lecture9-2009 - ‫הרצאה 9‬ ‫הטרנזיסטור...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫הרצאה 9‬ ‫הטרנזיסטור הביפולרי ‪BJT‬‬ ‫א. מבוא‬ ‫ב. מבנה וסימון חשמלי‬ ‫ג. עיקרון פעולה פיסיקלי - מבוא, תיאור איכותי לחיבור כמגבר זרם,‬ ‫תאור תהליכי זרימה, תכונות.‬ ‫ד. משוואות זרמי טרנזיסטור‬ ‫ה. זרם זליגה‬ ‫ו. פיתוח מרכיבי הזרם‬ ‫ז. אופיין כניסה ומוצא בחיבור אמיטר משותף - אופיין כניסה, אופיין מוצא.‬ ‫ח. סכמת תמורה - בתחום הפעיל, בתחום הרוויה.‬ ‫ט. מודל אברס-מול ‪ - Ebers-Moll‬מבוא, משוואות זרם ומתח.‬ ‫1‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫א. מבוא‬ ‫טרנזיסטור צומת בי-פולרי‬ ‫‪.Bipolar Junction Transistor‬‬ ‫טרנזיסטור זה משמש בעיקר למעגלי הגברה אנלוגיים כרכיב בדיד או‬ ‫במעגל משולב )‪.(Integrated Circuit - IC‬‬ ‫הערה: סוג נוסף של טרנזיסטורים שנלמד בהמשך, הוא ‪. FET‬‬ ‫קיימות שתי קבוצות: א. ‪ JFET‬לשימוש אנלוגי וספרתי.‬ ‫ב. ‪ MOSFET‬בעיקר לשימוש ספרתי.‬ ‫לטרנזיסטור זה ליניאריות טובה לאותות אנלוגיים.‬ ‫הומצא בשנת 8491 ע"י ‪ Bardeen,Brattain,Shockley‬במעבדות‬ ‫חברת הטלפונים בל )‪ (Bell Labs‬בארה"ב.‬ ‫2‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫הטרנזיסטור הראשון‬ 1947 @ Bell Labs Point contact transistor ‫“ להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬The Crystal Triode” ‫מבוא‬ 3 ‫הטרנזיסטור הביפולרי הוא רכיב בעל 3 הדקים, כאשר זרם דרך שני‬ ‫הדקים מבוקר ע"י הזרם בהדק השלישי.‬ ‫2‪I‬‬ ‫זרמים 1‪ I‬ו 3‪ I‬מבוקרים ע"י הזרם 2‪. I‬‬ ‫1‪I‬‬ ‫3‪I‬‬ ‫במקור שם הטרנזיסטור נגזר מהמילים ‪ Transfer Resistor‬או מעביר‬ ‫התנגדות והוא התייחס לטרנזיסטור תופעת השדה.‬ ‫הטרנזיסטור הביפולרי נולד מאוחר יותר ופעולתו ידועה כהגברת זרם.‬ ‫4‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫ב. מבנה וסימון חשמלי‬ ‫נבחין בשני סוגי טרנזיסטור:‬ ‫‪npn‬‬ ‫‪Collector‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪pnp‬‬ ‫‪Emitter‬‬ ‫‪n+ p‬‬ ‫קולט‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p+ n‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫) ( ‪IC‬‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪IB‬‬ ‫) ( ‪IC‬‬ ‫)‬ ‫‪p‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪n‬‬ ‫+‪p‬‬ ‫+‪n‬‬ ‫) (‪I E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫כיוון מוסכם: כל הזרמים נכנסים‬ ‫הכיוון המעשי: מסומן בסוגריים )כיוון זרימת האלקטרונים(‬ ‫5‬ ‫פולט‬ ‫‪ B‬בסיס‬ ‫‪Base‬‬ ‫) (‪I E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫(‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫שיטה למציאת כיוון הזרם המעשי:‬ ‫כיוון החץ המסומן על הדק ה ‪ Emitter‬מתאים לכיוון הזרם המעשי‬ ‫באמיטר. הזרם בהדקי ‪ B,C‬יזרום בכיוון הפוך מזרם האמיטר.‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫) ( ‪IC‬‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‬ ‫‪IB‬‬ ‫) ( ‪IC‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪n‬‬ ‫+‪p‬‬ ‫+‪n‬‬ ‫) (‪I E‬‬ ‫)‬ ‫) (‪I E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪NPN=Not Pointed In‬‬ ‫6‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר איל שליש‬ ‫(‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫סימון אלקטרוני:‬ ‫לרכיבים אלקטרונים נקבעה שיטת סימון לזיהויים.‬ ‫מספר קטלוגי של דיודות מתחיל בד"כ באותיות ......‪. 1N‬‬ ‫בטרנזיסטורי ‪ BJT‬המספרים הקטלוגיים מתחילים בקידומת ......‪. 2N‬‬ ‫הסוגים השימושיים ביותר:‬ ‫⎫ ‪2N2222A‬‬ ‫⎬‬ ‫⎭ 7092‪pnp 2N‬‬ ‫טרנזיסטורים‬ ‫משלימים‬ ‫⎫ 4093‪npn 2N‬‬ ‫⎬‬ ‫⎭ 6093‪pnp 2N‬‬ ‫טרנזיסטורים משלימים יהיו בד"כ בעלי פרמטרים קרובים כמו הגבר‬ ‫זרם או התנגדות וכו'.‬ ‫7‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪npn‬‬ ‫ג. עיקרון פעולה פיזיקלי‬ ‫ג.1 מבוא‬ ‫פשוט יותר להסביר את עיקרון הפעולה הפיזיקלי של טרנזיסטור מסוג ‪pnp‬‬ ‫כי עיקר הזרם בו הוא של חורים. כיוון תנועתם הוא ככיוון הזרם.‬ ‫לעומת זאת, קל יותר לנתח מעגל חשמלי עם טרנזיסטור ‪. npn‬‬ ‫מבחינת התכונות החשמליות )כמו, למשל, מהירות המיתוג( עדיף להשתמש‬ ‫בטרנזיסטור ‪ npn‬כי עיקר הזרם הוא של אלקטרונים )וניידות האלקטרונים‬ ‫גבוהה פי 5.2 מניידות החורים(.‬ ‫הטרנזיסטור הוא רכיב בעל 3 הדקים אך משתמשים בו כרשת זוגיים )4‬ ‫הדקים( ולכן הדק אחד של הטרנזיסטור חייב להיות משותף.‬ ‫8‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫כלומר ניתן להשתמש בטרנזיסטור ל- 3 אפשרויות חיבור:‬ ‫1. אמיטר משותף - ‪CE‬‬ ‫‪- Common Emitter‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הדקי‬ ‫מוצא‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫2. בסיס משותף - ‪CB‬‬ ‫‪- Common Base‬‬ ‫3. קולקטור משותף - ‪CC‬‬ ‫‪- Common Collector‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הדקי‬ ‫מוצא‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הדקי‬ ‫מוצא‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫9‬ ‫הדקי‬ ‫כניסה‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫הדקי‬ ‫כניסה‬ ‫הדקי‬ ‫כניסה‬ ‫ג.2 תיאור איכותי לחיבור טרנזיסטור כמגבר זרם:‬ ‫כאשר הטרנזיסטור מחובר בחיבור אמיטר משותף, ניתן לראותו כמגבר‬ ‫זרם.‬ ‫‪C‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫הדקי‬ ‫מוצא‬ ‫‪p‬‬ ‫+‪p‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הדקי‬ ‫כניסה‬ ‫כיווני הזרמים הם מוסכמים והפוכים מהכיוון הפיזיקלי.‬ ‫01‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪pnp‬‬ ‫תנאים לקיום הגברת זרם:‬ ‫קולט‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p+ n‬‬ ‫‪E‬‬ ‫פולט‬ ‫‪ B‬בסיס‬ ‫הטרנזיסטור יפעל כמגבר זרם רק כאשר תנאי הממתח יהיו:‬ ‫1. צומת אמיטר-בסיס בממתח קדמי ‪. VEB > 0.5V‬‬ ‫)אין משמעות למתח נמוך מזה שכן אז צומת ‪ EB‬במוליכות אפסית‬ ‫וניתן לומר שהיא לא מוליכה(‬ ‫2. צומת קולקטור-בסיס בממתח אחורי 0 < ‪. VCB‬‬ ‫בתנאים אלה הטרנזיסטור יפעל כמגבר זרם ונגדיר כי הוא נמצא בתחום‬ ‫עבודה )הפעלה( פעיל.‬ ‫11‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫ניתן להראות )נוכיח בהמשך( כי בקירוב יתקיים שהגבר זרם בחיבור‬ ‫אמיטר משותף נתון ע"י:‬ ‫‪ I‬זרם יציאה‬ ‫‪=β‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫=‬ ‫פרמטר ‪ β‬ניתן ע"י היצרן וערכו נמצא בתחום 05-005.