SP_Lecture8 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 8‬ ‫1102.9.1‬ ‫טרנספורמציה סימולטנית של שתי סדרות ממשיות‬ ‫התחלנו את ההגדרות בהרצאה הקודמת:‬ ‫נתונות הסדרות }]‪ {x1 [n‬ו־ }]‪ {x2 [n‬ממשיות באורך ‪ N‬כ"א. מתוך תכונות 4 − 1 )סדרות ממשיות(:‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫] ‪= X1 [k ] = X1 [−k ] = X1 [n − k‬‬ ‫}]‪DF T {x1 [n‬‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫] ‪= X2 [k ] = X2 [−k ] = X2 [n − k‬‬ ‫}]‪DF T {x2 [n‬‬ ‫ניצור סדרה קומפלקסית חדשה:‬ ‫]‪y [n] = x1 [n] + jx2 [n‬‬ ‫מתוך תכונות הלינאריות נובע:‬ ‫] ‪Y [k ] = DF T {y [n]} = X1 [k ] + jX2 [k‬‬ ‫כאשר }]‪ {X1 [k‬ו־ }]‪ {X2 [k‬הן סדרות קומפלקסיות.‬ ‫מכיוון ש־ ]‪ x1 [n‬ו־ ]‪ x2 [n‬ממשיות אזי:‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫] ‪Y ∗ [−k ] = X1 [−k ] − jX2 [−k ] = X1 [k ] − jX2 [k‬‬ ‫נקבל אם כך:‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫]] ‪[Y [k ] + Y ∗ [−k ]] = [Y [k ] + Y ∗ [N − k‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫∗‬ ‫= ]] ‪[Y [k ] − Y [−k‬‬ ‫]] ‪[Y [k ] − Y ∗ [N − k‬‬ ‫‪2j‬‬ ‫‪2j‬‬ ‫=‬ ‫] ‪X1 [k‬‬ ‫=‬ ‫] ‪X2 [k‬‬ ‫למעשה, הצלחנו לחלץ באמצעות פעולות יחסית פשוטות מאוד את ההתמרה של שתי הסדרות‬ ‫המקוריות, זאת כאשר בדרך נאלצנו לבצע רק התמרה אחת.‬ ‫טרנספורמציה של סדרה ממשית באורך ‪ 2N‬בעזרת ‪ DFT‬בגודל ‪N‬‬ ‫משפט עזר‬ ‫נתונה סדרה )קומפלקסית במקרה הכללי(:‬ ‫1− ‪2N‬‬ ‫0=‪{x [n]}n‬‬ ‫. נגדיר:‬ ‫]‪x [2p‬‬ ‫]1 + ‪= x [2p‬‬ ‫1 − ‪p = 0, . . . , N‬‬ ‫]‪h [p‬‬ ‫]‪g [p‬‬ ‫כאשר }]‪ H [k] = DF T {h [n‬ו־ }]‪ .G [k] = DF T {g [n‬אזי, מתקיים:‬ ‫‪πk‬‬ ‫] ‪X [k ] = H [k ] + e−j N G [k‬‬ ‫1‬ ‫הוכחה:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫= ‪x [2p + 1] · W2N(2p+1)k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫+ ‪x [2p] · W2N2pk‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1− ‪2N‬‬ ‫−‬ ‫= ‪x [n] · W2Nnk‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪2π 2pk‬‬ ‫‪2N‬‬ ‫‪πk‬‬ ‫] ‪= H [k ] + e−j N G [k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪2πk‬‬ ‫‪+e−j 2N‬‬ ‫‪g [p] · e−j‬‬ ‫‪2π 2pk‬‬ ‫‪2N‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫−‬ ‫‪WN pk‬‬ ‫=‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫‪h [p] · e−j‬‬ ‫−‬ ‫‪WN pk‬‬ ‫=‬ ‫0=‪n‬‬ ‫נשים לב: הסדרות ]‪ H [k‬ו־ ]‪ G [k‬מחזוריות ב־ ‪ ,N‬אך ]‪ X [k‬עדיין מחזורית ב־ ‪ 2N‬בגלל האקספוננט.