re {X [k ]} + jIm {X [k ]} = |X [k ]| ejϕ(k‬‬ ‫אזי, מתקיים:‬ ‫}] ‪Re {X [k ]} = Re {X [N − k‬‬ ‫1.3‬ ‫}] ‪Im {X [k ]} = −Im {X [N − k‬‬ ‫2.3‬ ‫|] ‪X [k ] = |X [N − k‬‬ ‫3.3‬ ‫] ‪ϕ [ k ] = −ϕ [ N − k‬‬ ‫4.3‬ ‫הקשר בין ‪ DFT‬והתמרת ‪Z‬‬ ‫תזכורת:‬ ‫התמרת ‪Z‬‬ ‫של סדרה }]‪ {x [n‬מוגדרת לפי:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪x [n] z −n‬‬ ‫= }]‪Z {x [n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫ברור אם כך כי ]‪ x [k‬מתקבלת ע"י הצבת‬ ‫‪2πk‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2πk‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ ,z = ej‬כלומר:‬ ‫| }]‪X [k ] = Z {x [n‬‬ ‫‪z =ej‬‬ ‫ניתן אם כן לפרש את ה־ ‪ DFT‬כדגימה של התמרת ‪ Z‬ב־ ‪N‬‬ ‫נקודות, מפולגות באופן אחיד על‬ ‫מעגל היחידה, החל מזווית 0.‬ ‫הנקודה המעניינת היא שהתמרת ‪ Z‬נקבעת באופן חד־משמעי בכל המישור המרוכב עפ"י ‪N‬‬ ‫הדגימות על מעגל היחידה.‬ ‫משפט:‬ ‫התמרת ‪ Z‬של סדרה סופית }]‪ {x [n‬ניתנת לביטוי כפונקציה של ה־ ‪ DFT‬הנתון בסדרה }] ‪{X [k‬‬ ‫באופן הבא:‬ ‫‪1 − z −N‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪1 − W N z‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫4‬ ‫= }]‪X (z ) = Z {x [n‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪ωN z‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪1 − ωN z‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪kN‬‬ ‫= ‪X [k ] ωN z −n‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪1 − z −N‬‬ ‫‪1 − z −N‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪1 − ωN z‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪x [n] z −n‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫‪kN‬‬ ‫‪1 − ω N z −N‬‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫1− ‪k z‬‬ ‫‪1 − ωN‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫}]‪Z {x [n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫אם נלך על מעגל היחידה נקבל התמרת פורייה של סדרה סופית כפונקציה של התמרת ה־‬ ‫‪ .(X [k]) DFT‬נציב אם כך ‪ z = ej Ω‬ונקבל:‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫)‪1 − e−j (Ω− N k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫‪1 − e−j ΩN‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ) ‪X (ω‬‬ ‫ניתן לראות שהביטוי שהתקבל מוכר:‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪1 1−e−j ΩN‬‬ ‫‪N 1−e−j Ω‬‬ ‫−‪Ω‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪kP‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= )‪X (Ω‬‬ ‫‪X‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫= )‪ P (Ω‬פונקציית האינטרפולציה הספרתית.‬ ‫התוצאה ־ קיבלנו שוב את המעבר ־ ]‪ X [k‬ל־ )‪.X (Ω‬‬ ‫↑‬ ‫↑‬ ‫‪DF T‬‬ ‫‪DT F T‬‬ ‫קונבולוציה מעגלית ־ ‪Circular convolution‬‬ ‫נגדיר הזזה מחזורית של סדרה סופית }]‪ {x [n‬בשיעור ‪ m‬כסדרה }] ‪mod N‬‬ ‫אורך הסדרה המוזזת הוא כאורך הסדרה המקורית.‬ ‫)‪ .{x [(n + m‬ברור כי‬ ‫)אילן מבזבז 01־5 דקות על דוגמה פשוטה ־ זה סתם הזזה מעגלית של האינדקסים של הסדרה‬ ‫מעל ‪(N‬‬ ‫תהיינה }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬סדרות באורך ‪ ,N‬נגדיר:‬ ‫] ‪mod N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫]‪w [n] = x [n] ∗ y [n‬‬ ‫) ‪x [k ] y [(n − k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫שיטה לביצוע:‬ ‫1. הצב את ]‪ x [n‬במעגל החיצוני, עם כיוון השעון.‬ ‫2. הצב את ]‪ y [n‬במעגל הפנימי, נגד כיוון השעון.‬ ‫3. ]0[ ‪ w‬יהיה סכום המכפלות: ]1 − ‪w [0] = x [0] · y [0] + . . . x [N − 1] · y [N‬‬ ‫4. נסובב את המעגל הפנימי צעד אחד עם כיוון השעון, ואז: ]0[ ‪w [1] = x [0] · y [1] + . . . x [N − 1] · y‬‬ ‫5. כך הלאה לכל ]‪w [n‬‬ ‫עבור )3 ,2 ,1− ,1( = ]‪ x [n‬ו־ )1 ,0 ,2− ,1−( = ]‪ y [n‬נקבל:‬ ‫3+2−2+0‬ ‫↓‬ ‫)6− ,3 ,1 ,8−( = ]‪w [n‬‬ ‫↑‬ ‫3−4−0+1−‬ ‫5‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern