SP_Lecture11 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 11‬ ‫1102.9.8‬ ‫ייצוג מטריצי לאלגוריתם ‪ Cooley&Tukey‬־ המשך‬ ‫סיימנו את ההרצאה הקודמת בחזרה על ההגדרות האנליטיות מהרצאה 8 של אלגוריתם ‪.C&T‬‬ ‫)אילן חוזר על הדוגמה לפירוק 6 = ‪ Q = 2 ,P = 3 ,N‬שעשינו בהרצאה 8(‬ ‫נראה כעת את הייצוג המטריצי המתאים לדוגמה זו:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪x‬‬ ‫]1[ ‪x‬‬ ‫]2[ ‪x‬‬ ‫]3[ ‪x‬‬ ‫]4[ ‪x‬‬ ‫]5[ ‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ 0‪X‬‬ ‫]1[ 0‪X‬‬ ‫]0[ 1‪X‬‬ ‫]1[ 1‪X‬‬ ‫]0[ 2‪X‬‬ ‫]1[ 2‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪·‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫1−‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫1−‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫1−‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫2‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ 0‪X‬‬ ‫]1[ 0‪X‬‬ ‫]0[ 1‪X‬‬ ‫]1[ 1‪X‬‬ ‫]0[ 2‪X‬‬ ‫]1[ 2‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪GI‬‬ ‫6‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪·‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫2 6‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫6‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫1 6‪W‬‬ ‫0‬ ‫‪GII‬‬ ‫6‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫6‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫6‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫6‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ 0‪y‬‬ ‫]1[ 0‪y‬‬ ‫]2[ 0‪y‬‬ ‫]0[ 1‪y‬‬ ‫]1[ 1‪y‬‬ ‫]2[ 1‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ 0‪y‬‬ ‫]1[ 0‪y‬‬ ‫]2[ 0‪y‬‬ ‫]0[ 1‪y‬‬ ‫]1[ 1‪y‬‬ ‫]2[ 1‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪·‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫1 3‪W‬‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫2 3‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫2 3‪W‬‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫4 3‪W‬‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫2 3‪W‬‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫4 3‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‪W‬‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫1 3‪W‬‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫2 3‪W‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫]0[ ‪X‬‬ ‫]1[ ‪X‬‬ ‫]2[ ‪X‬‬ ‫]3[ ‪X‬‬ ‫]4[ ‪X‬‬ ‫]5[ ‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪GIII‬‬ ‫6‬ ‫נסכם את ההתמרה בייצוג מטריצי:‬ ‫‪X = GIII · GII · GI · x‬‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫נשווה זאת להתמרת ‪ DFT‬סטנדרטית לפי הגדרה:‬ ‫‪X = W6 · x‬‬ ‫מסקנה:‬ ‫‪W6 = GIII · GII · GI‬‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫תרגיל בית:‬ ‫לחשב את מספר פעולות הכפל ומספר פעולות החיבור לפי אלגוריתם ‪ C&T‬עם פירוק ‪ P‬ו־ ‪,Q‬‬ ‫ולאחר מכן לפרק שנית או את ‪ P‬או את ‪ Q‬ולחשב שוב. )רמז: צריך להתחיל ממטריצה קצת‬ ‫יותר גדולה...