lecture5-2009 - ‫הרצאה מס' 5‬ ‫‪...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫הרצאה מס' 5‬ ‫‪ .C‬דיפוזיית הנושאים‬ ‫‪ .D‬דיפוזיה וסחיפה יחד‬ ‫‪ .E‬משוואת הרציפות‬ ‫‪ .F‬משוואת דיפוזיה‬ ‫‪ .G‬משוואת דיפוזיה במצב יציב‬ ‫1‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫סיכום ומבוא‬ ‫פעולות של נושאי מטען:‬ ‫1. סחיפה:‬ ‫‪Jdrift = J n + J p = q ⋅ (µn ⋅ n + µ p ⋅ p)E‬‬ ‫2. ייצור ואיחוד:‬ ‫)‪dp(t‬‬ ‫‪=G−R‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫))‪d(δp(t‬‬ ‫)‪δp(t‬‬ ‫−=‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪τp‬‬ ‫2‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)‪(9a‬‬ ‫)‪(17a‬‬ ‫)3(‬ ‫‪ .C‬דיפוזיית הנושאים‬ ‫• הגדרה:‬ ‫דיפוזיה הוא תהליך של תנועת חלקיקים עקב הופעת גרדיאנט מרחבי‬ ‫של ריכוזיהם.‬ ‫פיזיקאלית החלקיקים שואפים להתפלג אחיד במרחב, כתוצאה מתנועת‬ ‫החלקיקים יהיה זרם חלקיקים שנקרא זרם דיפוזיה.‬ ‫• במל"מ:‬ ‫תהליך הדיפוזיה הוא של חלקיקים נושאי מטען שהם אלקטרונים‬ ‫וחורים, כתוצאה מתנועת המטען יזרום זרם חשמלי שייקרא זרם‬ ‫דיפוזיה.‬ ‫3‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫הגדרת השטף )‪ - (Φ‬מספר‬ ‫חלקיקים שעוברים דרך יחידת שטח‬ ‫)‪ (S‬ביחידת זמן.‬ ‫חוק פיק )‪:(Fick's first law‬‬ ‫גרדיאנט בריכוזי החלקיקים יגרום‬ ‫לשטף חלקיקים היחסי לגרדיאנט‬ ‫הריכוזים.‬ ‫לכן:‬ ‫‪- D‬מקדם הדיפוזיה‬ ‫)‪dN(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫4‬ ‫)‪N(x‬‬ ‫ריכוז‬ ‫החלקיקים‬ ‫מרחק ‪x‬‬ ‫‪Φ‬‬ ‫כיוון תנועת החלקיקים‬ ‫)‪dN(x‬‬ ‫חלקיקים‬ ‫‪Φ = −D‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫2‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪cm ⋅ Sec‬‬ ‫-גרדיאנט הריכוזים‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫כאמור, במל"מ הדיפוזיה היא של נושאי מטען - אלקטרונים וחורים.‬ ‫אם לאורך הפיסה יש ריכוז לא אחיד של אלקטרונים או חורים‬ ‫כמתואר בציור,‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫שטף הנושאים יהיה שמאלה‬ ‫ויזרום זרם דיפוזיית אלקטרונים‬ ‫או חורים בכיוון )קוטביות( כמתואר‬ ‫בציור:‬ ‫או )‪n(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Φn , Φ p‬‬ ‫כיוון תנועת אלקטרונים או חורים‬ ‫דיפוזיה ‪Jp‬‬ ‫דיפוזיה ‪Jn‬‬ ‫• לשים לב! זרם החורים הוא בכיוון תנועתם וזרם האלקטרונים בכיוון‬ ‫הפוך מכיוון תנועתם.‬ ‫5‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)‪ p(x‬או )‪n(x‬‬ ‫)‪dN(x‬‬ ‫חלקיקים‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪Φ = −D‬‬ ‫2‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪cm ⋅ Sec‬‬ ‫‪x‬‬ ‫זרם דיפוזיה:‬ ‫‪Φn , Φp‬‬ ‫‪Jn‬‬ ‫‪Jp‬‬ ‫צפיפות זרם‬ ‫דיפוזיית אלקטרונים‬ ‫)‪dn(x‬‬ ‫‪(1a) J n (x) = − q ⋅ Φn (x) = q ⋅ Dn‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫צפיפות זרם‬ ‫דיפוזיית חורים‬ ‫)‪dp(x‬‬ ‫‪(1b) J p (x) = q ⋅ Φ p (x) = − q ⋅ D p‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ישנו מקדם שלילי ב )‪ Jp(x‬כי הזרם בכיוון ‪.