‬ ‫2‬ ‫כעת נשתמש במשפט עבור סדרה 1− ‪ {x [n]}nN‬ממשית. נגדיר סדרה קומפלקסית בעלת ‪N‬‬ ‫0=‬ ‫איברים:‬ ‫]‪= h [p] + jg [p‬‬ ‫1− ‪p=0,...,N‬‬ ‫] ‪= Y [k ] = H [k ] + jG [k‬‬ ‫] ‪Y ∗ [−k ] = H [k ] − jG [k‬‬ ‫]‪y [p‬‬ ‫}]‪DF T {y [n‬‬ ‫מכיוון שבמקרה זה ]‪ h [n‬ו־ ]‪ g [n‬ממשיות, ניתן לחשב את ]‪ H [k‬ו־ ]‪ G [k‬עפ"י התוצאות שקיבלנו‬ ‫במקרה של טרנספורמציה סימולטנית של שתי סדרות, כלומר:‬ ‫1‬ ‫]] ‪[Y [k ] + Y ∗ [N − k‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫]] ‪[Y [k ] − Y ∗ [N − k‬‬ ‫‪2j‬‬ ‫=‬ ‫] ‪H [k‬‬ ‫=‬ ‫] ‪G [k‬‬ ‫כעת נחשב את ]‪ X [k‬לפי משפט העזר:‬ ‫] ‪G [k‬‬ ‫1− ‪k=0,...2N‬‬ ‫‪πk‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X [k ] = H [k ] + e−j‬‬ ‫התמרת פורייה מהירה ־ ‪Fast Fourier Transform‬‬ ‫בשנת 5691 מציאו ‪ Cooley & Tukey‬אלגוריתם יעיל לחישוב ה־ ‪ .DFT‬המצאה זו הייתה למעשה‬ ‫פריצת דרך בתחום של עיבוד ספרתי של אותות, ומהווה את אלגוריתם ה־ ‪ FFT‬הנפוץ ביותר‬ ‫כיום.‬ ‫הרעיון המרכזי של האלגוריתם:‬ ‫בהינתן סדרה באורך ‪ ,N‬ניתן לפרקה באופן הבא:‬ ‫‪p‬‬ ‫= ‪N = r1 · r2 · · · rp‬‬ ‫‪ri‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫אם כך, ניתן לחשב את ה־ ‪ DFT‬של וקטור באורך ‪ N‬ע"י חישוב של ‪ p‬התמרות באורכים ‪.ri‬‬ ‫פירוק זה מפחית את כמות החישובים הנדרשים באופן משמעותי ־ מ־ 2‪ O n‬ל־ )‪ ,O (n log n‬מה‬ ‫שהופך את החישוב לפרקטי עבור ערכי ‪ n‬גדולים.‬ ‫המחשה עבור ‪:WN ×N‬‬ ‫1 ‪row/column of‬‬ ‫2‪ n‬מכפלות קומפלקסיות ⇐ )1 − ‪4 (n − 1) ⇐ (n‬‬ ‫↓‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫↑‬ ‫‪4 real multiplications‬‬ ‫.‪per 1 complex mul‬‬ ‫)1 − ‪ n (n‬סיכומים קומפלקסיים ⇐ )1 − ‪2N (n − 1) ⇐ n (n‬‬ ‫↑‬ ‫‪2 real summations‬‬ ‫.‪per complex mul‬‬ ‫2‬ Cooley − Tukey ‫הפירוק של‬ :DFT ‫נתחיל מההגדרה הסטנדרטית של‬ N −1 − x [n] WN kn X [k ] = n=0 :‫ , . . . ,0[ בשני אופנים‬N − 1] ‫נחלק את התחום‬ .(P>1, Q>1 ,P,Q∈ N) ‫ נקודות כ"א‬P ‫ מקטעים בעלי‬Q ‫: נבצע חלוקה של התחום ל־‬n ‫• בזמן‬ :‫כעת נוכל לרשום‬ n=P ·q+p ‫כאשר‬ 0 ≤ q ≤Q−1 0 ≤ p ≤ P − 1, q,p∈N :‫ נקודות כ"א, ונסמן בדומה לזמן‬Q ‫ מקטעים בעלי‬P ‫: נבצע חלוקה של התחום ל־‬k ‫• בתדר‬ k =Q·s+r ‫כאשר‬ 0 ≤ s≤P −1 0 ≤ r ≤ Q − 1, s,r ∈N :nk ‫נחשב את‬ nk = (P q + p) (Qs + r) = P Qsq + Qsp + P rq + rp = = N sq + Qsp + P rq + rp :‫ באקספוננט מההתמרה המקורית, ונקבל‬n ‫ ו־‬k ‫נציב את‬ N =P Q 2π e−j N kn 2π 2π 2π 2π ↓ = e−j N N sq · e−j N Qsp · e−j N P rq · e−j N rp = = 2π 1 · e −j P sp W −sp P 2π 2π · e−j Q rq · e−j N rp W −rq W −rp =W −rp Q PQ N :‫. אם כך, נוכל לרשום‬WN = WQ ,WN = WP ‫ניתן לראות ש־‬ P Q − − − − WN kn = WP sp · WQ rq · WN rp :‫נקבל‬ N −1 X [k ] − x [n] WN kn = n=0 P −1 Q−1 (CT 1) X [Qs + r] P −1 Q−1 − x [P q + p] WN (P q+p)(Qs+r) = = p=0 q =0 p=0 q =0 Q−1 P −1 − − x [P q + p] WQ rq WP sp − WN rp = p=0 − − − x [P q + p] WP sp · WQ rq · WN rp = q =0 ∗ 3 ‫נסמן את ‪ P‬הסדרות באורך ‪ Q‬כ"א באופן הבא:‬ ‫] ‪x [P q + p‬‬ ‫1− ‪0≤p≤P‬‬ ‫1−‪0≤q ≤Q‬‬ ‫] ‪xp [q‬‬ ‫] ‪ xp [q‬נקראת הסדרה המדוללת )‪ ,(Decimated Sequence‬זאת מאחר וסדרה זו מורכבת מ־ ‪Q‬‬ ‫"נבחרים" מהסדרה המקורית. אותם ‪" Q‬נבחרים" נמצאים במרחק ‪ P‬אחד מהשני.