(‬ ‫‪ FFT‬בייצוג מטריצי‬ ‫כבר ראינו כי בפירוק בודד ב־ 2-‪ FFT-Radix‬קיבלנו ‪ 2 · N‬וההתמרה הוצגה כך:‬ ‫2‬ ‫−‬ ‫] ‪= G [k ] + WN k H [k‬‬ ‫−‬ ‫] ‪= G [k ] − WN k H [k‬‬ ‫1− ‪k=0,..., N‬‬ ‫2‬ ‫] ‪X [k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ ‫+‪X k‬‬ ‫נרשום משוואה זו בייצוג מטריצי:‬ ‫˜‬ ‫‪X 1 = G + WN H‬‬ ‫˜‬ ‫‪X 2 = G − WN H‬‬ ‫כאשר‬ ‫1−‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ ‫+‪X k‬‬ ‫0=‪X1 = {X [k]}k‬‬ ‫1−‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ ‫0=‪k‬‬ ‫כלומר, 1‪ H ,G ,X2 ,X‬הם וקטורים במימד‬ ‫ותוכנה:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫)1− ‪−( N‬‬ ‫2‬ ‫‪WN‬‬ ‫..‬ ‫0‬ ‫= 2‪X‬‬ ‫˜‬ ‫והמטריצה ‪ WN‬היא מטריצה אלכסונית במימד‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫.‬ ‫..‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫2 ‪WN‬‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫−‬ ‫1 ‪WN‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪WN‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ ‫×‬ ‫‪N‬‬ ‫2‬ :‫נשרשר את המשוואות ונקבל‬ N N ×N N X1 X2 G G = ˜ WN 0 N 0 ˜ −W H H N :‫ייצוג קומפקטי יותר‬ X1 X2 = [A] G H :‫ המקיימת את המשוואות‬A ‫נבנה‬ N ×N ˜ WN ˜ −WN I I A= :A ‫נציב את‬ X1 X2 G G = H H ˜ WN ˜ −WN I I :‫ , ואז‬N = 2 · N :‫ גדול מ־ 2 נמשיך לפרק‬G ‫ ו־‬H ‫אם המימד של‬ 2 4 N ×N 2 2 N 2 I G= I N ×N 2 2 N 2 ˜ WN 2 ˜ −W N 2 G1 G2 N 2 H= N 2 ˜ WN 2 ˜ −W I I H1 H2 N 2 :‫נסכם‬ N ×N N ×N X= ˜ WN ˜ −W N I I N 2 I I ×N 2 ˜ WN 2 ˜ −W 0 N 2 I 0 I ˜ WN 2 ˜ −W N 2 G1 G2 H1 H2 :‫ בייצוג מטריצי‬N = 4 ‫ עבור‬FFT-Radix-2 ‫נדגים אלגוריתם‬ 1 0 X= 1 0 0 1 0 1 0 W4 0 0 −W 4 0 0 W2 0 −W2 0 0 0 1 − W4 1 1 0 0 − 0 −W4 1 0 0 x (0) 0 0 x (2) 0 1 W2 x (1) 0 1 −W 2 x (3) A2 A1 :‫ המבצעת סידור של הכניסה‬A3 ‫נגדיר מטריצה‬ x (0) 1 x (2) 0 = x (1) 0 x (3) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 x (0) 0 x (1) 0 x (2) 1 x (3) :‫נרשום, אם כך‬ X = A1 A2 A3 x 3 ‫כאשר ב־ ‪:DFT‬‬ ‫‪X = WN x‬‬ ‫כלומר נוכל לראות כי פעולת ה־ ‪ FFT‬מבעצת פירוק )‪ (Factorization‬של מטריצת ה־ ‪DFT‬‬ ‫−‬ ‫‪WN‬למטריצות ‪ ,Ai‬כאשר ‪ Ai‬כוללות או אפסים, או אחדות )חיבור(, או איברי ‪) Wn kn‬כפל(.‬ ‫= ‪WN‬‬ ‫‪Ai‬‬ ‫‪i‬‬ ‫הערות:‬ ‫• המטריצות ‪ Ai‬דלילות )‪ ,(sparse‬כלומר איברים רבים בהן הם אפסים, מה שמצריך ביצוע‬ ‫מספר קטן יותר של פעולות כפל/חיבור.