- x‬‬ ‫6‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)‪dN(x‬‬ ‫חלקיקים‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪Φ = −D‬‬ ‫2‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪cm ⋅ Sec‬‬ ‫מקדם הדיפוזיה ‪:D‬‬ ‫מקדם הדיפוזיה תלוי בסוג נושאי המטען - חורים או אלקטרונים, וגם‬ ‫בחומר עצמו.‬ ‫ערכים אופייניים:‬ ‫2 ‪cm‬‬ ‫‪Sec‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫‪Dn‬‬ ‫5. 21‬ ‫01‬ ‫מקדם דיפוזיה‬ ‫53‬ ‫022‬ ‫חומר‬ ‫‪Si‬‬ ‫‪G aAs‬‬ ‫ניתן להראות )נוכיח בהמשך( כי מתקיים היחס:‬ ‫יחסי איינשטיין‬ ‫7‬ ‫‪D n D p KT‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫620.0 =‬ ‫‪µn‬‬ ‫‪µp‬‬ ‫‪q‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫‪Dn µ n‬‬ ‫=‬ ‫,‬ ‫‪Dp µ p‬‬ ‫‪ .D‬דיפוזיה וסחיפה יחד‬ ‫נטפל במל"מ שמתרחשים בו 2 תהליכים בו-זמנית:‬ ‫תהליך דיפוזיה ותהליך סחיפה. יתרחש כאשר בפיסה קיים גם גרדיאנט‬ ‫ריכוזים וגם שדה חשמלי.‬ ‫לדוגמא: פיסת מל"מ שקיים בה גרדיאנט ריכוזים )‪ p(x‬ו )‪, n(x‬‬ ‫לכן בפיסה יהיה תהליך דיפוזיה. אם בנוסף נניח שבפיסה קיים שדה חשמלי‬ ‫כתוצאה יהיה גם זרם סחיפת אלקטרונים וחורים. סה"כ הזרם יהיה מורכב‬ ‫מסחיפה ודיפוזיה של אלקטרונים וחורים.‬ ‫)‪E(x‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪x‬‬ ‫8‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)‪J(x‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫)‪n(x‬‬ ‫‪J‬‬ ‫)‪E(x‬‬ ‫)‪J(x‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫)‪n(x‬‬ ‫‪J‬‬ ‫מתקבלות הנוסחאות הבאות:‬ ‫צפיפות זרם כללית:‬ ‫דיפוזיה‬ ‫דיפוזיה‬ ‫‪J‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪J(x) = J n (x) + J p (x‬‬ ‫)‪+ J n (x‬‬ ‫סחיפה‬ ‫)‪J p (x‬‬ ‫+ סחיפה‬ ‫)‪(x) = J n (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(x) = J p (x‬‬ ‫‪p‬‬ ‫)‪(2a‬‬ ‫‪J‬‬ ‫)‪(2b‬‬ ‫‪J‬‬ ‫)‪(2c‬‬ ‫נציב את מרכיבי זרם סחיפה ודיפוזיה ונקבל:‬ ‫צפיפות זרם‬ ‫אלקטרונים‬ ‫)‪(2d‬‬ ‫צפיפות זרם‬ ‫חורים‬ ‫9‬ ‫)‪dn(x‬‬ ‫‪J n (x) = q ⋅ µn ⋅ n(x) ⋅ E(x) + q ⋅ Dn‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪dp(x‬‬ ‫‪J p (x) = q ⋅ µ p ⋅ p(x) ⋅ E(x) − q ⋅ D p‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪(2e‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫בשיווי משקל אין מתח חיצוני וגם הזרם הכללי הוא אפס.‬ ‫בנוסף, סה"כ זרם האלקטרונים הוא אפס וסה"כ זרם החורים הוא אפס.‬ ‫אם נציב אפס בנוסחה:‬ ‫)‪dn(x‬‬ ‫0=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪J n (x) = q ⋅ µn ⋅ n(x) ⋅ E(x) + q ⋅ Dn‬‬ ‫)‪(2d‬‬ ‫)‪Dn 1 dn(x‬‬ ‫ = )‪E(x‬‬‫⋅‬ ‫⋅‬ ‫‪µn n(x) dx‬‬ ‫)‪(3a‬‬ ‫נקבל:‬ ‫ובאופן דומה מ-)‪ (2c‬נקבל:‬ ‫)‪1 dp(x‬‬ ‫⋅‬ ‫‪p(x) dx‬‬ ‫01‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫⋅‬ ‫‪Dp‬‬ ‫‪µp‬‬ ‫= )‪E(x‬‬ ‫)‪(3b‬‬ ‫• הערה:‬ ‫נוסחה )3( מתארת תופעה מעניינת, שגם ללא הפעלת מתח חיצוני יהיה‬ ‫בתוך הפיסה שדה חשמלי פנימי. שדה זה נגרם מעצם הופעת גרדיאנט‬ ‫הריכוזים.