{[ promptMessage ]}

Bookmark it

{[ promptMessage ]}

Chuong_5 - CHNG 5 L THUYT THNG D 1 KHI NIM V THNG D 1 nh...

Info icon This preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
CH ƯƠ NG 5: LÝ THUY T TH NG D Ư § 1 . KHÁI NI M V TH NG D Ư 1. Đị nh ngh ĩ a th ng d ư : Gi s f(z) là m t hàm gi i tích trong m t lân c n c a đ i m a tr chính đ i m a (ngh ĩ a là a là đ i m b t th ườ ng cô l p c a f(z)). N ế u C là đườ ng cong kín b t kì bao l y đ i m a và n m trong lân c n nói trên thì theo đị nh lí Cauchy, tích phân C dz ) z ( f là m t s không ph thu c C. Ta g i th ng d ư c a hàm f(z) t i a là k ế t qu phép chia C dz ) z ( f cho 2 π j. Th ng d ư đượ c kí hi u là Res[f(z), a]. Tóm l i: Res[f(z), a] π = C dz ) z ( f j 2 1 (1) Ví d : Res 1 j 2 j 2 dz a z 1 j 2 1 a , a z 1 C = π π = π = 2. Cách tính th ng d ư : Công th c chung để tính th ng d ư là: Res[f(z), a] = c -1 (2) Trong đ ó c -1 là h s c a a z 1 trong khai tri n Laurent c a hàm f(z) t i lân c n đ i m a. Ch ng minh: Theo công th c tính h s c a khai tri n Laurent: + ξ ζ ζ π = C 1 n n ) a ( d ) ( f j 2 1 c Khi n = -1 ta có: ζ ζ π = C 1 d ) ( f j 2 1 c = Res[f(z), a] a. Th ng d ư t i c c đ i m đơ n : N ế u a là c c đ i m đơ n c a hàm f(z) thì : Res[f(z), a] = (3) [ ) z ( f ) a z ( lim a z ] Ví d 1 : Vì z = 2 là c c đ i m đơ n c a 2 z z 2 nên Res[f(z), a] = 4 z lim 2 z z ) 2 z ( lim 2 z 2 2 2 z = = Ví d 2 : Cho z sin 1 ) z ( f = . Tính th ng d ư t i a = 0 Ta đ ã bi ế t : + = + = L L ! 5 z ! 3 z 1 z ! 5 z ! 3 z z z sin 4 2 5 3 88
Image of page 1

Info icon This preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
C ă n c vào khai tri n này ta th y đ i m z = 0 là không đ i m đơ n c a sinz. v y đ i m z = 0 là c c đ i m đơ n c a z sin 1 ) z ( f = . Theo (3) ta có: Res[f(z), a] = 1 z sin 1 z lim 0 z = Đị nh lí : Gi s ) z ( f ) z ( f ) z ( f 2 1 = , trong đ ó f 1 (z) và f 2 (z) là nh ng hàm gi i tích t i a. Đ i m a là không đ i m đơ n c a f 2 (z0 và không ph i là không đ i m c a f 1 (z). Khi đ ó: Res[f(z), a] ) a ( f ) a ( f 2 1 = (4) Ch ng minh: Theo gi thi ế t ta th y a là c c đ i m đơ n c a f(z). Theo (3) ta có: Res[f(z), a] = = ) a z ( ) z ( f ) z ( f lim ) z ( f ) z ( f ) a z ( lim 2 1 a z 2 1 a z Vì f 2 (a) = 0 nên ta có th vi ế t: Res[f(z), a] = ) a ( f ) a ( f ) a z ( ) a ( f ) z ( f lim ) z ( f lim 2 1 2 2 a z 1 a z = Ví d 3 : Tính th ng d ư c a f(z) = cotgz Vì a = 0 là đơ n c a cotgz nên theo (4) ta có: Res[f(z), a] = 1 0 cos 0 cos ) a ( f ) a ( f 2 1 = = Ví d 4 : Tính th ng d ư c a hàm 4 z 1 z ) z ( f 2 + + = t i a = 2j.
Image of page 2
Image of page 3
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern