SP_Lecture10 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 01‬ ‫1102.9.6‬ ‫ייצוגים מטריציים‬ ‫התמרת ‪DFT‬‬ ‫ראינו ש־‬ ‫‪DFT matrix‬‬ ‫↓‬ ‫‪= WN · x N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫]1[ ‪x‬‬ ‫]2[ ‪x‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]1 − ‪x [N‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫‪WN‬‬ ‫)1− ‪−(N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪WN‬‬ ‫···‬ ‫···‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫0‬ ‫‪WN‬‬ ‫2−‬ ‫‪WN‬‬ ‫···‬ ‫···‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫0‬ ‫‪WN‬‬ ‫1−‬ ‫‪WN‬‬ ‫2−‬ ‫4−‬ ‫‪WN‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫−‬ ‫)1− ‪WN (N −1)(N‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪WN‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫···‬ ‫···‬ ‫−‬ ‫)1− ‪WN 2(N‬‬ ‫−‬ ‫)1− ‪WN (N‬‬ ‫0‬ ‫‪WN‬‬ ‫0‬ ‫‪ WN‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫‪ WN‬‬ ‫. ‪=‬‬ ‫.‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫.‪‬‬ ‫.‪‬‬ ‫.‪‬‬ ‫.‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫‪WN‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫]1[ ‪X‬‬ ‫]2[ ‪X‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1 − ‪X [N‬‬ ‫תכונות‬ ‫1. השורה והעמודה הראשונות מכילות את הערך 1.‬ ‫2. המטריצה סימטרית ־ תלות באותה מידה ב־‬ ‫‪n‬‬ ‫וב־ ‪ .k‬המשמעות: ‪.WT = W‬‬ ‫3. המטריצה מקיימת: ‪ WH W = N I‬אורתוגונליות. מכאן נובע גם:‬ ‫‪unitary orthonormal‬‬ ‫‪DFT matrix‬‬ ‫↓‬ ‫1‬ ‫‪= I =⇒ √ W‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1‬ ‫‪√W‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪H‬‬ ‫1‬ ‫‪√W‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ייצוג בעזרת בסיס‬ ‫הוקטורים ‪ x‬ו־ ‪ X‬הם וקטורים באורך ‪ .N‬נניח באופן כללי שהם קומפלקסיים, לכן שייכים למרחב‬ ‫וקטורי במימד ‪ N‬של המספרים הקומפלקסיים: ‪.x, X ∈ CN‬‬ ‫נבחן את הוקטור בזמן, ‪ .x‬ניתן להציגו כקומבינציה לינארית של ‪ N‬וקטורים בת"ל במרחב זה,‬ ‫המהווים בסיס למרחב. לדוגמה, ניתן לבחור את הבסיס ה"טבעי" )‪ (Natural Basis‬הנקרא גם‬ ‫הבסיס הסטנדרטי )‪ (Standard‬או הקאנוני )‪ .(Canonical‬בסיס זה הוא העמודות של מטריצת היחידה‬ ‫)בכל וקטור איבר אחר הוא 1 והיתר אפסים(.‬ ‫כמו כן, ראינו:‬ ‫0 = )‪n‬‬ ‫0 = )‪n‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫,0‬ ‫,‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫= ]‪n‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪WN = N δ [k‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1‬ ‫אם כך,‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫]‪n‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‬ ‫‪ln‬‬ ‫= ‪WN kn WN‬‬ ‫(‬ ‫)‪WNl−k)n = N δ [(k − l‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫נסמן עמודות במטריצת היחידה באוסף‬ ‫הבא:‬ ‫‪k,l‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫. נקבל