‬ ‫)‪Dn 1 dn(x‬‬ ‫ = )‪E(x‬‬‫⋅‬ ‫⋅‬ ‫‪µn n(x) dx‬‬ ‫)‪(3a‬‬ ‫• מסקנה:‬ ‫בשיווי משקל אם קיים בפיסה פילוג לא אחיד של ריכוזים אזי יווצר‬ ‫שדה חשמלי פנימי.‬ ‫11‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫נתונה פיסת מל"מ בטמפטורת החדר המזוהמת באופן לא אחיד לפי‬ ‫3− דוגמא‬ ‫‪−ax‬‬ ‫‪Nd (x)= N0 ⋅ e cm‬‬ ‫‪Nd (x) >> ni‬‬ ‫הנח שבכל מרחב הפיסה‬ ‫חשב את השדה הפנימי וצייר את פסי האנרגיה.‬ ‫)‪x(cm‬‬ ‫−‬ ‫] 3 ‪Nd (x)[cm‬‬ ‫‪n0 ≈ N0 ⋅ e−ax‬‬ ‫)‪x(cm‬‬ ‫21‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫0‪N‬‬ ‫3− ‪N d (x) = N 0 ⋅ e − ax cm‬‬ ‫נשתמש בנוסחה )‪ (3a‬ונקבל )תרגיל בית מס' 4(:‬ ‫)‪Dn 1 dn(x‬‬ ‫‪Dn‬‬ ‫ = )‪(3a) E(x‬‬‫⋅‬ ‫⋅‬ ‫=)‪(4) E(x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪µn n(x) dx‬‬ ‫‪µn‬‬ ‫‪V‬‬ ‫)‬ ‫‪cm‬‬ ‫(‪E‬‬ ‫‪Dn‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪µn‬‬ ‫כלומר, במקרה שבו יש גרדיאנט ריכוזים דועך‬ ‫אקספוננציאלית, השדה החשמלי קבוע.‬ ‫)‪x(cm‬‬ ‫ציור פסי האנרגיה: מאחר והפיסה בשיווי משקל,‬ ‫רמת פרמי תהיה אופקית,‬ ‫בצד 0=‪ x‬ריכוז האלקטרונים גבוה מב- 0>‪x‬‬ ‫ולכן פס ההולכה קרוב לרמת פרמי בצד 0=‪x‬‬ ‫ויתרחק ככל ש ‪ x‬יגדל.‬ ‫31‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫‪Ef‬‬ ‫‪Ec‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫‪Ev‬‬ ‫הסבר פיזיקלי:‬ ‫בגלל הפילוג הלא אחיד של אלקטרונים, הם ינועו ימינה בתהליך‬ ‫דיפוזיה.‬ ‫לכן בקצה הימני של הפיסה יהיה עודף מטען שלילי ובקצה השמאלי יהיה‬ ‫עודף מטען חיובי )יונים של תורמים שנוצרו עקב עזיבת האלקטרונים(.‬ ‫לכן יווצר שדה חשמלי בכיוון ימינה,‬ ‫כתוצאה מכך יהיה תהליך סחיפת אלקטרונים שמאלה.‬ ‫בשיווי משקל שני התהליכים שווים.‬ ‫)כך קיבלנו את נוסחה‬ ‫)‪.((3a‬‬ ‫‪E‬‬ ‫דיפוזיה‬ ‫סחיפה‬ ‫41‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫+‬ ‫‪+e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫יחסי איינשטיין‬ ‫איינשטיין מצא כי במל"מ מתקיים היחס:‬ ‫‪Dn KT‬‬ ‫=‬ ‫‪µn‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫‪KT‬‬ ‫=‬ ‫‪µp‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)‪(5a‬‬ ‫)‪(5b‬‬ ‫כלומר היחס בין מקדם הדיפוזיה לניידות הוא קבוע.‬ ‫הוכחה:‬ ‫‪Ep‬‬ ‫א. תכונות בסיסיות:‬ ‫‪dV 1 dE p‬‬ ‫−= ‪V‬‬ ‫− = )‪ε(x‬‬ ‫⋅=‬ ‫‪q‬‬ ‫‪dx q dx‬‬ ‫ב. במל"מ התנהגות האנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון‬ ‫‪e‬‬ ‫מתוארת ע"י ‪:Ec‬‬ ‫‪1 dEc‬‬ ‫⋅ = )‪ε(x‬‬ ‫‪q dx‬‬ ‫51‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫‪Ec‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫‪Ev‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪Ec‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫‪Ev‬‬ ‫‪ Ec =Ei+0.5Eg‬ולכן :‬ ‫‪1 dEc‬‬ ‫⋅‬ ‫‪q dx‬‬ ‫‪1 dEi‬‬ ‫⋅‬ ‫‪q dx‬‬ ‫= )‪⇐ ε(x‬‬ ‫= )‪(*) ε(x‬‬ ‫נחשב את השדה עבור הדוגמא הקודמת, כאשר