‬ ‫לעיתים קרובות מסומן גם כ- ‪hFE‬‬ ‫21‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫זרם כניסה‬ ‫ג.3 תיאור פעולה פיזיקלית של תהליכי זרימה בחיבור ‪CB‬‬ ‫פשוט יותר לתאר את הפעולה של תהליכי הזרימה ולפתח את נוסחאות‬ ‫הטרנזיסטור עבור בסיס משותף.‬ ‫‪IE‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪)C‬‬ ‫מוצא ‪I C , VCB‬‬ ‫(‬ ‫‪p‬‬ ‫+‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪B‬‬ ‫+‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ I E , VEB‬כניסה‬ ‫_‬ ‫‪B‬‬ ‫בסוגריים כיוון הזרמים המעשי.‬ ‫נתאר את פעולת הטרנזיסטור כאשר הטרנזיסטור נמצא בתחום הפעיל,‬ ‫כלומר ‪. VCB < 0 , VEB > 0.5V‬‬ ‫31‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫פעולת הטרנזיסטור בתחום פעיל: )החיצים מציינים כיוון זרם פיזיקלי(.‬ ‫‪WB‬‬ ‫‪}E‬‬ ‫-+‬ ‫‪E‬‬ ‫+-‬ ‫‪I EP‬‬ ‫‪ICP‬‬ ‫‪I En‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪I Eon‬‬ ‫‪I Eop‬‬ ‫‪ICon‬‬ ‫‪ICop‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪IE‬‬ ‫‪n‬‬ ‫צומת קולקטור‬ ‫‪IB‬‬ ‫בסיס‬ ‫)0 <( ‪VCB‬‬ ‫צומת אמיטר‬ ‫בסיס‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪VEB ( > 0.5V‬‬ ‫-+‬ ‫-+‬ ‫ממתח אחורי‬ ‫ממתח קדמי‬ ‫הערה: מעשית מוסיפים נגדים ‪ RC‬ו ‪ RE‬בהדקי האמיטר והקולקטור בהתאמה, על‬ ‫מנת להגביל את הזרם.‬ ‫41‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪E‬‬ ‫צומת אמיטר-בסיס:‬ ‫}‪E‬‬ ‫‪WB‬‬ ‫-+‬ ‫בגלל שהצומת בממתח קדמי יזרום‬ ‫זרם דיפוזיה וזרם סחיפה תרמי.‬ ‫+-‬ ‫‪I EP‬‬ ‫‪ICP‬‬ ‫‪I En‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫הזרם הדומיננטי – זרם הדיפוזיה.‬ ‫‪IEon‬‬ ‫‪I Eop‬‬ ‫‪ICon‬‬ ‫‪ICop‬‬ ‫בגלל שהצומת היא ‪ p+n‬אז זרם דיפוזיית‬ ‫צומת קולקטור‬ ‫החורים הוא הדומיננטי.‬ ‫‪IB‬‬ ‫בסיס‬ ‫‪(1) IEO = IEOn + IEOp‬‬ ‫‪(2) IE = IEp + IEn + IEO‬‬ ‫)0 <( ‪VCB‬‬ ‫‪n‬‬ ‫צומת אמיטר‬ ‫בסיס‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪VEB ( > 0.5V‬‬ ‫-+‬ ‫ממתח אחורי‬ ‫‪ - IEp‬זרם דיפוזיית חורים )‪ (p‬באמיטר )‪(E‬‬ ‫‪ - IEn‬זרם דיפוזיית אלקטרונים‬ ‫‪ - IEOn,IEOp‬זרם סחיפה תרמית )זרם זליגה בדיודת ‪ (EB‬של‬ ‫אלקטרונים וחורים בהתאמה.‬ ‫)‪ - IEO‬בהגדרתו דומה ל ‪ Io‬בדיודה(.‬ ‫51‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫-+‬ ‫ממתח קדמי‬ ‫‪IE‬‬ ‫‪E‬‬ ‫צומת קולקטור-בסיס:‬ ‫הצומת בממתח אחורי, לכן‬ ‫זרם הדיפוזיה אפסי והזרם‬ ‫הדומיננטי הוא זרם הסחיפה.‬ ‫‪(3) I CO = I COp + I COn‬‬ ‫‪E}E‬‬ ‫‪WB‬‬ ‫-+‬ ‫+-‬ ‫‪I EP‬‬ ‫‪ICP‬‬ ‫‪En‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ - ICOn,ICOp‬זרם סחיפת‬ ‫אלקטרונים וחורים בהתאמה.‬ ‫‪IC‬‬ ‫בגלל שיש צימוד עם צומת )דיודת( אמיטר-‬ ‫בסיס, יתווסף זרם חורים שהוזרקו באמיטר ‫בדיפוזיה )הגיעו לאיזור הנייטרלי( לקצה‬ ‫שכבת המיחסור בצד ‪ n‬באיזור הבסיס,‬ ‫ביצעו דיפוזיה לקצה השני של ‪ WB‬ומשם‬ ‫נסחפו דרך שכבת המיחסור לקולקטור.‬ ‫‪ICon‬‬ ‫‪Eon‬‬ ‫‪ICop‬‬ ‫‪op‬‬ ‫‪n‬‬ ‫צומת קולקטור‬ ‫בסיס ‪I B‬‬ ‫)0 <( ‪VCB‬‬ ‫צומת אמיטר‬ ‫בסיס‬ ‫‪B‬‬ ‫61‬ ‫-+‬ ‫-+‬ ‫ממתח ק‬ ‫ממתח אחורי‬ ‫‪I C = I Cp + I CO‬‬ ‫‪ - ICp‬זרם סחיפה בקולקטור של חורים שהוזרקו מהאמיטר.‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫)‪( > 0.5V‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)4(‬ ‫ג.4 תכונות:‬ ‫נסמן את האזור הנייטרלי בבסיס מחוץ לשכבת המיחסור ב ‪. WB‬‬ ‫אם ‪ WB<<Lp‬אזי החורים שהוזרקו באמיטר והגיעו לבסיס יבצעו דיפוזיה עד‬ ‫לקצה שכבת המיחסור בקולקטור וזאת כמעט מבלי להתאחד. לכן רוב החורים‬ ‫יגיעו לשכבת המיחסור בקולקטור ומשם יסחפו לקולקטור.‬ ‫ככל ש 0 → ‪WB‬‬ ‫‪WB << L p‬‬ ‫אזי ‪. I Cp → I Ep‬‬ ‫הדק האמיטר נקרא כך כי הוא פולט )מזריק( חורים.‬ ‫הדק הקולקטור נקרא כך כי הוא קולט חורים.‬ ‫הזמן שלוקח לחורים לחצות את האזור הניטרלי:‬ ‫נקרא זמן החצייה )‪(Transit time‬‬ ‫71‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫2‪W B‬‬ ‫=‬ ‫‪2Dp‬‬ ‫‪tTransit‬‬ ‫שאלה:‬ ‫‪p‬‬ ‫אם ניקח שתי דיודות ונחברם פיזית כך:‬ ‫‪+p‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪B‬‬ ‫האם נקבל פעולת טרנזיסטור?‬ ‫תשובה:‬ ‫לא. כי אין ביניהם צימוד. ∞ → ‪WB‬‬ ‫81‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪E‬‬ ‫ד. נוסחת זרמי טרנזיסטור‬ ‫הגדרות:‬ ‫מקדם העברה בבסיס‬ ‫‪I Cp‬‬ ‫‪I Ep‬‬ ‫∆‬ ‫= ‪αT‬‬ ‫)5(‬ ‫‪Base Transfer Factor‬‬ ‫זהו היחס בין זרם החורים שהגיעו לקולקטור לזרם החורים שהוזרקו‬ ‫מהאמיטר.‬ ‫1 → ‪αT‬‬ ‫.‬ ‫עבור קבלת טרנזיסטור אידיאלי נדרוש‬ ‫ולכן מעשית דרוש לקיים ‪) WB <<< L p‬בסיס צר מאוד(.‬ ‫יעילות הזרקה‬ ‫‪I Ep‬‬ ‫‪Injection Efficiency‬‬ ‫‪IE‬‬ ‫=‪γ‬‬ ‫זהו היחס בין זרם החורים לזרם הכללי באמיטר.‬ ‫1→‪γ‬‬ ‫.‬ ‫עבור קבלת טרנזיסטור אידיאלי נדרוש‬ ‫ולכן מעשית דרוש שהדק האמיטר +‪ p‬יהיה מזוהם מאוד.‬ ‫91‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫∆‬ ‫)6(‬ ‫הגבר זרם בחיבור בסיס משותף:‬ ‫‪I Cp‬‬ ‫‪IE‬‬ ‫∆‬ ‫= ‪α DC‬‬ ‫)7(‬ ‫זהו היחס בין זרם המוצא )זרם הקולקטור בחיבור בסיס משותף(‬ ‫לזרם הכניסה )סך כל זרם האמיטר בחיבור בסיס משותף(.‬ ‫עבור קבלת טרנזיסטור אידיאלי נדרוש 1 → ‪. α DC‬‬ ‫מנוסחאות )5( ו-)6( מקבלים שהגבר הזרם ‪ α DC‬תלוי ב- ‪ α T‬וב- ‪. γ‬‬ ‫‪α DC = α T ⋅ γ‬‬ ‫)8(‬ ‫מנוסחאות )4(,)7( נקבל את משוואת הטרנזיסטור בחיבור בסיס משותף:‬ ‫‪I C = I Cp + I CO‬‬ ‫02‬ ‫)4(‬ ‫‪I C = α DC ⋅ I E + I CO‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר איל שליש‬ ‫)9(‬ ‫‪I C = α DC ⋅ I E + I CO‬‬ ‫נגדיר:‬ ‫‪α DC‬‬ ‫= ‪β DC‬‬ ‫‪1 − α DC‬‬ ‫∆‬ ‫)9(‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α DC = DC‬‬ ‫1 + ‪β DC‬‬ ‫∆‬ ‫ונקבל את משוואת הטרנזיסטור:‬ ‫‪I C = β DC ⋅ I B + (β DC + 1)I CO‬‬ ‫)01(‬ ‫‪ β DC‬מבטא את הגבר הזרם בחיבור אמיטר משותף, כי בקירוב ניתן‬ ‫להראות שאם נזניח את ‪) ICO‬זרם סחיפה קטן( נקבל:‬ ‫‪IC = β ⋅ IB‬‬ ‫זרם מוצא ‪I C‬‬ ‫=‬ ‫זרם כניסה ‪I B‬‬ ‫=‪β‬‬ ‫משוואה )01( נכונה לכל חיבור ולכל טרנזיסטור ורק בתחום פעיל.‬ ‫12‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫תכונה:‬ ‫‪ β DC‬רגיש מאוד לשינויי ‪ . α DC‬לדוגמא:‬ ‫59.0‬ ‫02 ≅‬ ‫59.0 − 1‬ ‫= ‪α = 0.95 → β‬‬ ‫99.0‬ ‫= ‪α = 0.99 → β‬‬ ‫0001 ≅‬ ‫99.0 − 1‬ ‫‪ β‬הוא פרמטר שניתן ע"י היצרן עבור תחום ערכים.‬ ‫בדרך כלל, היצרן אינו מתחייב לערך מדויק, בגלל שכל שינוי קטן בזיהום‬ ‫או ב- ‪ W‬יגרום לשינוי ב- ‪ α‬ולשינוי גדול ב- ‪. β‬‬ ‫סימון היצרן ל- ‪ β‬הוא: ‪.