שאת סדרת ]‪ x [n‬נוכל לבטא באופן‬ ‫‪e‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪WN WH‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N,n‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪x [n] eN,n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫הסדרה הזו ]‪ x [n‬מהווה את הקואורדינטות של‬ ‫במפורש:‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בבסיס הטבעי. ניתן לרשום את הסכום‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]1 − ‪= . x [0] + . x [1] + · · · + . x [N‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫]‪ x [n‬סדרה ממשית או קומפלקסית הנפרשת ע"י הבסיס הטבעי; כלומר הקואורדינטה הטבעית‬ ‫1‬ ‫מאחר ועמודות המטריצה ‪√ WH‬‬ ‫ה־ ‪n‬־ית של הוקטור היא הערך של הוקטור ברגע ‪.n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫אורתונורמליות, נוכל להציגן כוקטורי בסיס ‪N‬־מימדי קומפלקסי במרחב. נסמן וקטורים אלו‬ ‫באופן הבא:‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫נרשום ביטוי ל־‬ ‫‪IDFT‬‬ ‫1‬ ‫‪√ WH‬‬ ‫‪N N,k‬‬ ‫ונקבל:‬ ‫‪1H‬‬ ‫1‬ ‫‪W X = W∗ XN‬‬ ‫‪NNN‬‬ ‫‪NN‬‬ ‫=‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫או לחילופין נוכל לרשום:‬ ‫1‬ ‫∗‪√ W‬‬ ‫‪N N,k‬‬ ‫1‬ ‫· ] ‪√ X [k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫כלומר,‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1− ∗‪X [0] W∗ 0 + X [1] W∗ 1 + · · · + X [N − 1] W‬‬ ‫,‪N‬‬ ‫,‪N‬‬ ‫‪N,N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪N‬‬ ‫כאשר‬ ‫1− ∗‪W∗ = W∗ 0 , W∗ 1 , . . . , W‬‬ ‫‪N‬‬ ‫,‪N‬‬ ‫,‪N‬‬ ‫‪N,N‬‬ ‫∗‪ W‬־ מטריצת‬ ‫‪N‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫הופכית )‪.(IDFT‬‬ ‫∗‪ W‬־ וקטור עמודה במטריצה, המהווה וקטור בסיס.‬ ‫‪N,k‬‬ ‫‪ xN‬נפרש ע"י הבסיס, כלומר ניתן לקבלו כקומבינציה לינארית של‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫∗‬ ‫1‬ ‫‪N WN,k‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫−‪N‬‬ ‫הם 10=‪ .{X [k]}k‬כלומר, ]‪ X [k‬הם ההטלה של ]‪ x [n‬על המרחב הנפרש ע"י‬ ‫דוגמה‬ ‫2‬ ‫כאשר המקדמים‬ ‫0=‪k‬‬ ‫∗‪. W‬‬ ‫‪N,k‬‬ ‫נתון האות:‬ ‫, )‪cos (θ0 n‬‬ ‫‪2πm‬‬ ‫‪N‬‬ ‫1− ‪n=0,...,N‬‬ ‫=‬ ‫]‪x [n‬‬ ‫=‬ ‫0‪θ‬‬ ‫לכן,‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪1 2π‬‬ ‫‪1 j 2π mn‬‬ ‫‪1 2π‬‬ ‫‪eN‬‬ ‫‪+ e−j N mn = ej N mn + ej N (N −m)n‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫=‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫במקרה זה, שני וקטורי הבסיס שיתרמו ליצירת ]‪ x [n‬הם )‪.W∗ , W∗ (N −m‬‬ ‫‪N,m‬‬ ‫,‪N‬‬ ‫הצגה של וקטורי הבסיס‬ ‫נדגים זאת בדוגמה עבור 4 = ‪:N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫‪j‬‬ ‫1−‬ ‫‪−j‬‬ ‫↑‬ ‫3=‪k‬‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫↑‬ ‫2=‪k‬‬ ‫1‬ ‫‪−j‬‬ ‫1−‬ ‫‪j‬‬ ‫↑‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪W∗ = ‬‬ ‫4‬ ‫‪‬‬ ‫1‪‬‬ ‫↑‬ ‫1=‪k=0 k‬‬ ‫גרפית, נציג זאת כך:‬ ‫המחשה נוספת באדיבות ויקיפדיה עבור 8 = ‪:N‬‬ ‫3‬ ‫‪x [n] = cos‬‬ (http://en.wikipedia.org/wiki/DFT_matrix) ‫הזזה מעגלית )מחזורית( בייצוג מטריצי‬ :‫נזכיר‬ y [n] = x [(n − m) mod N] 0≤n≤N −1 .