היה פילוג ‪n0 = N 0 ⋅ e − ax‬‬ ‫)‪E f − E i (x‬‬ ‫נשתמש ב:‬ ‫‪KT‬‬ ‫נציב לתוך )*( , נגזור ונקבל:‬ ‫‪1 dE i KT‬‬ ‫⋅ = )‪ε(x‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q dx‬‬ ‫‪q‬‬ ‫נשווה בין )4( ו )5( ונקבל:‬ ‫‪Dn‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪µn‬‬ ‫61‬ ‫‪n0 = ni ⋅ e‬‬ ‫)4(‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫‪Dn KT‬‬ ‫=‬ ‫‪µn‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)5(‬ ‪ .E‬משוואת הרציפות‬ ‫א. מבוא‬ ‫בסעיף זה נטפל במקרה בו מתרחשים בו-זמנית 3 תהליכים:‬ ‫סחיפה, דיפוזיה וייצור ואיחוד.‬ ‫המשוואה המתארת את תלות ריכוז נושאי המטען כאשר מתרחשים שלושת‬ ‫התהליכים נקראת משוואת הרציפות.‬ ‫בתחילה נקבל את משוואת הרציפות,‬ ‫אח"כ נטפל במקרה פרטי שבו תהליך הסחיפה הוא זניח ובנוסף תהליך‬ ‫הייצור הוא רק תרמי )לא מאירים על הפיסה(, כלומר קיימים רק שני‬ ‫תהליכים: דיפוזיה ואיחוד )וייצור תרמי(.‬ ‫המשוואה המתארת את מקרה זה, נקראת משוואת הדיפוזיה.‬ ‫71‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫בשלב הבא, נדון במקרה הפרטי כאשר קיים מצב יציב -‬ ‫כלומר אין תלות בזמן )ריכוז נושאי המטען תלוי רק במקום( והמשוואה‬ ‫תקרא: משוואת דיפוזיה במצב היציב.‬ ‫ב. תיאור וקבלת המשוואה:‬ ‫נטפל בחומר סוג ‪ , n‬ולכן יעניינו אותנו נושאי המיעוט שהם חורים.‬ ‫)באופן דומה ניתן לטפל בחומר סוג ‪ p‬כאשר נושאי המיעוט הם אלקטרונים(.‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ - G‬ייצור זוג אלקטרון-חור‬ ‫‪ - R‬איחוד זוג אלקטרון-חור‬ ‫81‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)‪J p (x + ∆x‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)‪J p (x‬‬ ‫נסתכל על יחידת נפח בגודל‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪A ⋅: ∆x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בתוכה קיים תהליך ייצור )‪ (G‬שבו‬ ‫נוצרים זוגות אלקטרון-חור,‬ ‫ואיחוד )‪ (R‬שבו מתאחדים ונעלמים‬ ‫זוגות אלקטרון-חור.‬ ‫)‪J p (x + ∆ x‬‬ ‫‪G‬‬ ‫)‪J p (x‬‬ ‫‪R‬‬ ‫נניח שזרם החורים הנכנס שונה מהיוצא, ולכן שינוי ריכוז החורים‬ ‫בזמן ביחידת נפח נתון כ:‬ ‫קצב‬ ‫קצב‬ ‫קצב‬ ‫קצב שינוי‬ ‫קצב‬ ‫חורים - חורים + חורים - חורים = חורים בנפח‬ ‫‪A ⋅ ∆x‬‬ ‫נכ נ ס‬ ‫שאוחדו שנוצרו יוצא‬ ‫‪∂p‬‬ ‫)‪A ⋅ ∆x = Φ(x) ⋅ A − Φ(x + ∆x) ⋅ A + G(A ⋅ ∆x) − R(A ⋅ ∆x‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫91‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)6(‬ ‫‪∂p‬‬ ‫)‪A ⋅ ∆x = Φ(x) ⋅ A − Φ(x + ∆x) ⋅ A + G(A ⋅ ∆x) − R(A ⋅ ∆x‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫נחלק את הנוסחה )6( ב ‪ A ⋅ ∆x‬ונקבל:‬ ‫)6(‬ ‫)‪Φ p (x + ∆x) − Φ p (x‬‬ ‫)‪∂p(x, t‬‬ ‫)7(‬ ‫−=‬ ‫‪+G − R‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫נשאיף את ‪ ∆x‬ל- 0 ונקבל:‬ ‫0 → ‪∆x‬‬ ‫⇓‬ ‫משוואת הרציפות:‬ ‫02‬ ‫)‪∂Φ p (x, t‬‬ ‫)‪∂p(x, t‬‬ ‫‪+G − R‬‬ ‫−=‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)‪(7a‬‬ ‫)‪∂Φ p (x, t‬‬ ‫)‪∂p(x, t‬‬ ‫−=‬ ‫‪+G − R‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫)‪(7a‬‬ ‫‪ .F‬משוואת דיפוזיה‬ ‫משוואת דיפוזיה היא מקרה פרטי של משוואת הרציפות:‬ ‫בתנאים הבאים:‬ ‫א. נזניח את זרם הסחיפה ולכן הזרם יהיה בעיקר זרם דיפוזיה:‬ ‫)‪dp(x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪Φ p (x) = − D p‬‬ ‫‪G = Gth‬‬ ‫ב. נניח שקיים רק ייצור תרמי:‬ ‫ג. נניח הזרקה נוכה:‬ ‫0‪δp(x, t) << n‬‬ ‫)‪p(x, t) = p0 + δp(x, t‬‬ ‫12‬ ‫)1‪(F‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)2‪(F‬‬ ‫ד. בהרצאה הקודמת ראינו כי תחת ההנחות ב' וג' )כאשר יש רק ייצור תרמי‬ ‫ובהזרקה נמוכה( קיבלנו את נוסחה : )‪(17a‬‬ ‫))‪∂ ( δp(x, t‬‬ ‫)‪δp(x, t‬‬ ‫−=‬ ‫‪= G th − R‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪τp‬‬ ‫)3‪(F‬‬ ‫נציב את )1‪ ,(F3), (F2), (F‬לתוך )7(, ונקבל:‬ ‫))‪∂ 2 ( δp(x, t)) δp(x, t) ∂ ( δp(x, t‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫−‬ ‫=‬ ‫2‬ ‫‪τp‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫כלומר, עודף ריכוז החורים תלוי גם במקום וגם בזמן.‬ ‫22‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)8(‬ ‫))‪∂ 2 ( δ p(x, t‬‬ ‫)‪δp(x, t‬‬ ‫))‪∂ ( δ p(x, t‬‬ ‫−‬ ‫=‬ ‫‪τp‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫2 ‪∂x‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪D‬‬ ‫)8(‬ ‫‪ .G‬משוואת דיפוזיה במצב היציב‬ ‫משוואת הדיפוזיה עבור מקרה יציב, כלומר כאשר אין תלות ריכוז נושאים‬ ‫בזמן, נקראת משוואת דיפוזיה במצב היציב.‬ ‫))‪∂ ( δp(x, t‬‬ ‫לכן נציב 0 =‬ ‫‪∂t‬‬ ‫)9( ונקבל:‬ ‫‪d 2 ( δp) δp‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫−‬ ‫0=‬ ‫2‬ ‫‪τp‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪d 2 ( δp‬‬ ‫‪δp‬‬ ‫‪δp‬‬ ‫=‬ ‫2=‬ ‫‪D pτ p Lp‬‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫נגדיר:‬ ‫אורך דיפוזיית חורים‬ ‫)‪(cm‬‬ ‫32‬ ‫)‪(11a‬‬ ‫‪Lp = Dp ⋅ τp‬‬ ‫אורך דיפוזיה - הוא האורך הממוצע שבו נושא מטען נע עד לאיחודו‬ ‫)או עד היעלמותו(.‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)01(‬ ‫באופן דומה עבור אלקטרונים‬ ‫בחומר ‪p‬‬ ‫)‪d 2 ( δn‬‬ ‫‪δn‬‬ ‫‪δn‬‬ ‫=‬ ‫2=‬ ‫2‬ ‫‪Dn τ n Ln‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪(11b‬‬ ‫נגדיר:‬ ‫אורך דיפוזיית אלקטרונים )‪(cm‬‬ ‫‪Ln = Dn ⋅ τ n‬‬ ‫אורך דיפוזיה - הוא האורך הממוצע שבו נושא מטען נע עד לאיחודו‬ ‫)או עד היעלמותו(.‬ ‫42‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫‪d 2δp‬‬ ‫‪δp‬‬ ‫−‬ ‫0=‬ ‫‪τp‬‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫משוואת הדיפוזיה במצב היציב:‬ ‫‪p‬‬ ‫‪D‬‬ ‫תכונות המשוואה‬ ‫א. קיימת רציפות מרחבית של עודף ריכוז הנושאים:‬ ‫) − ‪δn(x + ) = δn(x‬‬ ‫, ) − ‪δp(x + ) = δp(x‬‬ ‫ב. קיימת רציפות מרחבית של צפיפות זרם הדיפוזיה או בשטף:‬ ‫) − ‪J n (x + ) = J n (x‬‬ ‫)‪dδn(x‬‬ ‫)‪dδn(x‬‬ ‫‪Dn‬‬ ‫‪= Dn‬‬ ‫+ ‪dx x‬‬ ‫− ‪dx x‬‬ ‫עבור ‪τ p‬סופי