SP_Lecture7 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 7‬ ‫1102.8.03‬ ‫קונבולוציה מעגלית ־ המשך‬

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 7‬ ‫1102.8.03‬ ‫קונבולוציה מעגלית ־ המשך‬ ‫הגדרנו בהרצאה הקודמת הזזה מחזורית של סדרה סופית }]‪ {x [n‬בשיעור‬ ‫‪m‬‬ ‫כסדרה }] ‪N‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫)‪.{x [(n + m‬‬ ‫לפי הגדרה זו הגדרנו קונבולוציה מעגלית: תהיינה }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬סדרות באורך ‪ ,N‬נגדיר:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫]‪N‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫) ‪x [k ] y [(n − k‬‬ ‫]‪w [n] = x [n‬‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫נראה כעת שיטה נוספת )לזו מההרצאה הקודמת( לביצוע הקונבולוציה:‬ ‫יהיו )3 ,2 ,1− ,1( = ]‪ x [n‬ו־ )1 ,0 ,2− ,1−( = ]‪ .y [n‬נרשום את ]‪ x [n‬ואת הרוטציות השונות של ]‪y [n‬‬ ‫בטבלה:‬ ‫3=‪k‬‬ ‫3‬ ‫2−‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫]‪w [n‬‬ ‫8− = 6 − 0 + 1 − 1− = ]0[ ‪w‬‬ ‫1 = 0 + 2 + 1 + 2− = ]1[ ‪w‬‬ ‫3 = 3 + 2 − 2 + 0 = ]2[ ‪w‬‬ ‫6− = 3 − 4 − 0 + 1 = ]3[ ‪w‬‬ ‫2=‪k‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫2−‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫2−‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1=‪k‬‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫2−‬ ‫0‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1=‪n‬‬ ‫2=‪n‬‬ ‫3=‪n‬‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫]4 ‪y [(n − k ) mod‬‬ ‫]‪ w [n‬מתקבל לאחר סכימת תוצאות ההכפלה של כל איבר ב־ ]‪ x [n‬באיבר המתאים בשורה‬ ‫ה־ ‪.n‬‬ ‫ניתן לייצג את פעולת הקונבולוציה המחזורית ע"י מטריצה במימד ‪ N × N‬הפועלת על וקטור‬ ‫בגודל ‪:N‬‬ ‫‪=Y ·x‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪w‬‬ ‫היא מטריצה המורכבת מהרוטציות של ]‪ y [n‬המקורי:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫]3[ ‪y‬‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]2 − ‪y [N − 1] y [N‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1 − ‪y [N‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫..‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫.‬ ‫...‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]3 − ‪y [N − 2] y [N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1 − ‪y [N‬‬ ‫נדגים:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫‪y [2] x [1] ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y [3] x [2] ‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫]3[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]3[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪w‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪ w [1] y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫]2[ ‪ w [2] y‬‬ ‫]3[ ‪w‬‬ ‫]3[ ‪y‬‬ :‫נציב את המספרים מהדוגמה הקודמת‬ −1 w [0] w [1] −2 w [2] = 0 1 w [3] 1 −1 −2 0 −8 1 = 3 −6 1 −2 0 −1 1 2 3 −1 0 1 −1 −2 ‫ בהקשר לקונבולוציה מעגלית‬DFT ‫תכונות‬ :‫הנוגעות להזזה ולקונבולוציה מחזורית הן התכונות הבאות‬ DFT ‫התכונות העיקריות של‬ ‫)1( הזזה מחזורית של סדרה‬ :‫, אזי‬X [k] = DF T {x [n]} ‫תהי‬ DF T {x [(n + m) mod km N ]} = WN X [k ] :‫הוכחה‬ N −1 N −1 DF T {x [(n + m) mod N ]} x [(n + m) = mod − N ] WN