(Forward Emitter) h FE‬‬ ‫22‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫מכיוון ש- ‪ hFE‬משתנה‬ ‫מטרנזיסטור לטרנזיסטור‬ ‫הרבה מכשירי רב מודד באים‬ ‫עם אופציה למדידתו‬ ‫‪hFE mode‬‬ ‫לכאן תוקעים את הטרנזיסטור‬ ‫32‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫ה. זרם הזליגה:‬ ‫‪ ICO‬הוא זרם הסחיפה התרמי בצומת ‪ CB‬ולכן ניתן למצוא אותו ע"י חיבור‬ ‫ממתח אחורי בצומת ‪ CB‬באמיטר פתוח )0=‪.(IE‬‬ ‫כלומר:‬ ‫‪I C = α ⋅ I E + I CO‬‬ ‫‪I CO‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫0= ‪E‬‬ ‫‪I CO = I C I‬‬ ‫+‪p‬‬ ‫‪E‬‬ ‫תלות ‪ ICO‬בטמפרטורה:‬ ‫‪ ICO‬מכפיל את עצמו כל 001 , או גדל ב %7 כל מעלת צלזיוס.‬ ‫)כמו ‪ Io‬בדיודה(.‬ ‫42‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪ICP‬‬ ‫ו. פיתוח מרכיבי הזרם‬ ‫‪C‬‬ ‫במצב פעיל, זרם החורים המוזרקים לבסיס:‬ ‫‪dpn‬‬ ‫‪I p = qAD p‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫משוואת הדיפוזיה:‬ ‫‪n‬‬ ‫-‬ ‫‪IEP‬‬ ‫‪IEn‬‬ ‫‪IE IEon‬‬ ‫‪IEop‬‬ ‫‪ICon IC‬‬ ‫‪ICop‬‬ ‫‪B IB‬‬ ‫)11(‬ ‫0 ‪d 2 pn pn − p n‬‬ ‫−‬ ‫0=‬ ‫‪Dn‬‬ ‫2‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪τp‬‬ ‫)0 < ( ‪VCB‬‬ ‫-+‬ ‫ממתח‬ ‫אחורי‬ ‫)‪VEB ( > 0.5V‬‬ ‫-+‬ ‫ממתח‬ ‫קדמי‬ ‫)21(‬ ‫הפתרון מהצורה:‬ ‫⎞‪⎛ x‬‬ ‫⎞‪⎛x‬‬ ‫− ⎜‪pn − pn 0 = A ⋅ exp‬‬ ‫⎟ ‪⎜ L ⎟ + B ⋅ exp⎜ L‬‬ ‫⎟‬ ‫⎟⎜‬ ‫⎠‪n‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪⎝ n‬‬ ‫52‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫)31(‬ ‫‪E‬‬ ‫תנאי שפה:‬ ‫בקצה אזור המחסור בצד‬ ‫האמיטר מתקיים:‬ ‫⎞ ‪⎛ qVEB‬‬ ‫⎜‪pn 0 ⋅ exp‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ kT‬‬ ‫בקצה אזור המחסור בצד הקולקטור מניחים:‬ ‫= ) 0 = ‪pn ( x‬‬ ‫0 = ) ‪pn ( x = w B‬‬ ‫זאת הנחה סבירה מכיוון שהשדה החשמלי בצומת הקולקטור סוחף החוצה כל נושא מטען‬ ‫שמגיע אליו בגלל הממתח האחור בצומת קולקטור בסיס.‬ ‫מכיוון שרוחב הבסיס צר מאד, נוכל לפתח הפתרון לטור ולהזניח איברים‬ ‫גבוהים. נקבל:‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(A − B‬‬ ‫− ‪pn − p n 0 = A + B‬‬ ‫‪Ln‬‬ ‫מתנאי השפה נקבל:‬ ‫והפתרון יהיה:‬ ‫62‬ ‫‪Ln‬‬ ‫⎞ ‪⎛ qV‬‬ ‫⎟ ‪pn 0 exp⎜ EB‬‬ ‫‪wB‬‬ ‫⎠ ‪⎝ KT‬‬ ‫= ‪A− B‬‬ ‫⎤ ⎞ ‪⎡ ⎛ qVEB‬‬ ‫⎜‪A + B = pn 0 ⎢exp‬‬ ‫1−⎟‬ ‫⎥ ⎠ ‪KT‬‬ ‫⎝⎣‬ ‫⎦‬ ‫⎞‪x‬‬ ‫⎛⎞ ‪⎛ qVEB‬‬ ‫⎟‬ ‫⎜‪pn ( x ) = pn 0 exp‬‬ ‫− 1 ⎜⎟‬ ‫⎜‬ ‫⎟ ‪wB‬‬ ‫⎝⎠ ‪⎝ KT‬‬ ‫⎠‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫)41(‬ ‫‪p‬‬ ‫ריכוזי נושאי מיעוט כאשר הרקומבינציה זניחה:‬ ‫) 0( ‪pn‬‬ ‫מיחסור‬ ‫מיחסור‬ ‫כעת נוכל לגזור את )41(‬ ‫ולהציב ב- )11( על מנת לקבל‬ ‫את זרם החורים המוזרק‬ ‫מהאמיטר לבסיס עבור 0=‪:x‬‬ ‫2‪ni‬‬ ‫⎞ ‪⎛ qVEB‬‬ ‫⎜‪exp‬‬ ‫‪= − qAD p‬‬ ‫⎟‬ ‫‪N d wB‬‬ ‫⎠ ‪⎝ KT‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪wB‬‬ ‫קולקטור‬ ‫‪I pE‬‬ ‫)51(‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫) 0( ‪n p‬‬ ‫‪wE‬‬ ‫00‬ ‫בסיס‬ ‫אמיטר‬ ‫זהו זרם דיפוזיית‬ ‫החורים באמיטר‬ ‫הערה‬ ‫אנחנו הנחנו שרוחב הבסיס הוא קבוע.‬ ‫בחיים, הוא באמת תלוי בממתח האחורי על הקולקטור.‬ ‫ככל שזה גדול יותר, גדל רוחב אזור המיחסור על חשבון רוחב הבסיס.‬ ‫זה נקרא "תופעת ארלי" )”‪(“Early Effect‬‬ ‫72‬ ‫+‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫עבור אמיטר צר ניתן לקבל‬ ‫באופן דומה ביטוי מקורב עבור‬ ‫זרם דיפוזיית האלקטרונים‬ ‫באמיטר:‬ ‫‪n‬‬ ‫) 0( ‪pn‬‬ ‫מיחסור‬ ‫מיחסור‬ ‫‪wB‬‬ ‫קולקטור‬ ‫2‪ni‬‬ ‫⎞ ‪⎛ qVEB‬‬ ‫⎜‪exp‬‬ ‫‪= − qADn‬‬ ‫⎟‬ ‫‪N AwE‬‬ ‫⎠ ‪⎝ KT‬‬ ‫+‪p‬‬ ‫‪I nE‬‬ ‫) 0( ‪n p‬‬ ‫00‬ ‫בסיס‬ ‫אמיטר‬ ‫)61(‬ ‫כעת נוכל להשתמש בביטויים שקבלנו עבור הזרמים ולקבל ביטוי עבור‬ ‫יעילות ההזרקה‬ ‫82‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪I Ep‬‬ ‫כזכור, יעילות ההזרקה:‬ ‫‪I Ep + I En‬‬ ‫אם נציב את )51( ו- )61( נקבל:‬ ‫1−‬ ‫⎞‬ ‫⎟‬ ‫⎟‬ ‫⎠‬ ‫=‬ ‫‪I Ep‬‬ ‫‪IE‬‬ ‫∆‬ ‫=‪γ‬‬ ‫⎛‬ ‫‪⎜1 + DnN DwB‬‬ ‫=‪γ‬‬ ‫⎜‬ ‫‪Dp N Aw E‬‬ ‫⎝‬ ‫∆‬ ‫)6(‬ ‫)6(‬ ‫מאחר ורוחבי האמיטר והבסיס הם מאותו סדר גודל, השליטה על יעילות‬ ‫ההזרקה באה באמצעות בחירת גובה הסימום:‬ ‫זאת הסיבה שהאמיטר נעשה עם סימום מנוון )+‪(p‬‬ ‫92‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪p‬‬ ‫רקומבינציה בבסיס‬ ‫‪n‬‬ ‫+‪p‬‬ ‫) 0( ‪pn‬‬ ‫מיחסור‬ ‫מיחסור‬ ‫הנחנו שאין רקומבינציה בבסיס‬ ‫– במציאות יש!‬ ‫‪QB‬‬ ‫‪wB‬‬ ‫ניתן להעריך הרקומבינציה‬ ‫זרם הקולקטור:‬ ‫2‬ ‫⎛‬ ‫⎞ ‪wB‬‬ ‫⎟ 2 − 1 ⎜ ‪= I pE‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟ ‪2 Lp‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫מקדם העברה בבסיס‬ ‫‪Base Transfer Factor‬‬ ‫03‬ ‫00‬ ‫קולקטור‬ ‫המטען האגור )ליחידת שטח( בבסיס הוא שטח המשולש‬ ‫) 0( 0 ‪AQB qAw B pn‬‬ ‫⎞ ‪⎛ qV‬‬ ‫=‬ ‫זרם הרקומבינציה: ⎟ ‪exp⎜ EB‬‬ ‫‪2τ p‬‬ ‫‪τp‬‬ ‫⎠ ‪⎝ kT‬‬ ‫) 0( ‪n p‬‬ ‫אמיטר‬ ‫בסיס‬ ‫‪qpn (0)w B‬‬ ‫2‬ ‫= ‪I pB‬‬ ‫= ‪QB‬‬ ‫זהו חלק הזרם שאינו‬ ‫מגיע לקולקטור‬ ‫‪I pC = I pE − I pB‬‬ ‫2‬ ‫‪wB‬‬ ‫−1 =‬ ‫‪2 L2p‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪I Cp‬‬ ‫‪I Ep‬‬ ‫∆‬ ‫= ‪αT‬‬ ‫)5(‬ ‫מקדם העברה בבסיס‬ ‫2‬ ‫‪wB‬‬ ‫−1 =‬ ‫‪2 L2p‬‬ ‫‪I Cp‬‬ ‫‪I Ep‬‬ ‫∆‬ ‫= ‪αT‬‬ ‫)5(‬ ‫רואים בברור שעל מנת לקבל העברה גבוהה בבסיס, נדרש לייצר הבסיס‬ ‫ברוחב קטן ככל האפשר בהשוואה למרחק הדיפוזיה של נושאי המיעוט‬ ‫זאת הסיבה שהבסיס של טרנזיסטור ‪ BJT‬צר!‬ ‫13‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪w B << L B‬‬ ‫ז. אופיין כניסה ומוצא בחיבור ‪) CE‬אמיטר משותף(‬ ‫עבור טרנזיסטור ‪npn‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫ז.1 אופיין כניסה:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪V‬‬ ‫+‬ ‫‪n‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫-‬ ‫‪p‬‬ ‫‪B‬‬ ‫+‪n‬‬ ‫‪E‬‬ ‫אופיין הכניסה של הטרנזיסטור‬ ‫מאופיין ע"י צומת ‪ BE‬ויהיה דומה‬ ‫לאופיין של דיודה.‬ ‫23‬ ‫‪E‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪VBE‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪IB‬‬ ‫ז.2 אופיין מוצא‬ ‫אופיין המוצא מתאר את תלות ‪ IC‬במתח ‪ VCE‬עבור זרמי ‪ IB‬שונים:‬ ‫) ‪I C = f (VCE , I B‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪(mA‬‬ ‫+‬ ‫‪V‬‬ ‫8‬ ‫‪n‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫-‬ ‫‪p‬‬ ‫‪IB =70 µA‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪IB =60 µA‬‬ ‫+‪n‬‬ ‫‪E‬‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫‪IB =50 µA‬‬ ‫5‬ ‫‪I