הפתרון יהיה מהצורה:‬ ‫52‬ ‫,‬ ‫,‬ ‫) − ‪J p (x + ) = J p (x‬‬ ‫)‪dδp(x‬‬ ‫)‪dδp(x‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫‪= Dp‬‬ ‫− ‪dx x‬‬ ‫+ ‪dx x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫‪+ c2e‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫‪δp(x) = c 1 e‬‬ ‫דוגמא א'‬ ‫נתונה פיסת סיליקון מסוג ‪ n‬חצי אינסופית וריכוז התורמים‬ ‫3− ‪ , N d = 2.25 ⋅ 10 15 cm‬הפיסה נמצאת בטמפרטורת החדר.‬ ‫על משטח הפיסה, ב 0=‪ , x‬מזריקים במצב יציב )או יוצרים אופטית בקצב‬ ‫.‬ ‫קבוע( חורים ואלקטרונים בריכוז ‫01‬ ‫3-‬ ‫) ‪(cm‬‬ ‫01 = ‪∆p = ∆n‬‬ ‫חשב את ריכוז עודף החורים לאורך הפיסה וצפיפות זרם החורים לאורך‬ ‫הפיסה.‬ ‫~‬ ‫~~‬ ‫~‬ ‫‪∆p = ∆n‬‬ ‫3- ‪10 10 cm‬‬ ‫62‬ ‫~‬ ‫~‬ ‫‪x‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫~‬ ‫~~‬ ‫~‬ ‫פתרון:‬ ‫א. נשתמש במשוואת הדיפוזיה‬ ‫‪∆p = ∆n‬‬ ‫3- ‪10 10 cm‬‬ ‫)‪(11a‬‬ ‫,‬ ‫~‬ ‫~‬ ‫‪x‬‬ ‫‪d 2 δ p δp‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫−‬ ‫0=‬ ‫2‬ ‫‪τp‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫משוואת הדיפוזיה במצב היציב:‬ ‫כלומר מניחים:‬ ‫1. אין תלות בזמן )מצב יציב(.‬ ‫2. הזרקה נמוכה‬ ‫) 0 ‪( ∆p = 10 10 << 2.25 ⋅ 10 15 = n‬‬ ‫3. מזניחים את זרם הסחיפה.‬ ‫4. הייצור בתוך הפיסה רק תרמי.‬ ‫הפתרון יהיה מהצורה:‬ ‫72‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫‪+ c2 e‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫‪δp(x) = c1e‬‬ ‫~‬ ‫~~‬ ‫~‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫‪∆p = ∆n‬‬ ‫3-‪1010 cm‬‬ ‫~‬ ‫~‬ ‫‪x‬‬ ‫תנאי התחלה 1:‬ ‫תנאי התחלה 2: 0 = 2 ‪c‬‬ ‫‪+ c2 e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫)אחרת האקספוננט יגיע לאינסוף(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫) 3 - ‪(cm‬‬ ‫82‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫‪δp(x) = c1e‬‬ ‫3− ‪δp(x = 0) = ∆p = 10 10 cm‬‬ ‫נציב את תנאי ההתחלה במשוואה ונקבל:‬ ‫ב. ריכוז החורים:‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫01 01 = ‪c1 = ∆p‬‬ ‫‪= 10 10 ⋅ e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫‪δp(x) = ∆p ⋅ e‬‬ ‫2‪ni‬‬ ‫= )‪+ δp(x‬‬ ‫= )‪p(x) = p0 + δp(x‬‬ ‫0‪n‬‬ ‫‪= 10 5 + 10 10 ⋅ e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫02‬ ‫01 ⋅ 52.2‬ ‫‪+ 10 10 ⋅ e‬‬ ‫51 01 ⋅ 52.2‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫‪∆p = ∆n‬‬ ‫3-‪1010 cm‬‬ ‫‪δp(x) = ∆p ⋅ e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫~‬ ‫~‬ ‫) 3 - ‪(cm‬‬ ‫‪= 10 10 ⋅ e‬‬ ‫~‬ ‫~~‬ ‫~‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫‪p(x) = p 0 + δp(x) = 105 + 1010 ⋅ e‬‬ ‫01 01 ≈‬ ‫5 01‬ ‫)‪x (cm‬‬ ‫)‪ n(x‬או )‪p(x‬‬ ‫)‪n(x‬‬ ‫)‪ n(x‬כמעט לא מושפע,‬ ‫אבל )‪ p(x‬משתנה משמעותית.