‬ ‫• הדרגה )‪ (Rank‬של המטריצות ‪ Ai‬חייבת להיות ‪ ;N‬אחרת המטריצה ‪ WN‬שמורכבת ממכפלה‬ ‫אותן מטריצות היתה בעלת דרגה קטנה מ־ ‪ N‬ועל כן לא הפיכה, אך אנו יודעים ש־ ‪ WN‬כן‬ ‫הפיכה.‬ ‫ריפוד באפסים בזמן‬ ‫)מידע נוסף על ביצוע ריפוד בזמן וחישוב במטלב:‬ ‫/‪(http://blinkdagger.com/matlab/matlab-t-and-zero-padding‬‬ ‫נתונה סדרה ]‪ x [n‬באורך ‪ .L‬ראינו כי נתין לחשב את ה־ ‪ DFT‬באורך ‪ L‬ללא איבוד מידע.‬ ‫נרצה לחשב ‪ DFT‬באורך ‪ N‬כאשר ‪ .N > L‬נגדיר סדרה חדשה המרופדת באפסים באופן הבא:‬ ‫1 − ‪x [n] , 0 ≤ n ≤ L‬‬ ‫,0‬ ‫1− ‪L≤n≤N‬‬ ‫המחשה:‬ ‫4‬ ‫= ]‪x [n‬‬ ‫˜‬ ‫נחשב ‪ DFT‬באורך ‪:N‬‬ ‫1−‪L‬‬ ‫, ‪x [n] e−j ( N k)n = X ejθ |θ= 2πk‬‬ ‫˜‬ ‫‪2π‬‬ ‫1− ‪k=0,...,N‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫˜‬ ‫= ] ‪X [k‬‬ ‫= ‪x [n] e−j N kn‬‬ ‫˜‬ ‫‪N‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫0=‪n‬‬ ‫המחשה: ככל שמוסיפים יותר אפסים בזמן, מתקבלות דגימות נוספות בתדר )בנוסף לאותן‬ ‫דגימות אשר קיבלנו ללא הריפוד(.‬ ‫דגימות אלו מהוות אינטרפולציה של האות הדגום. משמע, הריפוד באפסים אינו מוסיף מידע על‬ ‫הדגימה שלא היה קיים בהתמרה המקורית.‬ ‫ריפוד באפסים בתדר‬ ‫ראינו שריפוד באפסים בזמן גורם להוספת פרטים בתדר )למרות שפרטים אלו אינם מהווים‬ ‫מידע נוסף(.‬ ‫באופן דומה, ריפוד באפסים בתדר יניב תוספת דומה של פרטים באות בזמן. עם זאת, על‬ ‫מנת לרפד בתדר לא ניתן פשוט להכניס את האפסים בסוף האות כפי שעשינו בזמן, מכיוון שיש‬ ‫לשמור על תכונות הספקטרום של האות המקורי, אשר הינו )כנראה( ממשי. על מנת לבצע‬ ‫את הריפוד ללא פגיעה באות, יש להוסיף את האפסים בדיוק באמצע. נשים לב שאם מדובר‬ ‫במספר זוגי של דגימות, ניתן מיד לפצלן לשני חלקים. לעומת זאת, אם מספר הדגימות הוא‬ ‫אי־זוגי...‬ ‫נתון ]‪ x [n‬באורך ‪ N‬בעל ‪ X [k] DFT‬באורך ‪ .N‬נניח כי רוצים לרפד באפסים לאורך חדש ‪.M = L · N‬‬ ‫נגדיר סדרה מרופדת:‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫, ] ‪L · X [k‬‬ ‫1 2‪0 ≤ k ≤ N‬‬ ‫‪‬‬ ‫1− ‪N‬‬ ‫1 − ‪Xi [k ] = L · X [k − M + N ] , M − 2 ≤ k ≤ M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,0‬ ‫‪else‬‬ ‫5‬ :M ‫, באורך‬xi [n] ‫נפתח ביטוי עבור‬ xi [n] = = = = 1 M 1 N 1 N 1 N M −1 Xi [k ] e j 2π kn M k=0 N −1 2 X [k ] e j 2π kn M k=0 1 + N N −1 2 −1 2π L · X [k ] ej M kn + k=0 m=0 k=k−M +N 2π ↓ L · X [k − M + N ] ej M kn = − k=M − N 2 1 2π 2π 2π − k= N 2 1 N −1 2π 2π 2π 2π ej M kn · e−j N kn + e−j N kn 2π ej M kn e−j N kn = +1 k= N2 k=0 sin π (n−mL) L sin N −1 M −1 X [k ] ej M kn · ej M kn · e−j M N n = 2 x [m] 1 M N −1 N −1 N −1 π (n−mL) M x [m] m=0 1 = M core interpolation function :‫קיבלנו נוסחה דומה לנוסחת השחזור של שנון‬ 1 xi [n] = N sin π (n−mL) L sin N −1 π (n−mL) M x [m] m=0 :‫תזכורת לנוסחת שנון‬ ∞ x (nT ) sinc x (t) = n=−∞ 6 t − nT T ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online