‫ זו מידת ההזזה‬m ‫כאשר‬ :‫ בצורה מטריצית‬y ‫נציג את‬ y = Am x ?Am ‫מהי המטריצה‬ [Am ]l,n = δ [l − (n − m) mod N] :‫כלומר‬ [Am ]l,n = mod N ] δ [0−(1−m) mod N ] mod N ] δ [1−(1−m) mod N ] δ [0−(0−m) δ [1−(0−m) . . . . . . . . . . . . δ [0−((N −1)−m) mod N ] ... ... . . ... ... . . . . . δ [1−((N −1)−m) mod N ] δ [(N −1)−(1−m) mod N ] δ [(N −1)−(0−m) . . . . . mod N ] . . . . . . δ [(N −1)−((N −1)−m) mod N ] :N = 4 ‫ עבור‬A1 ‫נחשב לדוגמה את‬ 0 1 A1 = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 :‫ אז‬x = 3 ‫וכעת אם למשל‬ 4 y = A1 x 4 1 =⇒ y = 2 3 4 ‫אם נסמן ב־ ‪ Ai‬מטריצת הזזה מעגלית שההזזה שהיא מבצעת היא ב־ ‪ ,i‬נוכל לרשום גם:‬ ‫‪Ai Aj Ak x‬‬ ‫‪Ai+j +k x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ולמשל 2‪.A1 A1 = A‬‬ ‫קונבולוציה מעגלית ־ ייצוג מטריצי‬ ‫נזכיר:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫↓‬ ‫‪y‬‬ ‫1‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y [1] ‬‬ ‫]1[ ‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y [2] ‬‬ ‫]2[ ‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y [3] ‬‬ ‫.‬ ‫‪‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪‬‬ ‫.‬ ‫]1 − ‪x [N‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫כאשר המטריצה‬ ‫נרשום בקצרה:‬ ‫‪y‬‬ ‫0‪y‬‬ ‫]1 − ‪y [N‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫]1[ ‪y‬‬ ‫]2[ ‪y‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫↓‬ ‫. . . ]2 − ‪y [N‬‬ ‫. . . ]1 − ‪y [N‬‬ ‫]0[ ‪y‬‬ ‫...‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫. . . ]3 − ‪y [N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫↓‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]2 − ‪y [N − 1] y [N‬‬ ‫היא מטריצה מעגלית ־ ‪.Circular matrix‬‬ ‫‪x‬‬ ‫גם מטריצת היחידה‬ ‫‪I‬‬ ‫‪w=y‬‬ ‫היא ‪.circular matrix‬‬ ‫נתונה הקונבולוציה המעגלית:‬ ‫‪=y·x‬‬ ‫נכפול את המשוואה במטריצת ה־‬ ‫‪DFT‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)כפל משמאל(:‬ ‫‪Wz = W · y · x‬‬ ‫נציב במשוואה זו את‬ ‫1‬ ‫‪H‬‬ ‫‪NW X‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ונסמן מטריצה‬ ‫באופן הבא:‬ ‫‪A‬‬ ‫1‬ ‫‪Wy WH X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫קונבולוציה מעגלית מותמרת למכפלה בתדר )איבר איבר(.‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ · x = Ax‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫0‬ ‫]1 − ‪Y [N‬‬ ‫]0[ ‪Y‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫···‬ ‫0‪‬‬ ‫]1[ ‪Y‬‬ ‫0‬ ‫···‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫· · · ]2[ ‪Y‬‬ ‫‪Z=‬‬ ‫0‪‬‬ ‫.