SP_Lecture12 - ‫מבוא לעיבוד אותות ־...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫מבוא לעיבוד אותות ־ הרצאה 21‬ ‫1102.9.31‬ ‫ריפוד באפסים בזמן ־ ייצוג מטריצי‬ ‫נתון ]‪ x [n‬וקטור באורך ‪ .N‬וקטור זה מרופד באפסים מימין, לאורך ‪ ,M‬לקבלת ]‪ .xz [n‬כלומר,‬ ‫נרשום ‪ x ∈ CN‬ו־ ‪ ,xz ∈ CM‬והקשר המטריצי בין ‪ x‬ל־ ‪ xz‬הוא:‬ ‫‪N ×N‬‬ ‫↓‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪xz‬‬ ‫0‬ ‫↑‬ ‫‪(M −N )×N‬‬ ‫מכיוון ו־ ‪ M − N‬האיברים האחרונים בוקטור ‪ xz‬הם אפסים, ‪ xz‬למעשה שייך לתת־מרחב של‬ ‫‪. CM‬‬ ‫נקשור בין ‪ x‬ל־ ‪ Xz‬ע"י התמרה:‬ ‫˜‬ ‫‪x = Wx‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪Xz = W xz = W‬‬ ‫0‬ ‫‪M ×M‬‬ ‫‪M ×M‬‬ ‫‪M ×N‬‬ ‫˜‬ ‫˜‬ ‫קיבלנו ‪ , WM ×N‬מטריצת פורייה לא ריבועית, אשר מכילה רק ‪ N‬עמודות מתוך ‪.WM ×M‬‬ ‫כעת נבחן לאיזה מרחב שייך ‪ Xz‬־ ל־ ‪ CM‬או לתת מרחב שלו? נציג את ‪ Xz‬כקומבינציה‬ ‫לינארית של וקטורי הבסיס:‬ ‫1− ‪Xz = x [0] W0 + x [1] W1 + · · · + x [N − 1] WN‬‬ ‫כאשר ‪ Wi‬אורתוגונליות.‬ ‫‪ Xz‬מתואר כאוסף של וקטורים אורתוגונליים, המהווים בסיס, אבל רק ‪ N‬וקטורים. לכן, ‪ xz‬נמצא‬ ‫בתת־מרחב של ‪ CM‬ממימד ‪ ,N‬זאת מאחר ואת המרחב כולו פורשים ‪ M‬וקטורי בסיס.‬ ‫ריפוד באפסים בתדר‬ ‫ניתוח דומה יוביל אותנו לקשר:‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1H‬‬ ‫‪WM Z WN x‬‬ ‫↑‬ ‫‪M zero padding‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫˜‬ ‫‪matrix‬‬ ‫‪M ×N‬‬ ‫‪x=A·x‬‬ ‫˜‬ ‫כאשר ‪ x‬־ אות מקורי, ‪ x‬־ האות המתקבל בזמן לאחר ריפוד באפסים בתדר.‬ ‫˜‬ ‫1‬ ‫מסנני ‪ FIR‬ו־ ‪IIR‬‬ ‫‪ F IR‬־ ‪Finite Impluse Response‬‬ ‫אלו פילטרים אשר התגובה להלם שלהם ]‪ h [n‬דועכת לאפס בזמן סופי.‬ ‫‪ IIR‬־ ‪Innite Impluse Response‬‬ ‫אלו פילטרים אשר התגובה להלם שלהם ]‪ h [n‬אינה דועכת לאפס בזמן סופי )אך לרוב כן‬ ‫דועכת לאפס באינסוף(, לרוב בשל מנגנון משוב כלשהו.‬ ‫המחשה:‬ ‫)‪ (a‬־ ‪ (b) ,FIR‬־ ‪IIR‬‬ ‫)אילן מדבר על נושא ‪ Frequency Selection‬־ חוזר על צורה )גרפים( של פילטרים מוכרים: ‪,LPF‬‬ ‫‪.All Pass ,Band Stop ,Band Pass Filter ,HPF‬‬ ‫אילוצים במימוש מסנן‬ ‫נבחן מסנן אידיאלי מסוג ‪:LPF‬‬ ‫‪1 , |θ | ≤ θ c‬‬ ‫‪0, θc ≤ |θ| ≤ π‬‬ ‫= ‪H ejθ‬‬ ‫נחזור למישור הזמן:‬ ‫)‪θc sin (θc n‬‬ ‫‪π θc n‬‬ ‫= ]‪h [n‬‬ ‫האות אינו מתאפס בזמן סופי, ועל כן אינו ניתן למימוש בפועל.