‬ ‫המחשה:‬ ‫‪Q sequences of length P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫→←→← · · · · · · →←→←‬ ‫]‪x[n‬‬ ‫‪P sequences of length Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫→←→← · · · · · · →←→←‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫כל מקטע באורך ‪ Q‬בשרטוט התחתון של ]‪ X [k‬מורכב מאיבר אחד מכל ‪ Q‬המקטעים באורך‬ ‫‪ P‬בשרטוט העליון. כמו כן נדגיש כי במקטע הראשון באורך ‪) Q‬למטה( יהיו האיברים הראשונים‬ ‫בכל מקטע באורך ‪) P‬למעלה(, במקטע השני באורך ‪) Q‬למטה( יהיו האיברים שהיו במקום השני‬ ‫בכל מקטע באורך ‪) P‬למעלה( וכן הלאה.‬ ‫נתבונן ב־ * שסימנו קודם: זוהי התמרת ‪ DFT‬של הסדרה ]‪ .xp [q‬נסמן התמרה זו באופן הבא:‬ ‫1−‪Q‬‬ ‫−‬ ‫‪xp [q ] WQ rq‬‬ ‫= ]‪Xp [r‬‬ ‫0= ‪q‬‬ ‫נציב את התוצאה ב־ 1‪ CT‬ונקבל:‬ ‫1− ‪P‬‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫‪WN rp Xp [r] WP sp‬‬ ‫)2 ‪(CT‬‬ ‫= ]‪X [Qs + r‬‬ ‫0=‪p‬‬ ‫נגדיר עבור כל ‪ (0 ≤ r ≤ Q − 1) r‬סדרה באורך ‪ P‬באופן הבא:‬ ‫1− ‪0≤p≤P‬‬ ‫−‬ ‫]‪yr [p] = WN rp Xp [r‬‬ ‫‪phase factor‬‬ ‫נקבל אם כך לאחר הצבה ב־ 2‪:CT‬‬ ‫1− ‪P‬‬ ‫−‬ ‫‪yr [p] WP sp‬‬ ‫= ]‪X [Qs + r‬‬ ‫0=‪p‬‬ ‫המחשה:‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫‪re-arrangement‬‬ ‫‪DF T‬‬ ‫] ‪xp [q‬‬ ‫←‬ ‫⇓‬ ‫⇓‬ ‫⇓‬ ‫‪DF T‬‬ ‫‪DF T‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫⇓‬ ‫‪Q‬‬ ‫⇓‬ ‫−‬ ‫‪WN rp‬‬ ‫⇓‬ ‫‪DF T‬‬ ‫‪P‬‬ ‫⇓‬ ‫‪P‬‬ ‫⇓‬ ‫···‬ ‫···‬ ‫בגורם‬ ‫פאזה‬ ‫]‪← xp [r‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫⇓‬ ‫]‪← yr [p‬‬ ‫⇓‬ ‫⇓‬ ‫‪DF T‬‬ ‫‪DF T‬‬ ‫‪← nal result of the DFT‬‬ ‫כפל‬ ‫···‬ ‫‪P‬‬ ‫⇓‬ ‫···‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫4‬ ‫דוגמאות:‬ ‫1. דוגמה עם 2 = ‪) N = 6, P = 3, Q‬באדיבות ‪ ,A Course in Digital Signal Processing‬פרק 5(‬ ‫2. דוגמה עם 4 = ‪) N = 12, P = 3, Q‬באדיבות ‪(Google Image Search‬‬ ‫סיכום התהליך:‬ ‫1. ייצר ‪ P‬סדרות מדוללות באורך ‪ Q‬כ"א ]‪ xp [q‬ובצע התמרת ‪ DFT‬לכל אחת מהן לקבלת‬ ‫] ‪.x p [ r‬‬ ‫2. כפול כל אחת מהיציאות של כל התמרה בגורם המתאים לקבלת ]‪.yr [p‬‬ ‫3. עבור כל ‪ ,r‬חשב את ה־ ‪ DFT‬של סדרה בעלת ‪ P‬נקודות לקבלת ]‪.X [Qs + r‬‬ ‫5‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online