B =40 µA‬‬ ‫‪E‬‬ ‫4‬ ‫‪I B =30 µA‬‬ ‫‪ - IC‬זרם מוצא‬ ‫‪ - VCE‬מתח מוצא‬ ‫‪IB =20 µA‬‬ ‫2‬ ‫)‪(a‬‬ ‫1‬ ‫‪IB =10 µA‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫)‪(volts‬‬ ‫33‬ ‫3‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫02‬ ‫‪ICEO‬‬ ‫51‬ ‫01‬ ‫5‬ ‫קבלת אופיין המוצא:‬ ‫נחבר בכניסה לטרנזיסטור )בבסיס( מקור זרם קבוע ‪IB‬‬ ‫ואת המוצא נחבר למתח ‪ DC‬משתנה:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪VCE‬‬ ‫+‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ניקח ‪ , IB = 10µA‬ונשנה את ‪ VCE‬וכך נקבל את עקום )‪(a‬‬ ‫וכן הלאה עבור ‪ IB‬שונים.‬ ‫43‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫משוואת הטרנזיסטור טובה רק לאזור הפעיל )בקירוב ‪(VCE>0.2 V‬‬ ‫ויתקיים:‬ ‫‪I C = β DC ⋅ I B + (β DC + 1)I CO‬‬ ‫האזור הפעיל יתקיים רק אם:‬ ‫‪VBE > 0.6V‬‬ ‫0 < ‪VCB‬‬ ‫53‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫)01(‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪≅β‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫באזור הפעיל הטרנזיסטור הוא מגבר זרם ובקירוב:‬ ‫בשרטוט, הגבר הזרם הוא בקירוב:‬ ‫‪∆I C‬‬ ‫‪∆I B‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫)‪(mA‬ ‫8‬ ‫‪IB =70 µA‬‬ ‫‪∆I C‬‬ ‫‪4m − 3m‬‬ ‫=‬ ‫001 =‬ ‫‪∆I B 40µ − 30µ‬‬ ‫7‬ ‫‪IB =60 µA‬‬ ‫6‬ ‫‪IB =50 µA‬‬ ‫5‬ ‫‪I B =40 µA‬‬ ‫4‬ ‫‪I B =30 µA‬‬ ‫3‬ ‫‪IB =20 µA‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫2‬ ‫‪IB =10 µA‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫)‪(volts‬‬ ‫63‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫02‬ ‫‪ICEO‬‬ ‫51‬ ‫1‬ ‫01‬ ‫5‬ ‫בתחום הקיטעון הטרנזיסטור לא פועל.‬ ‫בתחום זה גם צומת בסיס-אמיטר וגם צומת בסיס-קולקטור יהיו בממתח‬ ‫‪V‬‬ ‫אחורי.‬ ‫)מעשית ‪.( BE < 0.5V‬‬ ‫בתחום הרוויה, כאשר שני הצמתים בממתח קדמי, בגלל ריכוזי הזיהומים‬ ‫יתקיים:‬ ‫‪VBE ≅ 0.8V , VBC ≅ 0.6V , VCE ≅ 0.2V‬‬ ‫‪np n + p‬‬ ‫עבור דיודת ‪ n+p‬האופיין יראה כך:‬ ‫2‪Dp n i2 Dn n i‬‬ ‫⋅ [‪I 0 = qA‬‬ ‫+‬ ‫⋅‬ ‫]‬ ‫‪Lp N D Ln N A‬‬ ‫הזזת האופיין נובעת מכך ש ‪ ND‬גדל ולכן זרם‬ ‫הזליגה קטן, כתוצאה מכך כדי לקבל אותו ערך‬ ‫של זרם דיודה יידרש מפל מתח גדול יותר.‬ ‫)1 −‬ ‫73‬ ‫‪qVD‬‬ ‫‪nKT‬‬ ‫‪VD‬‬ ‫‪I D = I 0 ⋅ (e‬‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪ID‬‬ ‫ח. סכימת תמורה‬ ‫1. בתחום הפעיל:‬ ‫‪IB V =0.6v‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫_+‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)1 + ‪I CO (β‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫+‪n‬‬ ‫‪β DCI B‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הסבר:‬ ‫בין הבסיס לאמיטר ישנה התנהגות של דיודה.‬ ‫‪E‬‬ ‫מעגל המוצא מקיים את נוסחת הטרנזיסטור:‬ ‫‪I C = β DC ⋅ I B + (β DC + 1)I CO‬‬ ‫83‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫)01(‬ ‫2. בתחום הרוויה:‬ ‫בתחום הרוויה שני הצמתים בממתח קדמי ולכן סכימת התמורה‬ ‫תהיה של שתי דיודות במצב הולכה, כלומר:‬ ‫‪V =0.2v‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪C‬‬ ‫+_‬ ‫‪VBE=0.8v‬‬ ‫‪B‬‬ ‫_+‬ ‫‪E‬‬ ‫93‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫ט. מודל אברס-מול ‪Ebers-Moll‬‬ ‫ט.1 מבוא‬ ‫‪αRIR‬‬ ‫‪αF IF‬‬ ‫‪IE‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪IE‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪IR‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪IF‬‬ ‫המודל מתאר את הטרנזיסטור כחיבור של שתי דיודות, כאשר‬ ‫ההשפעה ההדדית של הדיודות מתוארת ע"י מקורות זרם תלויים.‬ ‫המודל משמש כמודל בסיסי לניתוח או סימולציה של מעגלים.‬ ‫בציור תוארו כיווני זרם פיזיקליים.‬ ‫04‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫המודל יהיה נכון עבור טרנזיסטור ‪ pnp‬או ‪) npn‬אז הדיודות הפוכות(‬ ‫ולא משנה מהו ההדק המשותף ואילו סוגי ממתחים.‬ ‫הערה:‬ ‫מודל מתקדם יותר המבוסס על מודל ‪ , Ebers-Moll‬הוא מודל‬ ‫‪ Gummel-Pumm‬אשר משתמשים בו בתוכנת ניתוח מעגלים ‪.SPICE‬‬ ‫14‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫ט.2 נוסחאות זרם ומתח‬ n N dB p + N AE E n po p N AC n i2 n i2 n i2 p no = n po = = N AE N dB N AC DpB , L pB DnE , L nE C DnC , L nC B αRIR αF IF IE :‫מחוק קירכהוף‬ (1a) IC C E IF IB IE = IF − α RIR (1b) IC = α FIF - I R IR B ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ 42 ‫כאשר: ‪ IF‬הוא זרם דיודת ‪ EB‬ו-‬ ‫‪ IFo‬הוא זרם הסחיפה )זרם זליגה(‬ ‫של הדיודות ונתונים ע"י:‬ ‫)1 −‬ ‫‪qVEB‬‬ ‫‪KT‬‬ ‫‪I F = I Fo (e‬‬ ‫‪αF IF‬‬ ‫‪IE‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪(2b‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪IR‬‬ ‫‪b‬‬ ‫}‬ ‫2‪DpB n i‬‬ ‫2‪DnE n i‬‬ ‫( ⋅ ‪= qA‬‬ ‫⋅‬ ‫+‬ ‫⋅‬ ‫)‬ ‫‪L nE N AE L pB N dB‬‬ ‫‪αRIR‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪I Fo‬‬ ‫‪IF‬‬ ‫)‪(2a‬‬ ‫‪{W‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הערה: רוחב האיזור הנייטרלי ‪ WB‬צר מאוד, ‪ , WB<<LpB‬ולכן במשוואת‬ ‫זרם הסחיפה של הדיודה נציב במקום ‪ LpB‬את ‪ , WB‬ולכן החורים שהוזרקו‬ ‫מ- ‪ E‬ל- ‪ B‬נעים לאורך ‪ WB‬עד להיסחפותם ל- ‪ C‬ולא מספיקים לנוע לאורך‬ ‫‪) LpB‬כמו התנהגות של דיודה צרה(.‬ ‫34‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ αRIR αF IF IE IC C E IF (3b) IR IB B I R = I R o (e qVBC KT BC ‫באופן דומה, בצומת‬ :‫משוואת הדיודה תהיה‬ − 1) d } (3a) I Ro DpB n i2 DnC n i2 = qA ⋅ ( ⋅ + ⋅ ) L nC N AC L pB N dB { c WB ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ 44 ‫פיזיקלית, ‪ α F‬מתאר את חלק הזרם שהוזרק ב- ‪ E‬והגיע ל- ‪, C‬‬ ‫וזהו למעשה יחס זרם החורים שהוזרקו ב- ‪ (IEP) E‬לסה"כ הזרם ב- ‪.E‬‬ ‫‪αRIR‬‬ ‫‪αF IF‬‬ ‫‪I EP‬‬ ‫‪b‬‬ ‫= ‪αF‬‬ ‫=‬ ‫‪IE a + b‬‬ ‫‪IE‬‬ ‫‪IC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪IR‬‬ ‫‪IB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪IF‬‬ ‫ובאופן דומה:‬ ‫54‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ‫‪d‬‬ ‫= ‪αR‬‬ ‫‪c+d‬‬ ‫מסקנה:‬ ‫מנתוני הטרנזיסטור אפשר לדעת את ערכי סכימת התמורה‬ ‫ומכאן את ההתנהגות החשמלית של הטרנזיסטור.‬ ‫נתוני הטרנזיסטור‬ ‫סכמת תמורה‬ ‫התנהגות חשמלית‬ ‫של הטרנזיסטור‬ ‫64‬ ‫מבוא להתקני מל"מ - ד"ר אילן שליש‬ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online