{[ promptMessage ]}

Bookmark it

{[ promptMessage ]}

SP_Lecture7 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 7‬ ‫1102.8.03‬ ‫קונבולוציה מעגלית ־ המשך‬ ‫הגדרנו בהרצאה הקודמת הזזה מחזורית של סדרה סופית }]‪ {x [n‬בשיעור‬ ‫‪m‬‬ ‫כסדרה }] ‪N‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫)‪.{x [(n + m‬‬ ‫לפי הגדרה זו הגדרנו קונבולוציה מעגלית: תהיינה }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬סדרות באורך ‪ ,N‬נגדיר:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫]‪N‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫) ‪x [k ] y [(n − k‬‬ ‫]‪w [n] = x [n‬‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫נראה כעת שיטה נוספת )לזו מההרצאה הקודמת( לביצוע הקונבולוציה:‬ ‫יהיו )3 ,2 ,1− ,1( = ]‪ x [n‬ו־ )1 ,0 ,2− ,1−( = ]‪ .y [n‬נרשום את ]‪ x [n‬ואת הרוטציות השונות של ]‪y [n‬‬ ‫בטבלה:‬ ‫3=‪k‬‬ ‫3‬ ‫2−‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫]‪w [n‬‬ ‫8− = 6 − 0 + 1 − 1− = ]0[ ‪w‬‬ ‫1 = 0 + 2 + 1 + 2− = ]1[ ‪w‬‬ ‫3 = 3 + 2 − 2 + 0 = ]2[ ‪w‬‬ ‫6− = 3 − 4 − 0 + 1 = ]3[ ‪w‬‬ ‫2=‪k‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫2−‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫2−‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1=‪k‬‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫2−‬ ‫0‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1=‪n‬‬ ‫2=‪n‬‬ ‫3=‪n‬‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫]4 ‪y [(n − k ) mod‬‬ ‫]‪ w [n‬מתקבל לאחר סכימת תוצאות ההכפלה של כל איבר ב־ ]‪ x [n‬באיבר המתאים בשורה‬ ‫ה־ ‪.n‬‬ ‫ניתן לייצג את פעולת הקונבולוציה המחזורית ע"י מטריצה במימד ‪ N × N‬הפועלת על וקטור‬ ‫בגודל ‪:N‬‬ ‫‪=Y ·x‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪w‬‬ ‫היא מטריצה המורכבת מהרוטציות של ]‪ y [n‬המקורי:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫]3[ ‪y‬‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫...‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]2 − ‪y [N − 1] y [N‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1 − ‪y [N‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫..‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫.‬ ‫...‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]3 − ‪y [N − 2] y [N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1 − ‪y [N‬‬ ‫נדגים:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫‪y [2] x [1] ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y [3] x [2] ‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫]3[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]3[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪w‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪ w [1] y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫]2[ ‪ w [2] y‬‬ ‫]3[ ‪w‬‬ ‫]3[ ‪y‬‬ :‫נציב את המספרים מהדוגמה הקודמת‬ −1 w [0] w [1] −2 w [2] = 0 1 w [3] 1 −1 −2 0 −8 1 = 3 −6 1 −2 0 −1 1 2 3 −1 0 1 −1 −2 ‫ בהקשר לקונבולוציה מעגלית‬DFT ‫תכונות‬ :‫הנוגעות להזזה ולקונבולוציה מחזורית הן התכונות הבאות‬ DFT ‫התכונות העיקריות של‬ ‫)1( הזזה מחזורית של סדרה‬ :‫, אזי‬X [k] = DF T {x [n]} ‫תהי‬ DF T {x [(n + m) mod