kn = N −1 km WN x [(n + m) mod − N ] WN k(n+m) = − km N ] WN k[(n+m) mod N ] = WN ↑ n=0 = mod n=0 n=0 = x [(n + m) l=(n+m) mod N −1 − x [l] WN kl = N l=0 km WN X [k ] ‫)2( התמרה של קונבולוציה מעגלית‬ :‫, אזי‬N ‫ ההתמרות של שתי סדרות באורך‬Y [k] = DF T {y [n]} ‫ ו־‬X [k] = DF T {x [n]} ‫תהיינה‬ DF T {x [n] y [n]} = X [k ] Y [k ] :‫הוכחה‬ N −1 DF T {x [n] y [n]} N −1 x [m] y [(n − m) n=0 − N ] WN kn = mod − − N ] WN km · WN k[(n−m) mod N ] = m=0 N −1 mod x [m] y [(n − m) = N −1 = n=0 m=0 N −1 N −1 N −1 − − x [m] y [l] WN km · WN kl = = l=0 m=0 N −1 − x [m] WN km m=0 − y [l] · WN kl = X [k ] Y [k ] l=0 ‫)3( התמרה של מכפלה‬ :‫, אזי‬N ‫ ההתמרות של שתי סדרות באורך‬Y [k] = DF T {y [n]} ‫ ו־‬X [k] = DF T {x [n]} ‫תהיינה‬ DF T {x [n] y [n]} = 2 1 X [k ] N Y [k ] ‫הוכחה:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫= ]‪N‬‬ ‫)‪X [m] Y [(n − m‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫0=‪m‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫= ‪y [l] WN (k−m)l‬‬ ‫−‬ ‫‪x [n] WN mn‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫1− ‪N −1 N‬‬ ‫−‬ ‫= ‪x [n] y [l] · N δ [l − n] · WN kl‬‬ ‫0=‪n=0 l‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫0=‪m‬‬ ‫1− ‪N −1 N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫(‬ ‫−‬ ‫= ‪WNl−n)m WN kl‬‬ ‫]‪x [n] y [l‬‬ ‫0=‪n=0 l‬‬ ‫0=‪m‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫] ‪Y [k‬‬ ‫1‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫}]‪x [n] y [n] WN kn = DF T {x [n] y [n‬‬ ‫=‬ ‫0=‪n‬‬ ‫אנו רואים, אם כן, כי הקונבולוציה המחזורית ממלאת עבור ה־ ‪ DFT‬את אותו תפקיד שמילאה‬ ‫הקונבולוציה הרגילה )לינארית( עבור התמרת פורייה רגילה. בהקשר זה עולה מיד השאלה:‬ ‫האם ניתן להשתמש ב־ ‪ DFT‬גם לביצוע קונבולוציה לינארית?‬ ‫התשובה היא חיובית, בתנאי שהסדרות בהן מדובר הן סופיות. נראה זאת:‬ ‫תהייה }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬סדרות באורך ‪ .N‬נגדיר שתי סדרות חדשות }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬באורך 1 − ‪2N‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫לפי:‬ ‫1 − ‪x [n] 0 ≤ n ≤ N‬‬ ‫0‬ ‫2 − ‪N ≤ n ≤ 2N‬‬ ‫=‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫˜‬ ‫1 − ‪y [n] 0 ≤ n ≤ N‬‬ ‫0‬ ‫2 − ‪N ≤ n ≤ 2N‬‬ ‫=‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫˜‬ ‫כעת נוכל לרשום:‬ ‫2− ‪2 N‬‬ ‫= ] ‪x [k ] y [2N − 1 + n − k‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫+ ] ‪x [k ] y [n − k‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫‪k=N‬‬ ‫2− ‪2N‬‬ ‫= ])1 − ‪(2N‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫) ‪x [k ] y [(n − k‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫0=‪k‬‬ ‫=‬ ‫0=‪k‬‬ ‫2− ‪2N‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫]‪ n − k ] = x [n] ∗ y [n‬‬ ‫+ ] ‪x [k ] y [n − k‬‬ ‫+ 1 − ‪x [k ] y N‬‬ ‫˜‬ ‫2[ ˜‬ ‫‬ ‫‪k=N‬‬ ‫‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫=‬ ‫0=‪k‬‬ ‫מסקנה: נתין לבצע את פעולת הקונבולוציה הלינארית ע"י:‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫] ‪x [n] ∗ y [n] = DF T −1 X [k ] Y [k‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫כאשר ]‪ X [k‬ו־ ]‪ Y [k‬הן ההתמרות של הסדרות }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬בהתאמה.‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫דוגמה:‬ ‫)3 ,2(‬ ‫=‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫)5 ,4− ,1(‬ ‫=‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫1=‪k‬‬ ‫3‬ ‫2 = ]0[ ‪w‬‬ ‫5− = 3 + 8− = ]1[ ‪w‬‬ ‫2− = 21 − 01 = ]2[ ‪w‬‬ ‫51 = ]3[ ‪w‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫4−‬ ‫5‬ 1‬ ‫4−‬ ‫0=‪k‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫4−‬ ‫5‬ ‫)51 ,2− ,5− ,2( = ]‪w [n‬‬ ‫3‬ ‫4−‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1=‪n‬‬ ‫2=‪n‬‬ ‫3=‪n‬‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫˜‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫˜‬ ‫)אילן מסביר את הדוגמה לעיל בעזרת מערכת ‪ LTI‬עם תגובה להלם )3 ,2( = ]‪ h [n‬ואות כניסה‬ ‫)5 ,4− ,1( = ]‪ .x [n‬דוגמה ארוכה עם הרבה גרפים ולא מעניינת במיוחד(‬ ‫חישוב בעזרת תכונות של קונבולוציה מעגלית‬ ‫)0 ,0 ,3 ,2( = ]‪x [n‬‬ ‫˜‬ ‫⇒‬ ‫)3 ,2( = ]‪x [n‬‬ ‫)0 ,5 ,4− ,1( = ]‪y [n‬‬ ‫˜‬ ‫⇒‬ ‫)5 ,4− ,1( = ]‪y [n‬‬ ‫˜‬ ‫) ‪= X [k ] = (5, 2 − 3j, −1, 2 + 3j‬‬ ‫) ‪˜ [k ] = (2, −4 + 4j, 10, −4 − 4j‬‬ ‫‪=Y‬‬ ‫})0 ,0 ,3 ,2({ ‪DF T‬‬ ‫})0 ,5 ,4− ,1({ ‪DF T‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫) ‪W [k ] = X [k ] Y [k ] = (10, 4 + 20j, −10, 4 − 20j‬‬ ‫]‪DF T −1 {W [k ]} = w [n] = (2, −5, −2, 15) = w [n‬‬ ‫˜‬ ‫משפט פרסבל )‪(Parseval s Theorem‬‬ ‫תהיינה }]‪ X [k] = DF T {x [n‬ו־ }]‪ Y [k] = DF T {y [n‬ההתמרות של שתי סדרות באורך ‪ ,N‬אזי‬ ‫מתקיים:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫] ‪X [k ] Y ∗ [k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1‬ ‫= ]‪x [n] y [n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫∗‬ ‫0=‪k‬‬ ‫וכמקרה פרטי:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ ‫|] ‪|X [k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫2‬ ‫= |]‪|x [n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫נבטא את המשוואה בצורה וקטורית:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1 − ‪y [N‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫]1[ ‪x‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]1 − ‪x [N‬‬ ‫‪1 ∗T‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪·X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫)1(‬ ‫‪WN x‬‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫)2(‬ ‫‪NI‬‬ ‫=‬ ‫‪∗T‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∗T‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪WN WN‬‬ ‫4‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תוך שימוש ב־ )1( ו־ )2( נוכל לרשום:‬ ‫‪= y∗ x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 ∗T ∗T‬‬ ‫‪WN · WN‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪· WN x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1 ∗T‬‬ ‫1‬ ‫‪Y‬‬ ‫=‪·X‬‬ ‫∗ ‪W∗ y‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪NI‬‬ ‫)אילן התחיל כאן לדבר על טרנספורמציה סימולטנית של שתי סדרות ממשיות ־ וחזר על זה‬ ‫בתחילת ההרצאה הבאה. אז דלגו הלאה להרצאה 8...(‬ ‫5‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/14/2012 for the course ELECTRICAL 361-1-3321 taught by Professor Dr.ilanshalom during the Summer '11 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online