‬ ‫0‪n‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫0‪p‬‬ ‫)‪x (cm‬‬ ‫92‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫61 01‬ ‫51 01‬ ‫01 01‬ ‫5 01‬ ‫ג. צפיפות זרם הדיפוזיה:‬ ‫‪A‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫2‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫−‬ ‫‪= 10 10 ⋅ e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫‪dδp‬‬ ‫‪=q‬‬ ‫‪∆p ⋅ e‬‬ ‫‪J p (x) = − qD p‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ד. תיאור גרפי:‬ ‫−‬ ‫‪δp(x) = ∆p ⋅ e‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫01 01 ≈‬ ‫)‪x (cm‬‬ ‫5 01‬ ‫)‪J p (x‬‬ ‫‪∆p‬‬ ‫הזרם הנכנס גדול מהיוצא‬ ‫)כי כל הזמן יש איחוד(‬ ‫)‪x (cm‬‬ ‫תכונת – השטף:‬ ‫03‬ ‫)‪(1b) J p (x) = q ⋅ Φp (x‬‬ ‫0 = )∞( ‪Φ p (0) = constant Φ p‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫‪Dp‬‬ ‫‪Lp‬‬ ‫‪J p (x = 0) = q‬‬ ‫דוגמאות - מיקרים שונים:‬ ‫1( פיסה ‪N‬חצ אינסופית שמאירים עליה בקצב קבוע בקצה)כמו דוגמא א'(:‬ ‫משוואת הדיפוזיה במצב היציב:‬ ‫‪δp‬‬ ‫0=‬ ‫‪τp‬‬ ‫−‬ ‫‪d 2 δp‬‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫0 = )∞( ‪δp (0) = ∆p , δp‬‬ ‫תנאי השפה הם:‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪δp (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫0 = )∞( ‪Φ p (0) = constant Φ p‬‬ ‫כתוצאה – השטף:‬ ‫)‪dp(x‬‬ ‫‪(1b) J p (x) = q ⋅ Φ p (x) = − q ⋅ D p‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫13‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)‪Φ p (x‬‬ ‫2( פיסה סופית שמאירים עליה בקצה:‬ ‫תנאי השפה הם:‬ ‫‪δ p (0) = ∆p , Φ p (0) = constant‬‬ ‫0 = ) +‪Φ p (L-) = Φ p (L‬‬ ‫וכן‬ ‫‪x‬‬ ‫‪L‬‬ ‫)‪δ p (x‬‬ ‫נקודת מינימום‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪Φ p (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫23‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫3( צירוף של שתי פיסות, פיסה אחת סופית באורך ‪ L‬והשנייה‬ ‫אינסופית, ימאירים בקצה:‬ ‫תנאי השפה הם:‬ ‫וכן‬ ‫‪δ p (0) = ∆p , Φ p (0) = constant‬‬ ‫) +‪δ p (∞) = 0 , δ p (L-) = δ p (L+ ) , Φ p (L-) = Φ p (L‬‬ ‫2‪τ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫1‪τ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫רציפות בנגזרת‬ ‫)‪δ p (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪Φ p (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫33‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫4( צירוף של שתי פיסות, פיסה אחת סופית והשנייה בעלת זמן חיים‬ ‫ייייאפס, מאירים בקצה:‬ ‫משמעות זמן חיים אפס: איחוד מיידי. אין עודף נושאים ולכן מניחים‬ ‫כי גם צפיפות זרם היא אפס. )מקרה מעשי שהפיסה מתכת.(‬ ‫0 = 2‪τ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫תנאי השפה הם:‬ ‫וכן‬ ‫∞ < 1‪0 < τ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪δ p (0) = ∆p , Φ p (0) = constant‬‬ ‫0 = ) +‪δ p (L-) = δ p (L+ ) = 0 , Φ p (L‬‬ ‫הערה:‬ ‫במצב זה ) + ‪Φ p (L-) ≠ Φ p (L‬‬ ‫מכיוון שיש רקומבינציה אינסופית בדופן בין‬ ‫-‪ L‬לבין +‪.L‬‬ ‫)‪δ p (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫43‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫)‪Φ p (x‬‬ ‫‪ .5A‬זמן חיים של נושאי מיעוט )חורים בחומר ‪ N‬או אלקטרונים‬ ‫בחומר ‪ (P‬הוא אינסופי. משמעות פיסיקלית שאין איחוד.