km N ]} = WN X [k ] :‫הוכחה‬ N −1 N −1 DF T {x [(n + m) mod N ]} x [(n + m) = mod − N ] WN kn = N −1 km WN x [(n + m) mod − N ] WN k(n+m) = − km N ] WN k[(n+m) mod N ] = WN ↑ n=0 = mod n=0 n=0 = x [(n + m) l=(n+m) mod N −1 − x [l] WN kl = N l=0 km WN X [k ] ‫)2( התמרה של קונבולוציה מעגלית‬ :‫, אזי‬N ‫ ההתמרות של שתי סדרות באורך‬Y [k] = DF T {y [n]} ‫ ו־‬X [k] = DF T {x [n]} ‫תהיינה‬ DF T {x [n] y [n]} = X [k ] Y [k ] :‫הוכחה‬ N −1 DF T {x [n] y [n]} N −1 x [m] y [(n − m) n=0 − N ] WN kn = mod − − N ] WN km · WN k[(n−m) mod N ] = m=0 N −1 mod x [m] y [(n − m) = N −1 = n=0 m=0 N −1 N −1 N −1 − − x [m] y [l] WN km · WN kl = = l=0 m=0 N −1 − x [m] WN km m=0 − y [l] · WN kl = X [k ] Y [k ] l=0 ‫)3( התמרה של מכפלה‬ :‫, אזי‬N ‫ ההתמרות של שתי סדרות באורך‬Y [k] = DF T {y [n]} ‫ ו־‬X [k] = DF T {x [n]} ‫תהיינה‬ DF T {x [n] y [n]} = 2 1 X [k ] N Y [k ] ‫הוכחה:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫= ]‪N‬‬ ‫)‪X [m] Y [(n − m‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫0=‪m‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫= ‪y [l] WN (k−m)l‬‬ ‫−‬ ‫‪x [n] WN mn‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫1− ‪N −1 N‬‬ ‫−‬ ‫= ‪x [n] y [l] · N δ [l − n] · WN kl‬‬ ‫0=‪n=0 l‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫0=‪m‬‬ ‫1− ‪N −1 N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫(‬ ‫−‬ ‫= ‪WNl−n)m WN kl‬‬ ‫]‪x [n] y [l‬‬ ‫0=‪n=0 l‬‬ ‫0=‪m‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫] ‪Y [k‬‬ ‫1‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫}]‪x [n] y [n] WN kn = DF T {x [n] y [n‬‬ ‫=‬ ‫0=‪n‬‬ ‫אנו רואים, אם כן, כי הקונבולוציה המחזורית ממלאת עבור ה־ ‪ DFT‬את אותו תפקיד שמילאה‬ ‫הקונבולוציה הרגילה )לינארית( עבור התמרת פורייה רגילה. בהקשר זה עולה מיד השאלה:‬ ‫האם ניתן להשתמש ב־ ‪ DFT‬גם לביצוע קונבולוציה לינארית?‬ ‫התשובה היא חיובית, בתנאי שהסדרות בהן מדובר הן סופיות. נראה זאת:‬ ‫תהייה }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬סדרות באורך ‪ .N‬נגדיר שתי סדרות חדשות }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬באורך 1 − ‪2N‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫לפי:‬ ‫1 − ‪x [n] 0 ≤ n ≤ N‬‬ ‫0‬ ‫2 − ‪N ≤ n ≤ 2N‬‬ ‫=‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫˜‬ ‫1 − ‪y [n] 0 ≤ n ≤ N‬‬ ‫0‬ ‫2 − ‪N ≤ n ≤ 2N‬‬ ‫=‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫˜‬ ‫כעת נוכל לרשום:‬ ‫2− ‪2 N‬‬ ‫= ] ‪x [k ] y [2N − 1 + n − k‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫+ ] ‪x [k ] y [n − k‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫‪k=N‬‬ ‫2− ‪2N‬‬ ‫= ])1 − ‪(2N‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫) ‪x [k ] y [(n − k‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫0=‪k‬‬ ‫=‬ ‫0=‪k‬‬ ‫2− ‪2N‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫]‪ n − k ] = x [n] ∗ y [n‬‬ ‫+ ] ‪x [k ] y [n − k‬‬ ‫+ 1 − ‪x [k ] y N‬‬ ‫˜‬ ‫2[ ˜‬ ‫‬ ‫‪k=N‬‬ ‫‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫=‬ ‫0=‪k‬‬ ‫מסקנה: נתין לבצע את פעולת הקונבולוציה הלינארית ע"י:‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫] ‪x [n] ∗ y [n] = DF T −1 X [k ] Y [k‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫כאשר ]‪ X [k‬ו־ ]‪ Y [k‬הן ההתמרות של הסדרות }]‪ {x [n‬ו־ }]‪ {y [n‬בהתאמה.‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫דוגמה:‬ ‫)3 ,2(‬ ‫=‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫)5 ,4− ,1(‬ ‫=‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫1=‪k‬‬ ‫3‬ ‫2 = ]0[ ‪w‬‬ ‫5− = 3 + 8− = ]1[ ‪w‬‬ ‫2− = 21 − 01 = ]2[ ‪w‬‬ ‫51 = ]3[ ‪w‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫4−‬ ‫5‬ 1‬ ‫4−‬ ‫0=‪k‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫4−‬ ‫5‬ ‫)51 ,2− ,5− ,2( = ]‪w [n‬‬ ‫3‬ ‫4−‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1=‪n‬‬ ‫2=‪n‬‬ ‫3=‪n‬‬ ‫]‪y [n‬‬ ‫˜‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫˜‬ ‫)אילן מסביר את הדוגמה לעיל בעזרת מערכת ‪ LTI‬עם תגובה להלם )3 ,2( = ]‪ h [n‬ואות כניסה‬ ‫)5 ,4− ,1( = ]‪ .x [n‬דוגמה ארוכה עם הרבה גרפים ולא מעניינת במיוחד(‬ ‫חישוב בעזרת תכונות של קונבולוציה מעגלית‬ ‫)0 ,0 ,3 ,2( = ]‪x [n‬‬ ‫˜‬ ‫⇒‬ ‫)3 ,2( = ]‪x [n‬‬ ‫)0 ,5 ,4− ,1( = ]‪y [n‬‬ ‫˜‬ ‫⇒‬ ‫)5 ,4− ,1( = ]‪y [n‬‬ ‫˜‬ ‫) ‪= X [k ] = (5, 2 − 3j, −1, 2 + 3j‬‬ ‫) ‪˜ [k ] = (2, −4 + 4j, 10, −4 − 4j‬‬ ‫‪=Y‬‬ ‫})0 ,0 ,3 ,2({ ‪DF T‬‬ ‫})0 ,5 ,4− ,1({ ‪DF T‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫) ‪W [k ] = X [k ] Y [k ] = (10, 4 + 20j, −10, 4 − 20j‬‬ ‫]‪DF T −1 {W [k ]} = w [n] = (2, −5, −2, 15) = w [n‬‬ ‫˜‬ ‫משפט פרסבל )‪(Parseval s Theorem‬‬ ‫תהיינה }]‪ X [k] = DF T {x [n‬ו־ }]‪ Y [k] = DF T {y [n‬ההתמרות של שתי סדרות באורך ‪ ,N‬אזי‬ ‫מתקיים:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫] ‪X [k ] Y ∗ [k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1‬ ‫= ]‪x [n] y [n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫∗‬ ‫0=‪k‬‬ ‫וכמקרה פרטי:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ ‫|] ‪|X [k‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫2‬ ‫= |]‪|x [n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫נבטא את המשוואה בצורה וקטורית:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1 − ‪y [N‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫]1[ ‪x‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]1 − ‪x [N‬‬ ‫‪1 ∗T‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪·X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫)1(‬ ‫‪WN x‬‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫)2(‬ ‫‪NI‬‬ ‫=‬ ‫‪∗T‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∗T‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪WN WN‬‬ ‫4‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תוך שימוש ב־ )1( ו־ )2( נוכל לרשום:‬ ‫‪= y∗ x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 ∗T ∗T‬‬ ‫‪WN · WN‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪· WN x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1 ∗T‬‬ ‫1‬ ‫‪Y‬‬ ‫=‪·X‬‬ ‫∗ ‪W∗ y‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪NI‬‬ ‫)אילן התחיל כאן לדבר על טרנספורמציה סימולטנית של שתי סדרות ממשיות ־ וחזר על זה‬ ‫בתחילת ההרצאה הבאה. אז דלגו הלאה להרצאה 8...(‬ ‫5‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern