Chuong_1b - nh l: Nu hm w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) c o...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
Đị nh lí : N ế u hàm w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) có đạ o hàm t i z, thì ph n th c u(x, y) và ph n o v(x, y) c a nó có đạ o hàm riêng t i (x, y) và các đạ o hàm riêng đ ó tho mãn h th c: x v y u ; y v x u = = ( 5 ) (5) là đ i u ki n Cauchy - Riemann. Đ ây là đ i u ki n c n. Ng ượ c l i n ế u các hàm s u(x, y) và v(x, y) có các đạ o hàm riêng liên t c, tho mãn đ i u ki n C - R thì hàm w = f(z) có đạ o hàm t i z = x + jy và đượ c tính theo công th c: x x v j u ) z ( f + = Đ ây là đ i u ki n đủ . Ta ch ng minh đ i u ki n c n: Gi s f’(z) t n t i, ngh ĩ a là gi i h n c a t s : [] y j x v j u y j x ) y , x ( v ) y y , x x ( v j ) y , x ( u ) y y , x x ( u y j x ) y , x ( v ) y , x ( u ) y y , x x ( jv ) y y , x x ( u z w + + = + + + + + + = + + + + + + = b ng f’(z) khi z 0 theo m i cách. Đặ c bi t khi z = x thì: x v j x u z w x x + = Trong đ ó u = x u là s gia riêng c a u đố i v i x. Cho x 0, theo gi thi ế t thì v ế trái d n t i f’(z). Do đ ó v ế ph i c ũ ng có gi i h n là f’(z). T đ ó suy ra: x u x có gi i h n là x u x v x có gi i h n là x v và: x v j x u ) z ( f + = ( 6 ) T ươ ng t , khi z = y thì: y u j y v y j v j u z w y y y y = + = Cho z 0 ta có: y u j y v ) z ( f = ( 7 ) So sánh (6) và (7) ta có: y u j y v x v j x u + T đ ây ta rút ra đ i u ki n C - R: y u x v ; y v x u = = 15
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
Ti ế p theo ta ch ng minh đ i u ki n đủ : Gi s các hàm u(x, y) và v(x, y) có các đạ o hàm riêng liên t c t i (x, y) và các đạ o hàm đ ó tho mãn đ i u ki n C - R. Ta c n ch ng minh z w có gi i h n duy nh t khi z 0 theo m i cách. Ta vi ế t: y j x v j u z w + + = ( 8 ) T gi thi ế t ta suy ra u(x, y) và v(x, y) kh vi, ngh ĩ a là: y x y y u x x u u 2 1 α + α + + = y x y y v x x v v 2 1 β + β + + = Trong đ ó α 1 , α 2 , β 1 , β 2 0 khi x 0, y 0(t c là z 0). Thay vào (8) các k ế t qu này ta có: y j x y x y y v x x v j y x y y u x x u z w 2 1 2 1 + β + β + + + α + α + + = () ( ) y j x y j x j y j x y y v j x x v j y y u x x u 2 2 1 1 + β + α + β + α + + + + + = Do đ i u ki n C - R, ta có th l y x + j y làm th a s chung trong t s c a s h
Background image of page 2
Image of page 3
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Page1 / 8

Chuong_1b - nh l: Nu hm w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) c o...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online