‪‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‪‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫···‬ ‫0‬ ‫]‪A = diag [Y‬‬ ‫נמצא את ‪:A‬‬ ‫1‬ ‫‪Wy WH‬‬ ‫‪N‬‬ ‫5‬ ‫=‪A‬‬ ‫]0[ ‪w‬‬ ‫]1[ ‪w‬‬ ‫]2[ ‪w‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫]1 − ‪w [N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שורות ב־ ‪ W‬מוכפלות בעמודות של ‪ ,y‬ומכאן:‬ ‫] ‪Y [k‬‬ ‫→−‬ ‫0‪W · y‬‬ ‫‪Y [k ] e−j N ·1k‬‬ ‫→−‬ ‫1‪W · y‬‬ ‫‪Y [k ] e−j N ·2k‬‬ ‫→−‬ ‫2‪W · y‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫על כן נרשום:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫0·)1− ‪Y [0] e−j N (N‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫1·)1− ‪Y [0] e−j N (N‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪2π‬‬ ‫)1− ‪Y [N − 1] e−j N (N −1)·(N‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫···‬ ‫···‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫···‬ ‫···‬ ‫.‬ ‫‪2π‬‬ ‫0 ‪Y [0] e−j N‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫1 ‪Y [1] e−j N‬‬ ‫]0[ ‪Y‬‬ ‫]1[ ‪Y‬‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫···‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪W·y =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫)1− ‪Y [N − 1] Y [N − 1] e−j N (N‬‬ ‫···‬ ‫‪1H‬‬ ‫)‪W = diag (Y‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪Wy‬‬ ‫ראינו‬ ‫1‬ ‫‪Wy WH‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫נכפול את אגפי המשוואה משמאל ומימין ב־ ‪ WH‬ו־ ‪ W‬בהתאמה. מתקבל:‬ ‫‪1H‬‬ ‫‪W W ·y · WH W‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪W H AW‬‬ ‫‪NI‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪1H‬‬ ‫‪W AW‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‪⇒y‬‬ ‫נזכיר כי:‬ ‫1−‬ ‫‪⇒ W = N WH‬‬ ‫נציב את זה במשוואה הקודמת עבור‬ ‫1−‬ ‫‪y‬‬ ‫1−‬ ‫‪1H‬‬ ‫1‬ ‫‪W W = I ⇒ W = WH‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ונקבל:‬ ‫‪= WH diag (Y ) WH‬‬ ‫1−‬ ‫‪1H‬‬ ‫‪W AW = y = W H A W H‬‬ ‫‪N‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫תוצאה זו מזכירה לנו לכסון מטריצות וקבלה של ערכים עצמיים באלכסון.‬ ‫נסמן:‬ ‫‪ λ‬־ ערכים עצמיים‬ ‫‪q‬‬ ‫־ וקטורים עצמיים‬ ‫‪ Q‬־ מטריצת וקטורים עצמיים‬ ‫תחת סימונים אלו, נרשום:‬ ‫‪= λq‬‬ ‫‪yq‬‬ ‫‪yQ = QΛ‬‬ ‫1−‪= QΛQ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫מטריצת ה־ ‪ DFT‬ההופכית מכילה את הוקטורים העצמיים של מטריצה ‪ ,y‬ואילו הערכים העצמיים‬ ‫הם ערכי ה־ ‪.Y [k] ,DFT‬‬ ‫6‬ Cooley&Tukey ‫ייצוג מטריצי לאלגוריתם‬ :‫תזכורת‬ Q−1 P −1 (CT 1) − − x [P q + p] WQ rq WP sp − WN rp X [Qs + r] = q =0 p=0 0≤s≤P −1 0≤r ≤Q−1 ∗ :* ‫נסמן את‬ Q−1 (∗) − xp [q ] WQ rp xp [r] = q =0 :‫כאשר‬ (∗∗) xp [q ] x [P q + p] :‫ונקבל‬ CT1 ‫נציב את )∗∗( ב־‬ P −1 (CT 2) − − WN rp xp [r] WP sp X [Qs + r] = p=0 :P ‫נגדיר סדרה חדשה באורך‬ phase↓factor − yr [p] = WN rp · xp [r] 0≤r ≤Q−1 :CT2 ‫נציב סדרה חדשה זו ב־‬ P −1 − yr [p] WP sp X [Qs + r] = p=0 7 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online