‬ ‫משוואת הדיפוזיה במצב היציב:‬ ‫במקרה בו ∞ = ‪ , τ p‬נקבל:‬ ‫‪δp‬‬ ‫0=‬ ‫‪τp‬‬ ‫−‬ ‫‪d 2 δp‬‬ ‫2 ‪dx‬‬ ‫‪Dp‬‬ ‫‪δ p (x) = Ax + B‬‬ ‫הערה 1: פתרון דומה קיים כאשר מרחק הדיפוזיה ‪ Lp‬גדול בהרבה‬ ‫מגודל הפיסה )או זמן חיים גדול מאוד( ואז עבור הפתרון‬ ‫האקספוננציאלי ניתן להשתמש בקירוב טיילור מסדר ראשון. כתוצאה‬ ‫נקבל שוב פילוג ליניארי.‬ ‫הערה 2: פיסיקלית המקרה קיים כאשר אורך הפיסה סופי.‬ ‫53‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫5( צירוף של שתי פיסות, פיסה אחת סופית ובעלת זמן חיים אינסופי‬ ‫ייייוהשנייה בעלת זמן חיים אפס, מאירים בקצה:‬ ‫‪δ p (0) = ∆p , Φ p (0) = constant‬‬ ‫תנאי השפה הם:‬ ‫וכן‬ ‫0 = ) +‪δ p (L-) = δ p (L+ ) = 0 , Φ p (L‬‬ ‫0 = 2‪τ‬‬ ‫∞ = 1‪τ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הערה:‬ ‫במצב זה ) + ‪Φ p (L-) ≠ Φ p (L‬‬ ‫מכיוון שיש רקומביניה אינסופית בדופן‬ ‫בין -‪ L‬לבין +‪.L‬‬ ‫)‪δ p (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪Φ p (x‬‬ ‫הערה: דוגמא זו דומה לקודמת רק‬ ‫הפילוג שונה.‬ ‫‪x‬‬ ‫63‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫דוגמא ג'‬ ‫הראה כי הטיפול במשוואת הרציפות וכתוצאה גם במשוואת הדיפוזיה‬ ‫הוא דרך נושאי המיעוט.‬ ‫הוכחה: עבור פיסה סוג ‪ .N‬כיוון שהפיסה לא מחוברת למקור מתח, לא‬ ‫זורם דרכה זרם. לכן זרם האלקטרונים שווה לזרם החורים.‬ ‫דיפוזיה )‪ + J p (x‬סחיפה )‪ = J p (x‬דיפוזיה )‪+ J n (x‬‬ ‫ריכוז האלקטרונים )נושאי הרוב( גדול בהרבה מריכוז החורים )נושאי‬ ‫המיעוט(, לכן זרם הסחיפה של חורים זניח.‬ ‫סחיפה‬ ‫)‪J n (x‬‬ ‫כתוצאה מכך, זרם החורים הוא בעיקר זרם דיפוזיה, וזרם האלקטרונים‬ ‫מורכב גם מזרם דיפוזיה וגם מזרם סחיפה.‬ ‫לכן עדיף לפתור את משוואת הרציפות עבור חורים. בגלל שההארה קבועה,‬ ‫ובגלל שהזרם הוא דיפוזיה נקבל משוואת דיפוזיה במצב המתמיד.‬ ‫73‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ‫תכונה נוספת:‬ ‫הפיסה מזוהמת בריכוז גבוה, ולכן התנגדותה נמוכה והשדות החשמליים‬ ‫הנוצרים בה קטנים.‬ ‫כיוון שהשדות קטנים, הפרת הנייטרליות החשמלית קטנה מאוד ולכן נוכל‬ ‫להניח:‬ ‫)‪δ n (x) ≅ δ p (x‬‬ ‫מסקנות:‬ ‫א( נושאי המיעוט מקיימים את משוואת הדיפוזיה.‬ ‫ב( ריכוז נושאי הרוב נקבע בהתאם לריכוז נושאי המיעוט.‬ ‫ג( שטף הסחיפה+שטף הדיפוזיה של נושאי הרוב שווה לשטף הדיפוזיה של‬ ‫יייינושאי המיעוט.‬ ‫83‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - פרופ' שלמה הבא‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/14/2012 for the course ELECTRICAL 361.1.2171 taught by Professor Prof.shlomohava during the Winter '10 term at Ben-Gurion University.

Ask a homework question - tutors are online