‬ ‫אילוצים כתוצאה מסיבתיות‬ ‫אנו יודעים שלא ניתן לממש בפועל מערכות שאינן סיבתיות, אך עד כה לא דנו בהרחבה‬ ‫במשמעויות שזה גורר מבחינת האילוצים שלנו במימוש.‬ ‫2‬ ‫משפט ־ ‪(1934) Paley-Wiener Theorem‬‬ ‫עבור מערכת סיבתית בעלת תגובה להלם ]‪ h [n‬ואנרגיה סופית, חייב להתקיים:‬ ‫‪ˆπ‬‬ ‫∞ < ‪dθ‬‬ ‫‪ln H ejθ‬‬ ‫‪−π‬‬ ‫תנאי זה גורר ש־ 0 = ‪ ,H ejθ‬למעט מספר סופי של נקודות.‬ ‫מכאן נסיק מיד שכל המסננים )האידיאלים( שראינו, אינם ניתנים למימוש ע"י מערכת סיבתית.‬ ‫סיבתיות והקשר בין ‪ H‬ל־ ‪ HR‬ו־ ‪HI‬‬ ‫ללא אילוצים, היינו יכולים לקבוע כל שילוב של |) ‪ |H (jω‬ו־ ) ‪ ,∠H (jω‬ובאופן שקול כל שילוב של‬ ‫)) ‪ HI (jω ) = Im (H (jω‬ו־ )) ‪.HR (jω ) = Re (H (jω‬‬ ‫נבחן כעת את ההגבלות הנובעות מהסיבתיות.‬ ‫בהינתן מערכת עם ]‪ h [n‬כללי, ניתן לפרק את ]‪ h [n‬באופן הבא:‬ ‫‪even‬‬ ‫) ‪HR (jω‬‬ ‫) ‪HI (jω‬‬ ‫↓‬ ‫‪F‬‬ ‫→← ]‪he [n‬‬ ‫‪F‬‬ ‫→← ]‪ho [n‬‬ ‫↑‬ ‫‪odd‬‬ ‫נבנה ]‪:he [n‬‬ ‫1‬ ‫]]‪[h [n] + h [−n‬‬ ‫2‬ ‫= ]‪he [n‬‬ ‫האם ניתן לשחזר ]‪ h [n‬מתוך ]‪ ?he [n‬באופן כללי, לא.‬ ‫עם זאת, אם נתון ש־ ]‪ h [n‬סיבתית אז כן ניתן לעשות זאת, מכיוון ש־ ]‪ h [n‬ו־ ]‪ h [−n‬חופפים אך‬ ‫ורק ב־ 0:‬ ‫]‪h [n] = 2he [n] u [n] − he [0] δ [n‬‬ ‫מתקבל קשר חח"ע בין ]‪ h [n‬ו־ ]‪:he [n‬‬ ‫‪he [n] ↔ h [n] =⇒ HR ejθ ↔ H ejθ‬‬ ‫מכאן, נסיק שאין חופש בחירה של ‪ ,H ejθ‬מכיוון שבהינתן ‪ HR ejθ‬נקבע גם ‪.H ejθ‬‬ ‫נחזור למסנני ‪ FIR‬ו־ ‪:IIR‬‬ ‫מסנן ‪FIR‬‬ ‫המוצא של מערכת ‪ LTI‬בזמן בדיד המהווה מסנן ‪ FIR‬מתואר ע"י:‬ ‫1−‪L‬‬ ‫]‪bl x [n − l‬‬ ‫1−‪L‬‬ ‫= ]‪h [l] x [n − l‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫= ]‪y [n‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫כאשר 1−‪ {bl }L‬נקראים מקדמי המסנן.‬ ‫0=‪l‬‬ ‫ניתן לחשוב על המוצא כסכום משוקלל של ערכי הכניסה, כאשר המקדמים 1−‪ {bl }L‬הם‬ ‫0=‪l‬‬ ‫המשקלות. אם נחלק ב־ ‪ L‬נקבל ממוצע משוקלל. נקרא גם ‪.Moving Average‬‬ ‫3‬ ‫סכימה כללית של מסנן ‪ FIR‬מסדר ‪) N‬ברישום של התמרת ‪ ,z‬פירוט בהמשך(:‬ ‫מסנן ‪IIR‬‬ ‫עבור מסנן ‪ ,IIR‬ישנו משוב המוביל לכך שערכי המוצא תלויים גם בערכי המוצא בזמן עבר.‬ ‫מתמטית:‬ ‫1− ‪M‬‬ ‫]‪am y [n − m‬‬ ‫1− ‪L‬‬ ‫− ]‪h [l] x [n − l‬‬ ‫1=‪m‬‬ ‫= ]‪y [n‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫1−‬ ‫כאשר 1−‪ {am }M=0 ,{bl }L‬נקראים מקדמי המסנן.‬ ‫‪m‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫המוצא של מסננים כאלה נקרא לפעמים גם ‪.ARMA - Auto-Regressed Moving Average‬‬ ‫על מנת למצוא את פונקציית התמסורת של מסנן מסוג זה, נבצע ‪:DTFT‬‬ ‫1− ‪M‬‬ ‫‪am Y ejθ e−jθm‬‬ ‫1−‪L‬‬ ‫− ‪bl X ejθ e−jθl‬‬ ‫= ‪Y ejθ‬‬ ‫1=‪m‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫1−‪L‬‬ ‫‪bl e−jθl‬‬ ‫1− ‪M‬‬ ‫‪am e−jθm = X ejθ‬‬ ‫+1‬ ‫‪Y ejθ‬‬ ‫1=‪m‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫1−‪L‬‬ ‫‪−jθl‬‬ ‫‪l=0 bl e‬‬ ‫1− ‪M‬‬ ‫‪−jθm‬‬ ‫‪m=1 am e‬‬ ‫‪Y ejθ‬‬ ‫=‬ ‫) ‪X (ejθ‬‬ ‫+1‬ ‫= ‪⇒ H ejθ‬‬ ‫נראה כיצד ניתן לבצע את אותו תהליך עם התמרת ‪:Z‬‬ ‫1− ‪M‬‬ ‫]‪am y [n − m‬‬ ‫1− ‪L‬‬ ‫− ]‪h [l] x [n − l‬‬ ‫1=‪m‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫1− ‪M‬‬ ‫‪a m Y ( z ) z −m‬‬ ‫= ]‪y [n‬‬ ‫1−‪L‬‬ ‫− ‪bl X (z ) z −l‬‬ ‫1=‪m‬‬ ‫= ) ‪Y (z‬‬ ‫0=‪l‬‬ ‫1− ‪L‬‬ ‫‪−l‬‬ ‫‪l=0 bl z‬‬ ‫1− ‪M‬‬ ‫‪−m‬‬ ‫‪m=1 am z‬‬ ‫+1‬ ‫נשים לב: בצורת רישום זו, 1 = 0‪) a‬זה ה־ 1 במכנה(.‬ ‫דוגמה ־ מסנן ‪FIR‬‬ ‫נתון )2 ,3 ,1( = ‪ bl‬ו־ ]2 − ‪.h [n] = δ [n] + 3δ [n − 1] + 2δ [n‬‬ ‫4‬ ‫= ) ‪H (z‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫נבצע התמרת ‪:z‬‬ ‫)2 + ‪(z + 1) (z‬‬ ‫2‪z‬‬ ‫= 2− ‪Z {h [n]} = H (z ) = 1 + 3z −1 + 2z‬‬ ‫אפסים ב־ 2− ,1− וקטבים ב־ 0 = ‪ ,z‬לכן המסנן יציב ‪ BIBO‬וסיבתי.‬ ‫דוגמה ־ מסנן ‪IIR‬‬ ‫נתון:‬ ‫1‬ ‫]2 − ‪y [n] = x [n] − x [n − 1] + x [n‬‬ ‫4‬ ‫זה נראה בערך ככה:‬ ‫נבצע התמרת ‪:z‬‬ ‫1‬ ‫2− ‪Y (z ) = X (z ) − X (z ) z −1 + X (z ) z‬‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫)1 − ‪z (z‬‬ ‫+‪z−1 z‬‬ ‫2‬ ‫= · · · = ) ‪H (z‬‬ ‫השוואה בין ‪ IIR‬ו־ ‪FIR‬‬ ‫תכונה‬ ‫יציבות‬ ‫צבירת שגיאה חישובית‬ ‫לינאריות של הפאזה‬ ‫יעילות‬ ‫‪FIR‬‬ ‫‪IIR‬‬ ‫תמיד‬ ‫אין‬ ‫לינארית‬ ‫פחות יעיל‬ ‫לא תמיד‬ ‫יש )בגלל המשוב(‬ ‫לא לינארית‬ ‫יעיל‬ ‫שילוב בבעיות אופטימיזציה )?(‬ ‫לגבי יעילות: במסנן ‪ FIR‬נדרש סדר גבוה בהרבה לקבלת מסנן טוב )חד יותר( מאשר ב־ ‪.IIR‬‬ ‫הגדרות בתכנון מסנן‬ ‫ניעזר בגרף הבא כדי להגדיר מאפיינים של מסנן:‬ ‫5‬ Pass Band Ripple ‫ ־‬δp Stop Band Ripple ‫ ־‬δs Pass Band edge ripple ‫ ־‬ωp Stop Band edge ripple ‫ ־‬ωs 6 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online